切线长定理_九年级数学教案_模板

切线长定理 _九年级数学教课方案 _模板
1、教材分析（1）知识结构
（ 2）要点、难点分析
要点：切线长定理及其应用．因切线长定理再次表现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、
角相等、弧相等、垂直关系等供给了理论依照，它属于工具知识，常常应用，所以它是本节的要
点．
难点：与切线长定理相关的证明和计算问题．如 120 页练习题中第 3 题，它不单应用切线长
定理，还用到解方程组的知识，是代数与几何的综合题，学生常常不可以很好的把知识连接起
来．
2、教法建议
本节内容需要一个课时．
（1）在教课中，组织学生自主察看、猜想、证明，并深刻分析切线长定理的基本图
形；对重要的结论实时总结；
（2）在教课中，以“察看——猜想——证明——分析——应用——概括”为主线，展
开在教师组织下，以学生为主体，活动式教课．
教课目的
1．理解切线长的观点，掌握切线长定理；
2．经过对例题的分析，培育学生分析总结问题的习惯，提升学生综合运用知识解题的
能力，培育数形联合的思想．
3．经过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调换学生的学习踊跃性，建立科
学的学习态度．
教课要点 :
切线长定理是教课要点
教课难点 :
切线长定理的灵巧运用是教课难点
教课过程设计:
（一）察看、猜想、证明，形成定理
1、切线长的观点．
如图， P 是⊙ O 外一点， PA， PB 是⊙ O 的两条切线，我们把线段 PA， PB 叫做点 P 到⊙O 的切线长．
指引学生理解：切线和切线长是两个不一样的观点，切线是直线，不可以胸怀；切线长是线
段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，能够胸怀.
2、察看
利用电脑改动点P 的地点，察看图形的特点和各量之间的关系．
3、猜想
指引学生直观判断，猜想图中PA 能否等于PB．PA＝ PB．
4、证明猜想，形成定理．
猜想能否正确。

