迭代

定理3 (压缩不动点定理或压缩映象定理)若迭代函数g(x)满足 (1) g( x ) [a, b],x [a, b] ( 3 .3 ) ( 2)0 L 1, 使x, x [a, b] 有g( x) g( x) L x x ( 3 .4 ) 10 x g( x)在[a, b]内有唯一解 *； x 则 0 2 对xo [a , b]由xk 1 g( xk )得到的{ xk } [a , b], 且 lim xk x *； k 0 证明：1 作h( x) g( x) x,由(1),得h( x) C[a, b], 且
L x x* ,
x x*
xx
x [ x* , x* ]
x [ x * , x * ].
由定理4得证。
＃
在一定条件下，迭代是高价收敛的。有定理5： * 若 定理5 （高阶收敛定理） g ( x )在不动点 x 邻近有直至 m 阶的 连续导数，且满足 g( x* ) g( m 1) ( x* ) 0, g( m ) ( x* ) 0, x 则简单迭代法：k 1 g( xk )是局部收敛的，且收敛阶为 m. 分析：已知条件有各阶导数均为0,因此用泰勒展开公式。 证明： 由推论2，简单迭代法是局部收敛的。 下证收敛阶为 m. 1
k
k
即x*是(3.2)的解 。g(x)把定义域的每个x 映成了g(x)，因此 ( 3.2) 的解也称 g ( x ) 的不动点。 也可理解成：g ( x ) 是映射，若 x * 满足 x* g( x* ), 则 x * 称为 g ( x )的不动点。 注: 适定是收敛必要条件，即不适定则一定不收敛。
* lim x* xk Lk x* x0 0， k xk x 。
k
1 Lk ( 3 有 误 差 估 计 x xk : xk 1 xk x1 x0 ； 3.5) 1 L 1 L * x xk 1 0 * 4 若g( x )存在, 则 lim * g( x* ) k x x k (3.4) g( x) g( x) L x x g( x* ) g( xk ) 证明： 0 x * xk x * xk 1 xk 1 xk L x * xk xk 1 xk 3 k 0， 1 * x xk x k 1 x k . ( 3 .4 ) 1 L 又 xk 1 xk g( xk ) g( xk 1 ) L xk xk 1 Lk x1 x0 , Lk x * xk x1 x0 . 1 L （导数的定义） * * x x g ( x ) g ( xk ) 0 lim * k 1 lim g( x* ). 4 ＃ * k x x k x xk k 注： (1)从定理的结论3知，L越小收敛越快，L叫做渐进收敛因子。
几何意义 求x=g(x)的根
求
y x
分别就下列四种情况说明几何意义： 从点 p0 ( x0 , g( x0 )) 出发,作平行于x轴 的直线交y=x于点 ( g( x0 ), g( x0 )), 过该点 说明两点： { xk } 中 xk 的产生。 作平行于y 轴的直线交y =g(x)于点 (1) { xk } 何时收敛,何时发散。 p1 ( g( x0 ), g( g( x0 ))), 即 p1 ( x1 , g( x1 )). （2）
x[ a , b ]
证明： 只证 (3.4) (3.4), 因 x, x [a, b], g( x) g( x) g( ) x x max g( x ) x x L x x . ＃ 思考：3.4) 不成立时结论是否成立 ？ 不一定 ( 因此该推论是充分条件但不是必要条件。 若 (3.4) 不成立时,则 需要判断(3.4)。
*
又
x * x2 L x * x1 L2 ，
*
， x xk Lk { xk } [ x* , x* ]
x * xk L x * xk 1 Lk x * x0 ，
说明： 定理中的条件是充分但非必要条件。见定理3的注（2）。
a xb
实际计算中往往只在根 x 邻近讨论， 因此有局部收敛定理4： 若 x （局部收敛定理） g( x )在不动点 * 的邻域满足 定理4 x [ x* , x* ], 有 g ( x ) g ( x * ) L x x * ,( 3.7 ) 0 L 1, * * * { xk }收敛于 x , 则x0 [ x , x ], 由 xk 1 g( xk ) 产生的序列 x * xk Lk x * x0 , k 0,1,. ( 3.8) 且有误差估计： 证明：k 1, x * xk g( x * ) g( xk 1 ) L x* xk 1 x * x1 L x * x0 L ，
依次进行下去得到 { xk }, 且 xk 1 g( xk ).
y g( x )
的根
0 g( x* ) 1 y
p0
p1
p2
yx
y g (x)
y
1 g( x ) 0
*
p0
p2
xk x* 迭代法收敛
x
g( x* ) 1 y
y g (x)
xk 1 g( xk ) g( x * ) g( x * )( xk x * )
0 *
注： 1 3 3 3 ( x ) x 2 在[1，] 1 (2)定理3不是必要条件,如 x 2 x 0 x x g 2 2 只要 x0 取在0 上不满足定理3的条件（2），实际上 x 0 是解， 附近，把（－1，1）缩小使 g( x) L 1可以满足。 (3.4)式的条件较难验证，常采用导数来代替。即有推论1 ： 推论1 定理3 中（3.4）可用下式替代 m ax g( x ) L 1 (3.4)
k
lim xk x * .
