2023-2024学年四川省成都市高考适应性考试(二)数学(理)模拟试题(含解析)

2023-2024学年四川省成都市高考适应性考试（二）数学（理）
模拟试题
一、单选题
1．集合(){}
*
N ln 5A x y x =∈=-的真子集的个数为（
）
A ．3
B ．7
C ．15
D ．16
【正确答案】C
【分析】由对数函数的定义域结合真子集的知识得出答案.
【详解】因为(){}
{}{}**
N ln 5N 501,2,3,4
A x y x x x =∈=-=∈->=，所以集合A 的真子集的个数为42115-=.故选：C.
2．有下列四个命题，其中是真命题的是（）
A ．“全等三角形的面积相等”的否命题
B ．在AB
C 中，“π
6A >
”是“1sin 2
A >”的充分不必要条件C ．命题“1x ∀>，32x x >”的否定是“1x ∃>，32x x <”
D ．已知()()1i 12i z =+-，其在复平面上对应的点落在第四象限【正确答案】D
【分析】利用原命题与否命题的关系即可判断A ；利用充分必要条件即可判断B ；利用全称命题的否定的定义即可判断C ；利用复数的几何意义即可判断D ．
【详解】对于A ，“全等三角形的面积相等”的否命题是“不全等三角形的面积不相等”，这显然是假命题，故A 错误；
对于B ，在ABC 中，()0,πA ∈，由1sin 2A >，得π5π66A <<，所以“π
6A >”是“1sin 2
A >”的
必要不充分条件，故B 错误；
对于C ，命题“1x ∀>，32x x >”的否定是“1x ∃>，32x x ≤”，故C 错误；
对于D ，()()2
1i 12i 12i i 2i 3i z =+-=-+-=-，所以其对应的点为()3,1-，在第四象限，故
D 正确.故选：D ．
3．某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解
该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前､后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图.下列结论正确的是（
）
A ．招商引资后，工资净收入较前一年减少
B ．招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍
C ．招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的25
D ．招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍【正确答案】D
【分析】根据已知条件及扇形图的特点即可求解.
【详解】设招商引资前经济收入为M ，则招商引资后经济收入为2M .
对于A ，招商引资前工资净收入为60%0.6M M ⨯=，招商引资后的工资净收入为
237%0.74M M ⨯=，
所以招商引资后，工资净收入增加了，故A 错误；
对于B ，招商引资前转移净收入为4%0.04M M ⨯=，招商引资后转移净收入为
25%0.1M M ⨯=，
所以招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍，故B 错误；对于C ，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为2
0.1228%0.6620.85
M M M M M +⨯=<
⨯=，所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的
2
5
，故C 错误；对于D ，招商引资前经营净收入为30%0.3M M ⨯=，招商引资后经营净收入为
230%0.6M M ⨯=，
所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D 正确.故选：D.
4．幂函数()()233m
f x m m x =--在区间()0,∞+上单调递减，则下列说法正确的是（
）
A ．4
m =B ．()f x 是减函数C ．()f x 是奇函数D ．()f x 是偶函数
【正确答案】C
【分析】根据幂函数的定义及单调性可判断AB ，再由奇函数的定义判断CD.
【详解】函数()()233m
f x m m x =--为幂函数，则2331m m --=，解得4m =或1m =-.
当4m =时，()4
f x x =在区间()0,∞+上单调递增，不满足条件，排除A ；
当1m =-时，()1
f x x -=在区间()0,∞+上单调递减，满足题意.
函数()1
f x x -=在(),0∞-和()0,∞+上单调递减，但不是减函数，排除B ；
因为函数定义域关于原点对称，且1
()()f x f x x
-=
=--，所以函数()f x 是奇函数，不是偶函数，故C 正确，D 错误.故选：C.
5．函数()5ππ2sin sin 63f x x x ⎛
⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭图象的对称轴可以是（
）
A ．直线5π12
x =B ．直线π
3x =
C ．直线π
6
x =
D ．直线2π3
x =
【正确答案】A
【分析】利用诱导公式及二倍角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质求出函数的对称轴.
【详解】()πππππ2π2sin sin 2cos sin sin 2323333f x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，
令()2ππ2πZ 32x k k +
=+∈，解得()ππ
Z 122
k x k =-+∈，所以()f x 的对称轴为直线()ππZ 122
k x k =-+∈，当1k =时，5π
12x =.
故选：A.