需要证明．
组织学生分析证明方法．要点是作出协助线OA ， OB ，要证明PA＝ PB．
想想：依据图形，你还能够获取什么结论？
∠OPA＝∠ OPB( 如图 )等．
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线均分
两条切线的夹角．
5、概括：
把前面所学的切线的 5 条性质与切线长定理一同概括切线的性质
6、切线长定理的基本图形研究
如图， PA， PB 是⊙ O 的两条切线，A， B 为切点．直线OP 交⊙ O 于点 D， E，交 AP
于 C
(1)写出图中全部的垂直关系；
(2)写出图中全部的全等三角形；
(3)写出图中全部的相像三角形；
(4)写出图中全部的等腰三角形．
说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中要点，它是灵巧应用知识的基础．
（二）应用、概括、反省
例 1、已知：如图， P 为⊙ O 外一点， PA， PB 为⊙ O 的切线，
A 和
B 是切点， B
C 是直径．
求证： AC ∥ OP．
分析：从条件想，由P 是⊙ O 外一点， PA、PB 为⊙ O 的切线， A ，B 是切点可得PA＝
PB，∠APO ＝∠ BPO ，又由条件BC 是直径，可得 OB ＝ OC，由此联想到与直径相关的定理
“垂径定理”和“直径所对的圆周角是直角”等．于是想到可能作协助线AB.
从结论想，要证AC ∥ OP，假如连接AB 交 OP 于 O，转变为证CA ⊥ AB ， OP ⊥ AB ，
或从OD 为△ABC 的中位线来考虑．也可考虑经过平行线的判断定理来证，可获取多种证法．证法一．如图．连接AB ．
PA，PB 分别切⊙ O 于 A ， B
∴ PA＝ PB∠ APO ＝∠ BPO
∴ OP ⊥AB
又∵BC 为⊙O 直径
∴ AC⊥ AB
∴ AC∥ OP (学生板书 )
证法二．连接AB ，交 OP 于 D
PA，PB 分别切⊙ O 于 A 、 B
∴ PA＝ PB∠ APO ＝∠ BPO
∴AD ＝BD
又∵ BO=DO
∴ OD 是△ABC 的中位线
∴ AC∥ OP
证法三．连接AB ，设 OP 与 AB 弧交于点 E
PA，PB 分别切⊙ O 于 A 、 B
∴ PA＝ PB
∴ OP ⊥AB
∴ =
∴∠ C＝∠ POB
∴ AC∥ OP
反省：教师指引学生比较以上证法，激发学生的学习兴趣，培育学生灵巧应用知识的能
力．
例2、圆的外切四边形的两组对边的和相等．
（分析和解题略）
反省：（ 1）例 3 事实上是圆外切四边形的一个重要性质，请学生记着结论．
四边形的性质：对角互补．
P120 练习：
（ 2）圆内接
练习1填空
如图 ,已知⊙ O 的半径为 3 厘米，PO＝ 6 厘米，PA，PB 分别切⊙ O 于 A，B，则 PA＝ _______，∠APB ＝ ________
练习 2已知：在△ABC中，BC＝14厘米，AC＝9厘米，AB＝13厘米，它的内切圆
分别和 BC ， AC ，AB 切于点 D ，E， F，求 AF ， AD 和 CE 的长．
分析：设各切线长AF ， BD 和 CE 分别为 x 厘米， y 厘米， z 厘米．后列出对于x , y， z 的方程组，解方程组即可求出结果．
（解略）
反省：解这个题时，除了要用三角形内切圆的观点和切线长定理以外，还要用到解方程
组的知识，是一道综合性较强的计算题．经过对此题的研究培育学生的综合应用知识的能力．（三）小结
1、提出问题学生概括
（1）这节课学习的详细内容；
（2）学惯用的数学思想方法；
（3）应注意哪些观点之间的差别 ?
2、概括基本图形的结论
3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法．
（四）作业
教材 P131 习题 7． 4A 组 1． (1)， 2，3， 4． B 组 1 题．
研究活动
图中找错
你能找出（图1）与（图
在图 2 中， P1A 为⊙ O1 ⊙O3 的切线．
2）的错误所在吗？
和⊙ O3 的切线、 P1B 为⊙ O1 和⊙ O2 的切线、P2C 为⊙ O2 和
提示：在图 1 中，连接 PC、PD，则 PC、PD 都是圆的直径，从圆上一点只好作一条直径，所以此图是一张错图，点O 应在圆上．
在图 2 中，设 P1A=P1B=a ， P2B=P2C=b ， P3A ＝ P3C＝ c，则有
a= P1A= P1P3+P3A= P1P3+ c①
c= P3C= P2P3+P3A= P2P3+ b②
a= P1B= P1P2+P2B= P1P2+ b③
将②代人①式得
a= P1P3+（P2P3+ b） = P1P3+P2P3+
b，∴ a-b= P1P3+P2P3
由③得 a-b= P1P2 得
∴P1P2= P2P3+ P1P3
∴P1、 P 2 、P3 应重合，故图 2 是错误的．
不等式和它的基天性质（1）教课目的： 1．认识不等式的意义，掌握不等式的基天性质，并
能正确运用它们将不等式变形；2．提升学生察看、比较、概括的能力，浸透类比的思想方
法；重、难点：掌握不等式的基天性质并能正确运用它们将不等式变形。

教法：试试、议论、指引、总结教具：投影仪教课内容及程序：一、前提测评1．前边，我们已学习了等式和它的基天性质。

请同学们思虑并回答以下问题。

2．由“等式表示相等关系”，教师问：在现实生活中，同种量间有没有不等的关系呢？（如身高与身高、面积与面积等）请学生举一些实例。

3．这节课，我们就来认识表示不等式关系的式子，并研究它的性质。

（板书：不等式和它的基天性质）二、达标导学我们先来认识不等式。

（板书：“1不.等式的意义”）1．教师出示以下式子（板书）： -71+4 , 5+31≠2-5 , a≠0 , a+2>a+1 , x+34B 组-3-5；D组 -22 ∴ -3>-2 （）②∵ -10 （）④∵ -a
活动目标：
1、利用几何画板的形象性，经过度的变化，考证并进一步研究函数图象的性质。

