湖北省黄冈市名校2010年高三年级数学模拟试

湖北省黄冈市名校2010年高三年级数学模拟试题（6）
蕲春一中特级教师命制
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合{|lg(1)}A x y x ==-，集合2{|}B y y x ==，则A B=（ ）
A ．（,1-∞）
B ．(,1]-∞
C ．[0,1]
D ．[0,1)
2.在∆ABC 中已知2sin cos sin A B C =，那么∆ABC 一定是（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．正三角形
D ．等腰直角三角形
3.某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开三个班，选课结束后，有四位同学要求改修数学，但每班至多可再接收2位同学，那么不同的分配方案有（ ）
A ．72种
B ．54种
C ．36种
D ．18种
4.方程22
2010020100
1sin(19)cos(19)
x y +=所表示的曲线是（ ） A ．双曲线 B ．焦点在x 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的椭圆
D ．以上答案都不对
5.已知向量(1,),(,)(0,0)a n b m n m m n ==+>>
，若1a b ⋅= ，则m n +的最小值为（ ）
A
B
1 C
1 D
6.设直线10x ky +-=被圆O ：222x y +=所截弦的中点的轨迹为M ，
则曲线M 与直线x-y-1=0位置关系为（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．不确定
7.若关于x 的方程||x x a a -=有三个不相同的实根，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．(0,4)
B ．(4,0)-
C ．(4,4)-
D ．(,4)(4,)-∞-+∞
8.已知实数x,y 满足约束条件370
11x y x y +-≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
则|y-x|的最大值是（ ）
A ．3
B ．4 C
．
2
D
． 9.已知复数241i z i +=
+的实部与虚部分别是等差数列{}n a 的第二项与第一项，若1
1
n n n b a a +=⋅数列{}n b 的前n 项和为T n ，则lim n n T →∞
=（ ）
A ．
1
4
B ．
1
2
C ．
2
3
D ．1 10.如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2，AB=1，M 、N 分别在AD 1，BC 上移动，并始终保持MN//DCC 1D 1，设BN=x ，MN=y ，则函数y=f(x)的图象大致是（ ）
二、填空题：本大题共5小
题，每题5分，共25分。

11.已知随机变量ξ服从正态分布N （2(1,)δ，且(2)(6)0.2008P P ξξ≤-+≥=，则(44)P ξ-≤≤= 。

12.设,αβ
均为钝角，sin αβ=
=，则αβ+= 13.已知102910012910(12)x a a x a x a x a x -=+++⋅⋅⋅++则1210109a a a ++⋅⋅⋅+= 。

14.已知O 为原点，从椭图2211004x y +=的左焦点1F 引圆224x y +=的切线1FT 交椭圆于点P ，切点T 位于1F 、P 之间，M 为线段1F P 的中点，则||||MO MT -的值为 。

15.给出下列命题：
①函数()sin |sin |()f x x x x R =+∈的最小正周期是2π；
②已知函数2
cos ,0()1,0
a x x f x x x ≥⎧=⎨
-<⎩在0x =处连接，则1a =-；
③函数()y f x =与11(1)y f x -=--的图象关于直线10x y ++=对称；
④将函数tan()(0)4y x π
ωω=+>的图象按向量(,0)6a π= 平移后，与函数tan()6
y x π
ω=+的图象重合，则ω
的最小值为1
6
，你认为正确的命题有： 。