6．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）
A ．若m α⊥，m n ⊥，则n α
∥B ．若m α，m β，n αβ= ，则m n ∥C ．若αβ⊥，n αβ= ，则m n ⊥，则m β
⊥
D ．若m n ∥，n ⊂α，则m α【正确答案】B
【分析】若m α⊥，m n ⊥，则n α∥或n ⊂α，A 错；由线面平行的性质可判断B 正确；由面面垂直的性质定理判断C 错；由线面平行的判定定理即可得出D 错.【详解】对于A ，若m α⊥，m n ⊥，则n α∥或n ⊂α，故A 错误；对于B ，若m α，m β，过m 作平面与α，β分别交于直线a ，b ，由线面平行的性质得m
a ，m
b ，所以a b ，
又b β⊂，a β⊄，所以a β∥，
又n ⊂α，n αβ= ，所以a n ∥，所以m n ∥，故B 正确；对于C ，由面面垂直的性质定理可得，当m α⊂时，m β⊥，否则不成立，故C 错误；
对于D ，若m n ∥，n ⊂α，则m α或m α⊂，故D 错误.故选：B
7．2023年1月底，人工智能研究公司OpenAI 发布的名为“ChatGTP”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为
0G G L L D =，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，
G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练迭代轮数为12时，学习率衰减为0.5.则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：lg 20.3010≈）A ．36
B ．37
C ．38
D ．39
【正确答案】A
【分析】由已知求得衰减系数D ，然后根据已知模型列不等式求解．
【详解】由已知，得12120.80.5D ⨯=，所以5
8
D =，
则有1250.80.28G ⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭，即12
5184G ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即51lg lg 1284G <，即1
12lg
24lg 2435.4514lg 2lg 8
G ->
=≈-，因此G 至少为36.
8．
已知双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的右顶点为A ，左､右焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与双曲线C 的渐近线在第一象限的交点为M ，且13MF MA =，则该双曲线的离心率为（）
A ．
87
B ．
97
C ．
167
D ．
187
【正确答案】B
【分析】先利用渐近线的斜率求得cos MOA ∠，再利用余弦定理求得MA b =，进而求得
1F A =，从而得到关于,a c 的齐次方程，解之即可得解.
【详解】设双曲线C 的半焦距为c ，如图，
由题意可得，直线OM 的方程为b y x a =，有tan b MOA a ∠=，即有sin cos b
MOA MOA a
∠=∠，又22sin cos 1MOA MOA ∠+∠=，解得
cos a
MOA c
∠=
，在MOA 中，,OM c OA a ==，
由余弦定理，得MA b =
==，因此2
2
2
MA OA OM +=，即有90OAM ∠=︒，
又13MF MA =，则13MF b =，1F A =，
又1F A a c =+，于是a c +=，
所以()2
28a c b +=，即2222288a ac c c a ++=-，则227290c ac a --=，
两边同时除以2a ，得27290e e --=，即()()1790e e +-=，解得1e =-（舍去）或97
e =，所以该双曲线的离心率97
e =
，
9．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且*n ∀∈N ，都有1
1
n n S S n n +<+，若513S S =，则（）
A ．n S 的最小值是9S
B ．n S 的最小值是10S
C ．n S 的最大值是9S
D ．n S 的最大值是10
S 【正确答案】A 【分析】由
1
1
n n S S n n +<+结合等差数列的前n 项和公式可知数列{}n a 为递增的等差数列，由513S S =可得90a <，100a >，即可求出，n S 有最小值，且最小值为9S .
【详解】由
1
1
n n S S n n +<+，得()()()()1111221n n n a a n a a n n ++++<+，即1n n a a +<，所以数列{}n a 为递增的等差数列.
因为513S S =，所以6789101112130a a a a a a a a +++++++=，即9100a a +=，则90a <，100a >，所以当9n ≤且*n ∈N 时，0n a <；
当10n ≥且*n ∈N 时，0n a >.因此，n S 有最小值，且最小值为9S .故选：A.
10．安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（）
A ．
15
B ．
310
C ．
325
D ．
6
25
【正确答案】D
【分析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人，根据排列组合得出各自有多少种，再得出甲、乙到同一家企业实习的情况有多少种，即可计算得出答案.
【详解】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；
当分为3,1,1人时，有33
53C A 60=种实习方案，
当分为2,2,1人时，有223
53322
C C A 90A ⋅=种实习方案，
即共有6090150+=种实习方案，
其中甲、乙到同一家企业实习的情况有1323
3333C A C A 36+=种，
故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为36615025
=，故选：D.