2、利用几何画板的动向性，从变化的几何图形中，找寻不变的几何规律。

3、学会作简单函数的图象，并对图象作初步认识。

4、经过本节课的教课，把几何画板作为学生认知的工具，进而激发学生学习和研究数学的
兴趣。

活动的要点难点及设备
活动要点：图形的性质和规律的研究
活动难点：几何画板的操作（作函数的图象）
活动设备：微机室（有液晶投影仪和大屏幕)；
windows 操作平台
几何画板
office2000 等
教师准备好的五个画板文件：
hstx1.gsp
hstx2.gsp
hstx3.gsp
ymdl1.gsp
ymdl2.gsp 。

操作一
按以下步骤进行操作，并回答相应的问题。

1、单击右上角“请看动画”，再翻开
d:\jhhb\hstx1.gsp
2、拖动点 E 和点 F 沿坐标轴运动（或双击按钮“动画画板文件；
1”），同时观看分析式中的k 和 b 的变
化。

①当 k>0 时，图象经过哪几个象限？
②当 k
3、双击显示按钮后，在k>0 和 k
4、先在座标系内作出直线（或直接翻开文件：c:\sketch\hstx2.gsp ）操作二
1、同操作一，翻开d:\jhhb\hstx2.gsp
2、保持 a 不变，分别上下挪动 b、 c 改变 b、 c 的大小时，抛物线的形状能否变化？上下挪动
a 改变 a 的大小，注意观看抛物线的张口方向与什么相关？张口程度与什么相关？
3、上下挪动 c 改变 c 的大小，看抛物线如何变化？
4、分别改变 a、b 的大小，看抛物线的对称轴能否发生变化？由 3 和 4 可知，抛物线的对称
轴与什么相关？与什么没关？
5、 c 保持不变，改变a、 b 时，抛抛线老是经过哪一点？
6、抛物线与 x 轴交点的个数与b2-4ac 的符号有什么关系？
7、双击显示按钮，再双击动画按钮,察看 y 随 x 如何变化？
8、当 a=0 时，函数的图象是什么？
操作三
翻开文件： d:\jhhb\ymdl1.gsp
圆的两弦 AB 、 CD 订交于圆内一点P，我们获取，假如把点 P 拖到圆外，上述结论
能否成立？假如点在圆上呢？
操作四
作函数 y=x2-2 的图象
作图步骤：
1、击“文件”菜单中“新绘图”命令，成立新的绘图板；
2、点击“图表”菜单中的“成立坐标轴”；
3、在横坐标轴上任找一点，用“文本工具”，加上标签“ C，”选中 C 点，单击“胸怀”菜单中的“坐标”命令，得胸怀值， C：（ -2.80,0.00 ）,再用“选择工具”选择它。

（胸怀值变黑）
4、点击“胸怀”菜单中的“计算”命令，出现计算器；
5、点击“数值”下拉式菜单中的“点 C”的“ x值”，按“确立”按纽，得 Xc=-2.80 再用“选择工具”选择它。

（胸怀值变黑）
6、点击“胸怀”菜单中的“计算”命令，出现计算器，再点击“数值”下拉式菜单中的“ x[c]，”分
别按计算器上的“∧ ”、“2、”“-”、“2”、“确立”按纽。

获取代数式的值：xc2-2=14.45.
7、用“选择工具”，分别选中 Xc=-2.80 xc2-2=14.45. （选用第二个对象要按键盘上的“ shift”
键的同时再选）；
8、点击“图表”菜单中的“绘出（ x， y）”，获取点“ E。

”（假如看不到点E，说明它不在目前
的视窗内，此时可调整 C 点，使该点出此刻窗口内）；
9、分别选中点 E 和点 C，点击“作图”菜单中的“轨迹”，得二次函数的图象。

