勾股定理逆定理教案

课 题
勾股定理的逆定理
学情分析 上节课对勾股定理有了一定的认识，孩子掌握很好，本节课介绍勾股定理的逆定理
教学目标与
考点分析
1．勾股定理的逆定理的内容及用处
2．勾股数
3．互逆命题的概念
教学重点 难点
重点：勾股定理逆定理的内容
难点：勾股定理逆定理的应用 教学方法
演练与讲解
教学过程
备注
知识点一:勾股定理的逆定理
1、定义：如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

2、勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c ）；
（2）若a 2＋b 2＝c 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；
若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）
（定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，
c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边）
3、判断直角三角形：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

知识点二:勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

知识点三:互逆命题与互逆定理的概念
互逆命题：如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理
知识点三：勾股数
1、能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数
2、记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17； 9，12，15等
3、用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；
2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数） 判断是不是勾股数；1、判断三个数是不是正整数 2、找出最大数 3、计算较小两数的平方和是否等于最大数的平方。

已知∆ABC 的三边a 、b 、c 满足0)()(2
2=-+-c b b a ，则∆ABC 为 三角形
例题2、在∆ABC 中，若2
a =（
b +
c ）（b -c ），则∆ABC 是 三角形，且∠ ︒90
例题3、在∆ABC 中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC 的长为
变式训练
1.已知2512-++-y x x 与25102
+-z z 互为相反数，试判断以x 、y 、z 为三边的三角形的形状。

2.已知：在∆ABC 中，三条边长分别为a 、b 、c ，a =12-n ，b =2n ，c =12
+n （n >1） 试说明：∠C=︒90。

3.若∆ABC 的三边a 、b 、c 满足条件2
a c
b a
c b 2624103382
2++=+++，试判断∆ABC 的形状。

4.已知∆ABC 的三边a 、b 、c 满足,0)10(8262
=-+-+-c b a 则以a 、b 、c 为边的三角形是
题型三：勾股定理和逆定理并用
例题3 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一
点，且
AB FB 4
1
那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？
题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直
例题5 如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD 边是否垂直与AB 边和CD 边，
他测得AD=80cm ，AB=60cm ，BD=100cm ，AD 边与AB 边垂直吗？怎样去验证AD 边与CD 边是否垂直？
例题6 有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？
角
1、试判断：三边长分别是)(2,,2222b a ab b a b a >+-的三角形是什么三形？
2、三角形三边a,b,c 满足2(5)12130a b c -+-+-=，请判断三角形是什么三角形？
3、一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？
C
13
C
A D
B
4、如图正方形ABCD ，E 为BC 中点，F 为AB 上一点，且BF=14AB 。

请问FE 与DE 是否垂直?请说明。

1、如图中字母A 所代表的正方形的面积为
2、如图直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为 .
3、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求四边形ABCD 的面积 。

4、如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积 。

5、如图，已知在Rt△ABC 中，AB=4，分别以AC 、BC 为直径作半圆，面积分别记为S 1，S 2，则S 1+S 2= 。

C
A B 2S 1
S
6、如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90o
，分别以AB 、BC 、CA 为边向外作半圆，面积分别为S 1、S 2、S 3，也有S 1=
7、如图，Rt△ABC 中，BC=6，AC=8，在AB 的同侧，分别以AB 、AC 、BC 为直径作三个半圆，阴影部分的面积为
题型六：关于翻折问题
例1、 如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折
叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.
变式：如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C ’的位置，BC=4,求BC ’的长. C A B C
A B
1S 2S 3
S
题型七：关于勾股定理在实际中的应用：
例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影时间为多少？
题型八：关于最短性问题
例5、如右图1－19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己
的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走
直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，
获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?
（π取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）
变式：
如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是1cm，
假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？
课堂练习
一．填空题：
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°
（2）b=8，c=17，则S △ABC =________。

2.若一个三角形的三边之比为5∶12∶13，则这个三角形是________（按角分类）。

3. 直角三角形的三边长为连续自然数，则其周长为________。

4．传说,古埃及人曾用＂拉绳”的方法画直角,现有一根长24厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为_______厘米,______厘米,________厘米,其中的道理是______________________.
5.命题“对顶角相等”的逆命题为___________________,它是____命题.(填“真”或“假”)
6．观察下列各式：32+42=52；82+62=102；152+82=172；242+102=262；……；你有没有发现其中的规律？请用你发现的规律写出接下来的式子：____________________________。

7．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图(最早由三国时期的数学家赵爽给出的)．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积． 因而c 2＝ ＋ ,化简后即为c 2＝ ．
8． 一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线
的长是_____________。

二．选择题：
9．观察下列几组数据:(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25. 其中能作为直角三角a
b
c A
B 第8题图
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10．三个正方形的面积如图，正方形A 的面积为（ ）
A. 6
B.４
C. 64
D. 8
11.已知直角三角形的两条边长分别是5和12，则第三边为 （ ） Ａ． １３ Ｂ．
119 Ｃ．１３或119 Ｄ． 不能确定
12.下列命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数，那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是5、12，那么斜边必是13；③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ，（a>b=c ），那么a 2∶b 2∶c 2=2∶1∶1。

其中正确的是（ ） A 、①②
B 、①③
C 、①④
D 、②④
13.三角形的三边长为（a+b ）2=c 2+2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.
14.如图一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 （ ） A 、25海里
B 、30海里
C 、35海里
D 、40海里
15. 已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（ ） A 、40
B 、80
C 、40或360
D 、80或360
16．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ） A 、450a 元
B 、225a 元
C 、150a 元
D 、300a 元
A
10
6北
南
A 东
第14题
三．解答题：
17．如图1，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ） （A ）CD 、EF 、GH （B ）AB 、EF 、GH
（C ）AB 、CD 、GH
（D ）AB 、CD 、EF
图1
18.(1)在数轴上作出表示
2 的 点.
(2)在第(1)的基础上分别作出表示 1- 2和
2 +1的点.
19．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺， 求竹竿高与门高。

150°
20m
30m
第16题图
20．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
21.如图5，将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G 。

如果M 为CD 边的中点，
求证：DE ：DM ：EM=3：4：5。

A
A ′
B B ′
O
第20题图
图5
22、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。