三、解答题（共75分）
16.如图，B 为APC ∆的边AC 上的一点，且AB=BC=a ，90APB ∠= ，45BPC ∠=
，PBA θ∠=. （1）求tan θ的值；
（2）求PA PC ⋅
的值.
17.口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回地摸球，每次摸出一个，规则如下：①若一方摸出一个红球，则此人继续进行下一次摸球；若一方摸出一个白球，则改换为由对方进行下一次摸球；②每一个摸球彼此相互独立，并约定由甲开始进行第一次摸球，求在前三次的摸球中： ①乙恰好摸到一个红球的概率； ②甲至少摸到一个红球的概率；
③甲摸到红球的次数ξ的分布列及数学期望.
18.如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，90BAC ∠=
， AB=a,AC=2,AA 1=1,点D 在棱B 1C 1上且B 1D ：DC 1=1：3 （1）证明：无论a 为任何正数，均有BD ⊥A 1C ； （2）当a 为何值时，二面角B —A 1D —B 1为60
P
A C A 1
B 1
C 1
C
A D
19.设函数322()21f x x mx m x m =---+-（其中2m >-）的图象在x=2处的切线与直线y=-5x+12平行. （1）求m 的值； （2）求函数()f x 在区间[0，1]的最小值；
（3）若0,0,0a b c ≥≥≥且1a b c ++=，试根据上述（1）（2）的结论证明
2229
11110
a b c a b c ++≤+++
20.在直角坐标平面中，ABC ∆
的两个顶点的坐标分别为(,0),,0)(0)A B a >，两动点M 、N
满足0,||||MA MB MC NC NA NB ++===
，向量MN 与AB 共线.
（1）求ABC ∆的顶点C 的轨迹方程；
（2）若过点P （0，a ）的直线与（1）的轨迹相交于E 、F 两点，求PE PF ⋅
的取值范围.
（3）若G （-a,0），H （2a,0），θ为C 点的轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数λ（0λ>），使得
QHG QGH λ∠=∠恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
21.已知数列{}n a 满足112a =，1(1)(2)()4n n n n a n a n N a n
+++-=∈+ （1）求2a 、3a 、4a ； （2）是否存在实数t ，使得数列n n a tn a n +⎧⎫
⎨
⎬+⎩⎭
是公差为1-的等差数列，若存在求出t 的值，否则，请说明理由；
（3）记22
2
1()n n bn n N a +++=
∈⋅数列{}n b 的前n 项和为S n
，求证：n S >
2010届高考数学试题参考答案（理）
1—10 DBBCC CDABC
11.0.7992 12.
74
π
13.20- 14.10- 15.①② 16.（1）90,,APB AB a PBA θ∠==∠= ，
cos PB a θ∴=.
又在∆BPC 中，BC=a ，45BPC ∠=
，45BCP θ∴∠=-
，
cos ,sin 45sin(45)sin 45sin(45)
a PB a a θ
θθ∴
=∴=
-- ， sin 45cos sin(45)θθ∴=- .
sin 2cos θθ∴=.
tan 2.θ= ………………………………………（6分）
（2）由（1）知sin 2cos θθ=，又22
sin cos 1θθ+=
sin θ∴=
cos θ=.
sin cos PA a PB a θθ∴==
==
在BPC ∆中，,BC a PB ==
，
22
2
282),5a PC a a PC πθ∴=+--=∴=
从而24||||cos135(5525
a PA PC PA PC ⋅=⋅=⋅⋅-=-
.………………（10分）
17.解：记“甲摸球一次摸出红球”为事件A “乙摸球一次摸出红球”为事件B ，则41
()()483
P A P B ==
=+，2
()()3
P A P B ==
且A ，B 相互独立.……………………（2分） （1）乙恰好摸到一个红球的概率为
1
1212122
()()3333339
P P A A B P A B B =⋅⋅+⋅⋅=⨯⨯+⨯⨯=（4分） （2）因为甲在前三次摸球中，没有摸到红球的概率为
321214
()()()33327
P P A B P A B A =⋅+⋅⋅=⨯+=，所以甲至少摸到一个红球的概率为
21413
112727
P P =-=-=……………………………………………………………………（6分）
（3）根据题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，其中
321214
(0)()()()33327P P A B P A B A ξ==⋅+⋅⋅=⨯+=，
2122110
(1)()()()333327
P P A A P A B A ξ==⋅+⋅⋅=⨯+⨯=，
2122(2)()()3327P P A A A ξ==⋅⋅=⨯=，311
(3)()()327
P P A A A ξ==⋅⋅==。