活动目标：
1、利用几何画板的形象性，经过度的变化，考证并进一步研究函数图象的性质。

2、利用几何画板的动向性，从变化的几何图形中，找寻不变的几何规律。

3、学会作简单函数的图象，并对图象作初步认识。

4、经过本节课的教课，把几何画板作为学生认知的工具，进而激发学生学习和研究数学的
兴趣。

活动的要点难点及设备
活动要点：图形的性质和规律的研究
活动难点：几何画板的操作（作函数的图象）
活动设备：微机室（有液晶投影仪和大屏幕)；
windows 操作平台
几何画板
office2000 等
教师准备好的五个画板文件：
hstx1.gsp
hstx2.gsp
hstx3.gsp
ymdl1.gsp
ymdl2.gsp 。

操作一
按以下步骤进行操作，并回答相应的问题。

1、单击右上角“请看动画”，再翻开
画板文件；
d:\jhhb\hstx1.gsp
2、拖动点 E 和点 F 沿坐标轴运动（或双击按钮“动画1”），同时观看分析式中的k 和 b 的变
化。

①当 k>0 时，图象经过哪几个象限？
②当 k
3、双击显示按钮后，在k>0 和 k
4、先在座标系内作出直线（或直接翻开文件：c:\sketch\hstx2.gsp ）
操作二
1、同操作一，翻开d:\jhhb\hstx2.gsp
2、保持 a 不变，分别上下挪动 b、 c 改变 b、 c 的大小时，抛物线的形状能否变化？上下挪动
a 改变 a 的大小，注意观看抛物线的张口方向与什么相关？张口程度与什么相关？
3、上下挪动 c 改变 c 的大小，看抛物线如何变化？
4、分别改变a、b 的大小，看抛物线的对称轴能否发生变化？由 3 和4 可知，抛物线的对称
轴与什么相关？与什么没关？
5、 c 保持不变，改变a、 b 时，抛抛线老是经过哪一点？
6、抛物线与x 轴交点的个数与b2-4ac 的符号有什么关系？
7、双击显示按钮，再双击动画按钮,察看 y 随 x 如何变化？
8、当 a=0 时，函数的图象是什么？
操作三
翻开文件：d:\jhhb\ymdl1.gsp
圆的两弦 AB 、 CD 订交于圆内一点P，我们获取，假如把点P 拖到圆外，上述结论
能否成立？假如点在圆上呢？
操作四
作函数 y=x2-2 的图象
作图步骤：
1、击“文件”菜单中“新绘图”命令，成立新的绘图板；
2、点击“图表”菜单中的“成立坐标轴”；
3、在横坐标轴上任找一点，用“文本工具”，加上标签“ C，”选中C点，单击“胸怀”菜单中的
“坐标”命令，得胸怀值，C：（ -2.80,0.00 ）,再用“选择工具”选择它。

（胸怀值变黑）
4、点击“胸怀”菜单中的“计算”命令，出现计算器；
5、点击“数值”下拉式菜单中的“点C”的“ x值”，按“确立”按纽，得Xc=-2.80再用“选择工具”
选择它。

（胸怀值变黑）
6、点击“胸怀”菜单中的“计算”命令，出现计算器，再点击“数值”下拉式菜单中的“ x[c]，”分
别按计算器上的“∧ ”、“2、”“-”、“2、” “确立”按纽。

获取代数式的值：xc2-2=14.45.
7、用“选择工具”，分别选中Xc=-2.80 xc2-2=14.45. （选用第二个对象要按键盘上的“ shift”
键的同时再选）；
E，说明它不在目前
8、点击“图表”菜单中的“绘出（ x， y）”，获取点“ E。

