高中数学第三章统计案例3_2回归分析优化训练苏教版选修23

回归分析
五分钟训练（预习类训练，可用于课前）
1.若回归直线方程中的回归系数b
ˆ=0,则相关系数（ ） =1 =-1 C.r=0 D.无法确定
答案:C
解析：∑∑==---n
i i
n
i i i
x x
y y x x
b
1
2
1
)()
)((ˆ,
r=
∑∑∑===-•---n
i n
i i i
n
i i i
y y x x
y y x x
1
1
2
2
1
)()()
)((.若b
ˆ=0，则r=0. 2.若某地财政收入x 与支出y 满足线性回归方程y=bx+a+e(单位：亿元)，其中b=,a=2,|e|
＜,如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过( ) 亿 亿 亿 亿 答案:C
解析：代入数据y=10+e,因为|e|＜,所以|y|＜，故不会超过亿. X 10 15 20 25 30 Y
1 003
1 005
1 010
1 011
1 014
两变量回归直线方程为（ ）
A.y
ˆ=+ B.y ˆ=y ˆ D.y ˆ=+400 答案:A
4.用身高（cm ）预测体重（kg ）满足y=，若要找到 kg 的人，身高____________是150 cm. 答案:不一定
解析：体重不只受身高的影响，还可能受其他因素的影响. 十分钟训练（强化类训练，可用于课中）
1.下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（ ） A.正方体的棱长和体积 B.角的弧度数和它的正弦值
C.单产为常数时,土地面积和总产量
D.日照时间与水稻的亩产量 答案:D
解析：相关关系是一种不确定的关系.
2.散点图在回归分析过程中的作用是( )
A.查找个体个数
B.比较个体数据大小关系
C.探究个体分类
D.粗略判断变量是否线性相关 答案:D
解析：散点图在回归分析中，能粗略进行判断变量间的相关关系.
3.在回归分析中，如果随机误差对预报变量没有影响，那么散点图中所有的点将_____________回归直线上.
答案:完全落在
解析：若不受误差的影响，散点图将准确反映变量间的关系.
4.回归直线方程为_____________，其中aˆ=_____________，bˆ=_____________.
答案:x b
a
yˆ
ˆ
ˆ+
=x b
yˆ
ˆ-
∑
∑
=
=
-
-
-
n
i
i
n
i
i
i
x
x
y
y
x
x
1
2
1
)
(
)
)(
(
30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）
1.对相关系数r，下列说法正确的是（）
A.|r|越大，相关程度越大
B.|r|越小，相关程度越大
C.|r|越大，相关程度越小，|r|越小，相关程度越大
D.|r|≤1且|r|越接近1，相关程度越大，|r|越接近0，相关程度越小
答案:D
解析：由两个变量的相关系数公式可知相关程度的强弱与|r|与1的接近程度有关.|r|越接近1，相关程度越大;|r|越接近0，相关程度越小.
年春季，我国部分地区SARS流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制，下表是某同学记载的5月1日至5月12日每天北京市SARS患者治愈者的数据，及根据这些数据绘制出的散点图：
日期
人数100109115118121134
日期
人数141152168175186203
下列说法正确的个数为（）
①根据此散点图，可以判断日期与人数具有线性相关关系②若日期与人数具有线性相关关系，则相关系数r与临界值应满足|r|＞③根据此散点图，可以判断日期与人数具有一次函数关系
答案:C
零件数
x(个)
1020304050607080 加工时
间y（分
122535 48 55616470
钟）
答案:y
ˆ=+ 4.已知回归直线方程为y
ˆ=则x=25时,y 的估计值为________________. 答案:
解析：y
ˆ=×=. 5.想象一下一个人从出生到死亡，在每个生日都测量身高，并作出这些数据散点图，这些点将不会落在一条直线上，但在一段时间内的增长数据有时可以用线性回归来分析.下表是一年龄/ 周岁 3 4 5 6 7 8 9 身高/cm 年龄/ 周岁 10 11 12 13 14 15 16 身高/cm
(1)年龄（解释变量）和身高（预报变量）之间具有怎样的相关关系？（2）如果年龄相差5岁，则身高有多大差异？（3～16岁之间） （3）如果身高相差20 cm ，其年龄相差多少？
解:（1）设年龄x 与身高y 之间的回归直线方程为a x b y
ˆˆˆ+=, 由公式∑∑==--=n
i i
n
i i
i x
n x
y x
n y
x b
1
2
2
1
ˆˆˆ≈,
x b y a
-=ˆ, 所以y
ˆ=+. （2）如果年龄相差5岁，则预报变量变化 ×5=. (3)如果身高相差20 cm ，年龄相差Δx=
317
.620
=≈3. 6.车的使用费用，尤其是随着使用年限的增多，所支出的费用到底会增长多少，一直是购车一族非常关心的问题.某汽车销售公司为此作了一次抽样调查，并统计得出某款车的使用年限x 与所支出的总费用y(万元)有如下的数据资料: 使用年限x 2 3 4 5 6 总费用y
若有资料知y 对x 呈线性相关关系.试求：
（1）线性回归方程y
ˆ=b ˆx+a ˆ的回归系数a ˆ、b ˆ; （2）估计使用年限为10年时，车的使用总费用是多少？
解：（1）制表
i 1 2 3 4 5 合计 x i 2 3 4 5 6 20 y i 25 x i y i 42 x i 2
4
9
16
25
36
90
∑∑======n
i n
i i i i
y x x y x 1
1
2
3.112,90,5,4
于是104590ˆ2
=⨯-=b
=. x b y a
ˆˆ-==×4=. (2)线性回归直线方程是y ˆ=+，当x=10（年）时，y=×10+=（万元），即估计使用10年时，
支出总费用是万元.
7.高三·一班学生每周用于数学学习的时间x(单位：h)与数学成绩y(单位：分)之间有如下数据： x 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13 y
92
79
97
89
64
47
83
68
71
59
某同学每周用于数学学习的时间为18小时，请预测该生的数学成绩. 解：用科学计算器计算得回归直线方程为：
y
ˆ=+. 当x=18时，y
ˆ=×18+≈77. 故该同学预计数学成绩可得77分左右.
8.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产X 3 4 5 6 Y
3
4
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y
ˆ=b ˆx+a ˆ; (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,
预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值:3×+4×3+5×4+6×=
解:(1)由题设所给数据,可得散点图如下.
(2)由对照数据,计算得:
∑=4
1
2i i
x
=86,
4
6
543+++=
x =,
4
4.5
435.2+++=
y =, 已知
∑=4
1
i i
i y
x =,
所以,由最小二乘法确定的回归方程的系数为:
2
41
2
24
1
5
.44865
.35.445.6644ˆ⨯-⨯⨯-=
-•-=∑∑==i i i i
i x
x y
x y
x b
=, x b y a
ˆˆ-==因此,所求的线性回归方程为=+. (3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗,得降低的生产能耗
为:90-×100+=(吨标准煤).。