＃
(3.7)式的条件较难验证,常采用导数来代替。即有推论2 ： 推论2 若 g (x) 在不动点 x *处可微，而且 g( x * ) 1, 则存在 0, 当 x0 [ x* , x* ]( x0 x * ) 时，由 xk 1 g( xk ) 产生的序列 { xk } x* . 且 收敛于 ( 3 .7 ) g ( x ) g ( x * ) L x x * , x * xk 1 * lim * g( x ). ( 3.6) k x x k x [ x* , x* ], 证明：任取 L ( g( x * ),1), L g( x * ) 0, 0 L 1, g( x ) g( x * ) 由 g( x* ) lim * 知存在 0，成立 g( x ) g( x* ) g( x* ) , x x* g( x ) g( x * ) ( g( x * ) ) x x * 即
*
(x)
* 0 x0 x1 x2 x
g ( x ) 1
*
y
x
yx
* x 0 x0 x2 x x1 p2 yx p0
p0
0
x2
p1
p2 x1 x0 x*
迭代法不收敛
x
x*
p1
y g (x)
0 x2x0 x* x1
x
1. 简单迭代法 方法步骤: (1) f ( x ) 0 x g( x )； (2)给定x0 { xk }满足 xk 1 g( xk ), k 0,1,。 2. 收敛定理 定理3 (压缩不动点定理或压缩映象定理)若迭代函数g(x)满足 (1) g( x ) [a, b],x [a, b] ( 3 .3 ) ( 2)0 L 1, 使x, x [a, b] 有g( x) g( x) L x x ( 3 .4 ) 10 x g( x)在[a, b]内有唯一解 *； x 则 20 对xo [a , b]由xk 1 g( xk )得到的{ xk } [a , b], 且 lim xk x *； k 1 Lk ( 30 有 误 差 估 计 x * x k : xk 1 xk x1 x0 ； 3.5) 1 L 1 L x * xk 1 （收敛程度） 0 ( x* )存在, 则 lim * ( x* ) 4 若g g （收敛速度） k x x k 分析: 结论(1)中 x g(x ) 有唯一根,因此想到根的存在性定理, (3.4)实际是Lip.z .连续条件。
h(a ) g(a ) a 0, h(b) g(b) b 0,
若等号成立,则表示a是根或者b是根,[a,b]上已有根存在了,对于 一般情况,由根的存在定理， h( x ) 0 在 [a , b]上至少存在一个根 x * , 即x g(x) 在[a,b]上至少存在一个根 x * , 即 h( x* ) g( x* ) x* 0. * * * * * 设 y 为x g(x) 在[a,b]上另一根,则 y g( y ), x g( x ), 下证唯一性， y* x * g( y* ) g( x * ) L y* x * ， y* x*。 从而 20 由条件(1)知 { xk } 适定的，另外 x * xk 1 g( x * ) g( xk ) L x * xk , k 0,1,，
问题: 由g( xk ) xk 1 , 求 xk 1，然而 xk 是否是g(x)定义域上的值? 定义4 若迭代序列 { xk } 保持有界, 且全在g(x)定义域内,则 lim xk x * . 则简单迭代 简单迭代法(3.2)称为适定的； 若进一步有 k 法(3.2)称为收敛的。 迭代公式 xk 1 g( xk ), k 0,1, ( 3.2) 当迭代(3.2)收敛时,极限点 x * 又是g(x)的连续点,则 * g( lim xk ) g( x * ) x lim xk 1 lim g ( xk ) k
§3 解x=g(x)的简单迭代法
3.1 简单迭代法公式
问题: f(x)实函数.求f(x)=0的近似值。 基本思想方法： ( 3.1) x g( x ) (1)先将f(x)=0化为等价方程 (2) 从某 x0 出发,作序列 { xk } : 初始近似 x g( x ), k 0,1, (迭代公式) ( 3.2) k 1 k k+1次近似 若 { xk } 收敛于 x * 且 g ( x ) 连续,则 x * 是f(x)=0的根。 (3.2)式称为简单迭代法或单点迭代法或单步迭代法。 g(x)称 为迭代函数。 说明: 由f(x)=0化成等价方程x=g(x)的化法有很多种。 讨论的问题: (1) 如何选取迭代函数g(x)？ (2) g(x)满足什么条件，迭代序列收敛？收敛速度是多少？ (3) 如何加速迭代序列的收敛速度？