鄂州市2007—2008学年度上学期期末考试高二数学(文科)

鄂州市2007—2008学年度上学期期末考试
高二数学（文科）
命题人：孙文典审题人：林春保
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、学校写在答题纸的密封线内。

2．选择题的每小题选出答案后，把答案代码填在答题纸前面的选择题答题表内，不能答在试卷上。

3．填空题和解答题应在指定的地方作答，否则答案无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．对于实数a、b、c，下列命题中正确的是
A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
C．若a＜b＜0，则1
a
＜
1
b
D．若b＜c＜0，则
c
b
＞
b
c
2．不等式( x－1)| x＋2|≥0的解集为
A．{ x | x＞1} B．{ x | x≥1}
C．{ x | x≥1或x＝－2} D．{ x | x≥－2或x≠1}
3．对于任意的直线l与平面a，在平面a内必有直线m与l
A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线
4．若l为一条直线，a、b、r为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
①a⊥r，b⊥r a⊥b②a⊥r，b∥r a⊥b
③l∥a，l⊥b， a⊥b
其中正确的命题有
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．椭圆mx2＋ny2＝－mn ( m＜n＜0)的焦点坐标是
A．(0，±m－n) B．(±m－n，0)
C．(±n－m，0) D．(0，±n－m)
6．过抛物线y2＝4x的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为m和n，则
A．m＋n＝mn B．m－n＝mn C．m2＋n2＝mn D．m2－n2＝mn
7．使关于x的不等式| x＋1|＋k＜x有解的实数k的取值范围A．(－∞，－1) B．(－∞，1) C．(－1，＋∞) D．(1，＋∞)
8．设F、F分别x2
a2
＋
y2
b2
＝1( a＞b＞0)的左、右焦点，若在其右准线上
存
在点P，使线段PF 的中F，心率的取值范围是
A．(0，2
2] B．(0，3
3
] C．[2
2
，1) D．[3
3
，1)
9．四边形ABCD是∠A＝120o的菱形，沿AC将该菱形折成二面角B—AC—D，记异面直线AC、BD所成的角a，AD与平面ABC所成的角为b，当a＋b最大时，二面角B—AC—D的大小
A．π
3B．π
2
C．arctan2D．arctan2
2
10．如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2＋( y＋2)2＝1上，那么 |PQ|的最小值为
A．4
5
－1 B．5－1 C．2 2－1 D．2－1
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