故ξ的分布列为
………………………………………………………………………………………（9分） 数学期望1410211701232727272727
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.……………………………………（10分）
18.（1）以
A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A —xyz （如图），则
11
311
(,,1),(0,0,1),(,0,0),(0,2,0),(,,1),(0,2,1)4242a D a A B a C BD AC =-=- ， 1
1(,,1)(0,2,1)042
a BD AC ⋅=-⋅-= ， 1BD AC ∴⊥
，即BD
⊥A 1C.………………………………………………………（5分） 故无论a 为任何正数，均有BD ⊥A 1C.…………………………………………（6分）
（2）1131(,,0),(,0,1)42
A D a A
B a ==-
，
设平面A 1BD 的一个法向量为n =(x,y,z),则n 1A D ⊥ ，n 1A B ⊥ ，故1
1
310420n A D ax y n A B ax z ⎧⋅=+=⎪⎨⎪
⋅=-=⎩
，即32y ax z ax ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，取13
(,,1)2
n a =- .
又平面A 1B 1D 的一个法向量为(0,0,1)m =
………………………………………（8分） cos ,||||
m n m n m n ⋅∴==
=
⋅
，
结合图形知,m n 与二面角B —A 1D —B 1相等，即,60m n =
，1
2
=
， 解得a =
故当a =B —A 1D —B 1为60
.………………………………………（12分）
19.（1）因为22()34f x x mx m '=---，所以2(2)1285f m m '=---=-， 解得1m =-或7m =-（舍），即1m =-.
（2）由2()3410f x x x '=-+-=，解得121
1,.3
x x == 列表如下：
所以，函数()f x 在区间[0，1]的最小值为().327
f =
（3）因为22()322(1)(2)f x x x x x x =-+-+=+-，由（2）知，当[0,1]x ∈时，有不等式2
50
(1)(2)27
x x +-≥，所以
2127(2),150x x ≤-+即2
2
27(2).150
x x x x ≤-+ 当0,0,0a b c ≥≥≥，且1a b c ++=时，01,01,01a b c ≤≤≤≤≤≤， 所以
222
222222
2727[2()()][2()].1115050
a b c a b c a b c a b c a b c ++≤++-++=-+++++ 又因为2222222()2223()a b c a b c ab bc ca a b c ++=+++++≤++，
所以2
2
2
1
3
a b c ++≥
. 故2222719
(2)11150310
a b c a b c ++≤-=+++. 当且仅当1
3
a b c ===时，取等号.
20.（1）设C （x,y ），由0MA MB MC ++= 知，M ∴是ABC ∆的重心，(,).33
x y
M ∴
又||||NA NB = 且向量MN 与AB 共线，∴N 在边AB 的中垂线上，(0,).3
y
N ∴
而|||NC NA = ，222247()979a y x y ∴+=+
，即22
2.3
y x a -= （2）设E （11,x y ）、F （22,x y ），过点P （0,a ）的直线方程为y kx a =+，代入2
2
23
y x a -=得222(3)240k x akx a ---=，2222416(3)0a k a k ∴∆=+->，即2 4.k <
22431,43k k ∴-<∴
>-或2
4
0.3
k <- 2
121222
24,.33ak a x x x x k k
-∴+==--
222
11221212122
4(1)(,)(,)(1)3a k PE PF x y a x y a x x kx kx k x x k -+∴⋅=-⋅-=+⋅=+=- 222
2
44(1)(,4)(20,).3
a a a k =+
∈-∞+∞- （3）设Q 0000(,)(0,0)x y x y >>，则22200
3
y x a -=，即222
0003().y x a =- 当QH ⊥x 轴时，002,3,x a y a ==∴∠QGH=4
π
，即∠QHG=2QGH ，故猜想 2.λ= 当QH 不垂直x 轴时，tan ∠QHG 00,tan 2y x a =-
∠-QGH=00y
x a
+，
tan 2∴∠QGH=2tan 1tan 2QGH
QGH ∠-∠=
00020002tan .21()y x a y QHG y x a x a
+=-=∠--+ 又2∠QGH 与∠QHG 同在(0,
)(,)22
π
π
π 内，2∴∠QGH=∠QHG. 故存在2λ=，使2∠QGH=∠QHG 恒成立.
21. （1）112a =
，1(1)(2)4n n n n a n a a n
++-=+， 23438
0,,45
a a a ∴==-=-.………………………………………………………………（3分）
（2）11(1)(2)
(1)
(1)4(1)(2)11
4n n n n n n
n n n n n a n t n a t n a tn a n a tn
n a n a n a n a n n a n
+++-+++++++-=-+-+++++++
(2)(41)1
,333
n n n n t a t n a tn t a n a n ++-+-=
-=++
∴数列n n a tn a n ⎧⎫+⎨⎬
+⎩⎭
是公差为1
3t -的等差数列. 由题意，知
1
13
t -=-，得 2.t =-………………………………………………（7分） （3）由（2）知
1122
(1)(1)1
n n a n a n n a n a --=+-⨯-=-++，
所以22,1
n n n
a n -+=
+…………………………………………………（9分）
此时222112(2)2(2)33
n bn n n n +=
==-+++⋅
+，
12Sn ∴=+
+⋅⋅⋅+
11111[().262612=->⨯-=-
故1
.12
n S >-………………………………………………………………………………（14分）。