11．已知平面上两定点,A B ，则所有满足
(0PA PB
λλ=>且1)λ≠的点P 的轨迹是一个圆心在
直线AB 上，半径为
2
1AB λ
λ⋅-的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -表面上的动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹长度为（）
A ．
8π32+B ．4π
3
C ．8π
3
+D ．
4π32
+【正确答案】C
【分析】以B 为原点建立平面直角坐标系xBy ，结合题意可得点P 在空间内的轨迹为以
()2,0O 为球心，半径为4的球.再根据球的性质求解即可.
【详解】在图1中，以B 为原点建立平面直角坐标系xBy 如图2所示，设阿氏圆圆心为
(),0O a ，半径为r .
因为2PA PB =，所以
2PA PB
=，所以22264123r AB =
⋅=⨯=-.设圆O 与AB 交于点M .由阿氏圆性质，知
2MA MB
λ==.
又44MB BO a =-=-，所以282MA MB a ==-.又6MA MB +=，所以8246a a -+-=，解得2a =，所以()2,0O ，所以点P 在空间内的轨迹为以O 为球心，半径为4的球.①当点P 在面11ABB A 内部时，如图2所示，截面圆与1,AB BB 分别交于点,M R ，所以点P 在面11ABB A 内的轨迹为MR .因为在Rt RBO △中，4,2RO BO ==，所以π
3
ROB ∠=
，所以π4π433
MR =
⨯=，所以点P 在面11ABB A 内部的轨迹长为4π3.
②同理，点P 在面ABCD 内部的轨迹长为
4π
3
.
③当点P 在面11BCC B 内部时，如图3所示，因为OB ⊥平面11BCC B ，所以平面11BCC B 截球所得小圆是以B 为圆心，以BP 长为半径的圆，截面圆与1,BB BC 分别交于点,R Q ，且
BP ===
P 在面11BCC B 内的轨迹为RQ ，且
π
2
RQ =
⨯=.
综上，点P 的轨迹长度为
4π4π8π333
+=.
故选：C
12．
若关于x 的不等式()()e 1ln e 1x
a x a -+≥-在[]0,1x ∈内有解，则实数a 的取值范围是（）
A ．21,e 2e ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦B ．1,e e ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦C ．21,e e ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦D ．1,e 2e ⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
【正确答案】B
【分析】题设中的不等式等价于()()e 1ln e
e
1x
x
a a -≥-，令()()e 1ln 1f t t t =--+，结合导数
可得该函数的单调性，结合()()10,e 0f f ==可得()e 1ln 1t t -≥-的解，从而可求实数a 的取值范围.
【详解】由ln a 有意义可知，0a >.
由()()e 1ln e 1x a x a -+≥-，得()()e 1ln e e 1x x
a a -≥-.
令e x t a =，即有()e 1ln 1t t -≥-.
因为[]0,1x ∈，所以[]e ,e x
t a a a =∈，令()()e 1ln 1f t t t =--+，
问题转化为存在[],e t a a ∈，使得()0f t ≥.因为()e 1t
f t t
--=
'，令()0f t '<，即e 10t --<，解得e 1t >-；令()0f t '>，即e 10t -->，解得0e 1t <<-，
所以()f t 在()0,e 1-上单调递增，在()e 1,-+∞上单调递减.又()()()10,e e 1lne e 10f f ==--+=，所以当1e t ≤≤时，()0f t ≥.
因为存在[],e t a a ∈，使得()0f t ≥成立，所以只需e a ≤且e 1a ≥，解得1,e e a ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
.
故选.B
二、填空题
13．若x ，y 满足约束条件1121y x y y x ≤⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
，则2z x y =-的最大值为______.
【正确答案】2
【分析】先作出可行域，再根据目标函数的几何意义分析运算.【详解】作约束条件1121y x y y x ≤⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩的可行域，如图所示.
由1
21x y y x +=⎧⎨+=⎩
，解得10x y =⎧⎨=⎩，令()1,0N .
将目标函数2z x y =-变形为2y x z =-，表示斜率为2，纵截距为z -的直线，根据其几何意义可得，当直线2y x z =-经过点()1,0N 时，其纵截距最小，即当1
0x y =⎧⎨=⎩
时，目标函数z 取到最大值，则2z x y =-的最大值为2.
故
2.
14．已知数列{}n a 满足2
21n n n a a a ++=，*n ∈N ，若716a =，354a a =，则2a 的值为______.
【正确答案】12
-或1
2
【分析】由等比的定义结合其性质得出2a 的值.