”（假如
看不到点的视窗内，此时可调整 C 点，使该点出此刻窗口内）；
9、分别选中点 E 和点 C，点击“作图”菜单中的“轨迹”，得二次函数的图象。

教课方案示例1教课目的：
（1）使学生理解正多边形观点，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理；
（2）经过正多边形定义教课，培育学生概括能力；经过正多边形与圆关系定理的教
课培育学生察看、猜想、推理、迁徙能力；
（3）进一步向学生浸透“特别——一般”再“一般——特别”的唯物辩证法
思想．教课要点：
正多边形的观点与正多边形和圆的关系的第一个定理．
教课难点：
对定理的理解以及定理的证明方法．
教课活动设计：
（一）察看、分析、概括：
察看、分析：1．等边三角形的边、角各有什么性质？
2．正方形的边、角各有什么性质？
概括：等边三角形与正方形的边、角性质的共同点．
教师组织学生进行，并能够发问学生问题．
（二）正多边形的观点：
（ 1）观点：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．假如一个正多边形有n(n ≥3) 条边，就叫正n 边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．（ 2）观点理解：
①请同学们举例，自己在平时生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边
形， .）
②矩形是正多边形吗？为何？菱形是正多边形吗？为何？
矩形不是正多边形，由于边不必定相等．菱形不是正多边形，由于角不必定相等．
（三）分析、发现：
问题：正多边形与圆有什么关系呢？
发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，而且为齐心圆．
分析：正三角形三个极点把圆三均分；正方形的四个极点把圆四均分．要将圆五均分，
把均分点按序连接，可得正五边形．要将圆六均分呢？
（四）多边形和圆的关系的定理
定理：把圆分红n(n ≥3)等份：
(1) 挨次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形；
(2) 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为极点的多边形是这个圆的外切正n 边形．
我们以 n=5 的状况进行证明．
已知：⊙ O 中， = = = = ， TP、PQ、 QR、 RS、 ST 分别是经过点 A 、 B、 C、 D、E 的
⊙O 的切线．
求证：（ 1）五边形ABCDE 是⊙ O 的内接正五边形；
（ 2）五边形PQRST 是⊙ O 的外切正五边形．
证明：（略）
指引学生分析、概括证明思路：
弧相等
说明： (1) 要判断一个多边形能否是正多边形，除依据定义来判断外，还能够依据这个
定理来判断，即：①挨次连接圆的n(n ≥3)均分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的
n(n ≥等3)分点作圆的切线，相邻切线订交成的多边形是正多边形．
(2)要注意定理中的“挨次”、“相邻”等条件．
(3)此定理被称为正多边形的判断定理，我们能够依据它判断一多边形为正多边形或根
据它作正多边形．
（五）初步应用
P157 练习
1、 (口答 )矩形是正多边形吗?菱形是正多边形吗?为何 ?
2．求证：正五边形的对角线相等．
3．如图，已知点A、 B、 C、D 、 E 是⊙ O 的 5 均分点，画出⊙O 的内接和外切正五边形．
（六）小结：
知识：（ 1）正多边形的观点．（ 2）n 均分圆周 (n ≥3)可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形．
能力和方法：正多边形的证明方法和思路，正多边形判断能力
（七）作业教材P172习题A组2、3．
教课方案示例 2
教课目的：
（1）理解正多边形与圆的关系定理；
（2）理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相像的性质；
（3）理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等观点；
（4）经过正多边形性质的教课培育学生的研究、推理、概括、迁徙等能
力；教课要点：
理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的观点和性质定
理．教课难点：
对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，而且这两个圆是齐心圆”的理解．教
课活动设计：
（一）提出问题：
问题：上节课我们学习了正多边形的定义，而且知道只需n 均分 (n ≥3)圆周就能够获取
的圆的内接正 n 边形和圆的外切正 n 边形．反过来，能否每一个正多边形都有一个外接圆和内切
圆呢？
（二）实践与研究：
组织学生自己达成以下活动．
实践： 1、作已知三角形的外接圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？
2、作已知三角形的内切圆，圆心是已知三角形的什么线的交点？半径是什么？
研究 1：当三角形为正三角形时，它的外接圆和内切圆有什么关系？
研究 2：（ 1）正方形有外接圆吗？如有外接圆的圆心在哪？(正方形对角线的交点．)
（2）依据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？
（3）正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁？