）
11．若直线ax＋2y＋8＝0, 4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点, 则a＝
_________.
12．一张坐标纸对折一次后，点A(0，4)与点B(8，0)重合，若点C(6, 8)与点D(m, n )重合，则m＋n＝____________．
13．已知x2＋(y＋1)2＝|x－2y＋3|
m
表示椭圆方程，则m取值范围为___________．
14．若异面直线a、b所成的角为60o，AB是公垂线，E、F分别是异面直线a、b上到
A、B距离分别为2和1的两点，当|EF|＝3时，线段AB的长为____________．
15．已知△ABC的角A、B、C对应边a、b、c，给出以下论断：
①a－c＜b－c②
b
a＋c
＞
a
b＋c
③
a＋c
b＋c
＜
a
b
④minA＞minB
以①②③中的一个论断为条件，论断④为结论，组成一个命题，写出你认为不
正确的一个命题__________________________________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）
解不等式4－x2＋|x|
x
≥0
17．（本小题满分12分）
如图，F1、F2分别是椭圆x2
a2
＋
y2
b2
＝1( a＞b＞0)的左、右焦点，M为椭圆上一
点，MF⊥x轴，且OM与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行．
⑴求椭圆的离心率；
⑵过F2且与OM垂直的直线交椭圆于P、Q，若
S
△PF1Q
＝203，求椭圆的方程．
18．（本小题满分12分）
如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长
均为1，且它们所在平面互相垂直，G为BC
的中点，求：
⑴点G到平面ADE的距离；
⑵直线AD与平面DEG所成角的正切值．
19．（本小题满分12分）
已知圆O：x2＋y2＝9的内接△ABC中，点A的坐标是(－3，0)，重心G的坐标
是(－1
2
，－1)，求直线BC的方程．
20．（本小题满分13分）
图(1)是一个正方体的表面展开图，MN和PQ是两条面对角线，请在图(2)的正方体中将MN、PQ画出来，并就这个正方体解答以下各题．
⑴求MN与PQ所成的角的大小；
⑵求二面角M—NQ—P的大小．
21．（本小题满分14分）
已知点H (－3，0)，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ
上，且满足HP·PM＝0，PM＝－3
2
MQ．
⑴当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；
⑵过定点D(m，0)( m＞0)作直线l交轨迹C于A、B两点，E是D关于原点O的对称点，求证：∠AED＝∠BED．
鄂州市2007—2008学年度上学期期末考试
高二数学（文科）参考答案
一、选择题
二、填空题
11．－1 12．74
5
13．(5，＋∞) 14．2和6 15．②④
三、解答题
16．解：由4－x2知4－x2≥0，有－2≤x≤2 ……………………………………(2分) 当0＜x≤2时，原不等式等价于4－x2＋1≥0成立
当x＝0时，原不等式无意义
当－2≤x＜0时，原不等式等价于4－x2≥1
∴－3≤x＜0 ………………………………………………………… (10分)
故原不等式的解集为{x| －3≤x＜0或0＜x≤2} ………………… (12分)
17．解：⑴由已知M( c，b2
a
)
∵k ＝k∴b2
ac
＝
b
a
∴b＝c，e＝
c
a
＝
2
2
………… (5分)
⑵∵点M的坐标( c，b2
a
)，又a＝2c，b＝c
∴点M的坐标为( c，
2
2
c)，
∴k＝
2
2
∴k＝－2
∴直线PQ的方程为y＝－2( x－c ) ………………………………(8分) 由
得| y－y|＝(y
1＋y
2
)2－4y1y2＝
43
5
c
∴S＝1
2
F
1
F2y1－y2＝
1
2
×2c×
43
5
c＝20 3
∴c2＝b2＝25 a2＝50
∴椭圆方程为x2
50
＋
y2
25
＝1 ……………………………………………(12分)
18．解：⑴∵BC∥AD，AD 平面ADE
∴BC∥平面ADE
∴点G到平面ADE的距离即点B到平面ADE的距离………………(2分) 连BF交AE于H，则BF⊥AE，又BF⊥AD
∴BF⊥面ADE
∴BH即为点B到平面ADE的距离
在 Rt △ABE 中，BH ＝
2
2
……………………………………………(6分) ⑵设 DE 中点为 O ，连 OG 、OH 则 OH 1
2
AD ， BG 12 AD
∴四边形 BHOG 为平行四边形
∴GO ∥BH ………………………………………………………………(8分) 由⑴ BH ⊥面 ADE ∴ GO ⊥面 ADE 又 GO 平面 DEG ∴面 OEG ⊥面 ADE ∴过点 A 作 AM ⊥ DE 于 M ，则 AM ⊥面 DEG
∴∠ADE 为直线 AD 与平面 DEG 所成的角 …………………………(10分) 在 Rt △ADE 中，tan ∠ADE ＝ 2
∴直线 AD 与平面 DEG 所成角的正切值为 2 …………………… (12分)
19．解：设 B ( x 1、y 1)，C ( x 2、y 2)，连 AG 交 BC 于 M ，则 M 为 BC 的中点 由三角形的重心公式得
……………………… (3分)
∴
∴点 M 的坐标为( 3
4，－ 32
) …………………………………………… (6分) 连 OM ，则 OM ⊥BC ，又 k ＝－2 ∴ k ＝ 12
…………………(10分) ∴ BC 的方程为 y ＋ 32＝ 12( x － 34
)
即4x －8y －15＝0 ……………………………………………………… (12分)
20．解：MN 、PQ 如图示
⑴连结 MC 、NC ，可得 PQ ∥NC ，则∠MNC (或其 补角)就是异面直线 MN 与 PQ 所成的角 …(3分) ∵△MNC 是等边三角形 ∴∠MNC ＝60o
∴ MN 与 PQ 所成的角为60o …………………(6分) ⑵∵ PN ⊥面 AQMP ∴平面 MPQ ⊥面 NPQ
作 MO ⊥ PQ 于 O ，ME ⊥ NQ 于 E ，连 OE
并设正方体的棱长为1，则 MO ⊥面 NPQ ……………………………(8分) ∵ OE 是 ME 在平面 NPQ 内的射影 ∴OE ⊥NQ
∴∠MEO 是二面角 M — NQ — P 的平面角 …………………………(10分) 由△QOE ∽△QNP 得 OE
PN ＝ OQ
QN ∴ OE ＝ 16
∵ OM ＝
2
2
，MO ⊥OE ，∴tan ∠MEO ＝ MO EO ＝ 3
∴∠MEO＝60o
∴二面角M—NQ—P的大小为60o…………………………………(13分) 21．解：⑴设M (x，y)、P (0，y' )、Q (x'，0) (x'＞0)
∵PM＝－3
2
MQ，HP·PM＝0
∴( x，y－y' )＝－3
2
( x'－x，－y )
(3，y' )·( x，y－y' )＝0 ………………(4分)
∴x'＝1
3
x，y'＝－
1
2
y，3x＋yy'－y'2＝0
∴y2＝4x ( x＞0)
∴动点M的轨迹C是以O (0, 0)为顶点，以(1, 0)为焦点的抛物线(除原点) ……………………………………………………………………………(6分)
⑵依题意，设直线l的方程为x＝ty＋m ( m＞0)，A (x1、y1)、B ( x2、y2) 则A、B两点的坐标满足方程组y2－4ty－4m＝0
∴y1＋y2＝4t y1y2＝－4m ……………………………………………(9分)
设直线AE和BE的斜率分别为k1、k2，则
k＋k＝
y1
x1＋m
＋
y2
x2＋m
＝
y1(x2＋m)＋y2(x1＋m)
(x1＋m)(x2＋m)
＝1
4
y1y22＋
1
4
y2y21＋m(y1＋y2) (x1＋m)(x2＋m)
＝1
4
y1y2(y1＋y2)＋m(y1＋y2) (x1＋m)(x2＋m)
＝1
4
·4t·(－4m)＋4mt
(x1＋m)(x2＋m)
＝0
…………………………………(12分)
∴tan∠AED＋tan (180o－∠BED )＝0 ∴tan∠AED＝tan∠BED
∵0＜∠AED＜π
2，0＜∠BED＜π
2
∴∠AED＝∠BED……………………………………………………(14分)。