（三）拓展、推理、概括：
（ 1）拓展、推理：
过正五边形ABCDE 的极点 A 、B 、 C、作⊙ O 连接 OA 、 OB 、OC、 OD．
同理，点 E 在⊙ O 上．
所以正五边形ABCDE 有一个外接圆⊙O．
由于正五边形ABCDE 的各边是⊙ O 中相等的弦，所以弦心距相等．所以，以点圆心，以弦心距 (OH) 为半径的圆与正五边形的各边都相切．可见正五边形ABCDE
O 为还有一个
以 O 为圆心的内切圆．
（2）概括：
正五边形的随意三个极点都不在同一条直线上
它的随意三个极点确立一个圆，即确立了圆心和半
径．其余两个极点到圆心的距离都等于半径．
正五边形的各极点共圆．
正五边形有外接圆．
圆心到各边的距离相等．
正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心，半径是圆心到随意一边的距离．
照此法证明，正六边形、正七边形、正 n 边形都有一个外接圆和内切圆．
定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是齐心圆．
正多边形的外接圆 (或内切圆 )的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相
等．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．正 n 边形的每其中心角都等
于．
（ 3）稳固练习：
1、正方形ABCD 的外接圆圆心O 叫做正方形ABCD 的 ______．
2、正方形ABCD 的内切圆⊙ O 的半径 OE 叫做正方形ABCD 的 ______．
3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是 ______，边心距是 ______，它的每一个内角是______ ．
4、正n 边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．
（四）正多边形的性质：
1、各边都相等．
2、各角都相等．
察看正三角形、正方形、正五边形、正六边形能否是轴对称图形？假如是，它们又各应
有几条对称轴？
3、正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都经过正n 边形的中心．边数是偶数的正多边形仍是中心对称图形，它的中心就是对称中心．
4、边数相同的正多边形相像．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相像比，
面积的比等于相像比的平方．
5、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是齐心圆．
以上性质，教师指引学生自主研究和概括，能够以小组的形式研究，这样既培育学生的研
究问题的能力、培育学生的研究意识，也培育学生的协作学习精神．
（五）总结
知识：（ 1）正多边形的中心、半径、边心距、中心角等观点；
（2）正多边形与圆的关系定理、正多边形的性
质．能力：研究、推理、概括等能力．
方法：证明点共圆的方法．
（六）作业P159 中练习 1、 2、3．
教课方案示例 3
教课目的：
（1）稳固正多边形的相关观点、性质和定理；
（2）经过证明和绘图提升学生综合运用分析问题和解决问题的能力；
（3）经过例题的研究，培育学生的研究精神和不停更新的创新意识及选优意
识．教课要点：
要理解经过综合运用正多边形的相关观点和正多边形与圆关系的相关定理来解决问题，
对详细图形的证明所给出的一般的证明方法，还要注意与前面所学知识的联想和化归．教课难点：综合运用知识证题．
教课活动设计：
（一）知识回首
1．什么叫做正多边形？
2．什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？
) 3．正多边形有哪些性质？(边、角、对称性、相像性、有两圆且齐心
4．正 n 边形的每其中心角都等于．
5．正多边形的相关的定理．
（二）例题研究：
例 1、求证：各角相等的圆外切五边形是正五边形．
已知：如图，在五边形ABCDE 中，∠ A= ∠ B= ∠ C= ∠D= ∠E，边 AB 、BC 、 CD、 DE、EA 与⊙ O 分别相切于 A ’、 B ’、 C’、D ’、 E’．
求证：五边形ABCDE 是正五边形．
分析：要证五边形ABCDE 是正五边形，已知已具备了五个角相等，明显证五条边相等即可．
教师指引学生分析，学生着手证明．
证法 1：连接 OA、 OB 、 OC，
∵五边形 ABCDE 外切于⊙ O．
∴∠ BAO= ∠OAE ，∠ OCB= ∠OCD ，∠ OBA= ∠ OBC ，
又∵∠ BAE= ∠ ABC= ∠ BCD ．
∴∠ BAO= ∠OCB ．
又∵ OB=OB
∴△ ABO ≌△ CBO ，∴ AB=BC ，同理BC=CD=DE=EA ．
∴五边形 ABCDE 是正五边形．
证法 2：作⊙ O 的半径 OA ’、OB ’、 OC’，则
OA ’⊥ AB ， OB ’⊥ BC 、 OC’⊥ CD．
∠B=∠C ∠1=∠2 = ．
同理=== ，
即切点 A ’、B ’、C’、 D’、 E’是⊙ O 的 5 均分点．所以五边形A BCDE 是正五边形．反省：判断正多边形除了用定义外，还常常用正多边形与圆的关系定理 1 来判断，证明要点是证出各切点为圆的均分点．由相同的方法还能够证明“各角相等的圆外切n 边形是正边形”．
别的，用正多边形与圆的关系定理 1 中“把圆 n 均分，挨次连接各分点，所得的多边形是圆内接正多边形”还能够证明“各边相等的圆内接n 边形是正n 边形”，证明要点是证出各
接点是圆的均分点。

拓展 1：已知：如图，五边形ABCDE 内接于⊙ O，AB=BC=CD=DE=EA．
求证：五边形ABCDE 是正五边形．（证明略）
分小组进行证明比赛，并概括学生的证明方法．
拓展 2：已知：如图，齐心圆⊙ O 分别为五边形 ABCDE 内切圆和外接圆，切点分别为F、
G、H、M、N．
求证：五边形ABCDE 是正五边形．（证明略）
学生独立达成证明过程，对 B、C 层学生教师赐予实时指导，最后能够应用实物投影展现
学生的证明成就，特别是对质明方法好，步骤推理严实的学生赐予夸奖．
例 2、已知：正六边形 ABCDEF ．
求作：正六边形 ABCDEF 的外接圆和内切圆．
作法： 1 过 A 、 B、 C 三点作⊙ O．⊙ O 就是所求作的正六边形的外接圆．
2、以 O 为圆心，以 O 到 AB 的距离 (OH) 为半径作圆，所作的圆就是正六边形的内切圆．
用相同的方法，我们能够作正n 边形的外接圆与内切圆．
练习： P161
1、求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形．
2、 (口答 )以下命题是真命题吗?假如不是，举出一个反例．
(1)各边相等的圆外切多边形是正多边形；
(2)各角相等的圆内接多边形是正多边形．
3、已知：正方形ABCD ．求作：正方形ABCD 的外接圆与内切圆．
（三）小结
知识：复习了正多边形的定义、观点、性质和判断方法．
能力与方法：要点复习了正多边形的判断．正多边形的外接圆与内切圆的画法．
（四）作业
教材 P172 习题 4、 5；另 A 层学生： P174B 组 3、 4．
研究活动
折叠问题：（ 1）想想：如何把一个正三角形纸片折叠一个最大的正六边形．
（提示：①对折；②再折使 A 、B、C 分别与 O 点重合即可）
（ 2）想想：可否把一个边长为8 正方形纸片折叠一个边长为 4 的正六边形．
（提示：能够．主要应用把一个直角三均分的原理．参照图形以下：
①对折成小正方形ABCD ；
②对折小正方形ABCD 的中线；
③对折使点 B 在小正方形ABCD 的中线上（即 B ’）；
④则 B 、 B’为正六边形的两个极点，这样可得知足条件的正六边形．）
研究问题：
（安徽省 2002 ）某学习小组在研究“各内角都相等的圆内接多边形能否为正多边形”时，进行以下议论：
甲同学：这类多边形不必定是正多边形，如圆内接矩形；
乙同学：我发现边数是 6 时，它也不必定是正多边形．如图一，△ABC是正三角形,形，== ，能够证明六边形 ADBECF 的各内角相等，但它未必是正六边形；
7 时，它可能也是正
丙同学：我能证明，边数是 5 时，它是正多边形．我想，边数是多
边形．
(1)请你说明乙同学结构的六边形各内角相等．
(2) 请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG( 如图二 )是正七边形 (不用写已知、求证 )．
(3)依据以上研究过程，提出你的猜想 (不用证
明 )．（1）[说明 ]
（2）[证明 ]
（3）[猜想 ]
解：（ 1）由图知∠ AFC 对．由于 = ，而∠ DAF 对的 = + = + =．所以∠ AFC=∠DAF．同理可证，其余各角都等于∠AFC ．所以，图 1 中六边形各内角相．
（2）由于∠ A 对，∠ B 对，又由于∠ A=∠B，所以= ．所以= ．
同理 = = = = = =．所以七边形ABCDEFG是正七边形．
猜想：当边数是奇数时 (或当边数是 3，5，7，9，时 )，各内角相等的圆内接多边形是正
多边形．。