【详解】因为2
21n n n a a a ++=，*n ∈N ，所以数列{}n a 为等比数列，设其公比为q .
由716a =，
2
3544a a a ==，得42a =±，37
4
8a q a =
=±，所以2q =±.
当2q =时，42a =，则212
a =
；当2q =-时，42a =-，则212a =-.综上，2a 的值为12-或1
2.
故12
-或1
2
15．已知函数()3223e,1e ,1x
x x x f x x x
⎧--+≤⎪
=⎨>⎪⎩，若函数()()g x f x m =-有且只有三个零点，则实数m 的取值范围是______.【正确答案】{}
2e e 4,e 4⎛⎫
-⋃ ⎪⎝
⎭【分析】利用导数求出函数的单调性与极值，画出函数图象，数形结合即可得解.
【详解】当1x ≤时，()32
3e f x x x =--+，()()32f x x x '=-+，
所以当20x -<<时()0f x ¢>，当<2x -或01x <<时()0f x '<，
所以()f x 在(),2-∞-上单调递减，在()2,0-上单调递增，在()0,1上单调递减，且
()()214e f f -==-+，()0e f =；
当1x >时，()2e x
f x x =，()32e x x f x x -'=，所以当2x >时()0f x ¢>，当12x <<时()0f x '<，
所以()f x 在()1,2上单调递减，在(
)2,+∞上单调递增，令()2e x g x x =，则()1e g =，又()2
e 24
f =.
作出函数()f x 的函数图象如下：
若()()g x f x m =-有且只有三个零点，即()y f x =与y m =只有三个交点，
由图可知需满足{}2
e e 4,
e 4m ⎛⎫
∈-⋃ ⎪⎝
⎭
.故{}2
e e 4,
e 4⎛⎫
-⋃ ⎪⎝
⎭
16．
已知,A B 为抛物线2y x =上两点，以,A B 为切点的抛物线的两条切线交于点P ，设以,A B 为切点的抛物线的切线斜率为,A B k k ，过点,A B 的直线斜率为AB k ，则以下结论正确的有__________.（填序号）
①,,A AB B k k k 成等差数列；②若点P 的横坐标为1
3，则23
AB k =；③若点P 在抛物线的准线上，
则ABP 是钝角三角形；④若点P 在直线21y x =-上，则直线AB 恒过定点()1,1.【正确答案】①②④
【分析】利用导数的几何意义分别表示出切线PA 和PB 的方程，设P ()00,x y ，得到12,x x 为方程20020x x x y -+=的两根.利用根与系数的关系判断出()1
2
AB A B k k k =
+，即可判断①正确；由013x =直接求出2
3
AB k =，即可判断②正确；由1A B k k =-判断出两切线垂直，即可判断出
③错误；求出直线AB 方程：()0211y x x =-+，即可判断④正确.
【详解】设()()1122,,,A x y B x y .由2y x =，得2y x '=，故122,2A B k x k x ==，
所以切线PA 的方程为()21112y x x x x -=-，即2
1120x x x y -+=.
同理可得，切线PB 的方程为2
2220x x x y -+=.
设点P 的坐标为()00,x y ，所以22
1100220020,20x x x y x x x y -+=-+=，
所以12,x x 为方程20020x x x y -+=的两根，故1201202,x x x x x y +==，
则12
12012
2AB y y k x x x x x -=
=+=-，所以直线AB 的方程为()21012y x x x x -=-.因为1212,2,2AB A B k x x k x k x =+==，所以()1
2
AB A B k k k =+，所以,,A AB B k k k 成等差数列，故①正确；
若013x =，则02
23
AB k x ==，故②正确；
若点P 在抛物线的准线上，则01
4
y =-，所以120441A B k k x x y ===-，故两切线垂直，
所以ABP 为直角三角形，故③错误；若点P 在直线21y x =-上，则0021y x =-.
由直线AB 的方程()21012y x x x x -=-，得2
001122y x x x x x =-+.
又2
00112y x x x =-，故直线AB 的方程为002y x x y =-，即()0211y x x =-+，
所以直线AB 恒过定点()1,1，故④正确.故①②④
三、解答题
17．某企业为了解年广告费x （单位：万元）对年销售额y （单位：万元）的影响，统计了近7年的年广告费i x 和年销售额()1,2,3,4,5,6,7i y i =的数据，得到下面的表格：年广告费x 2345678年销售额y
25
41
50
58
64
78
89
由表中数据，变量,x y 的相关系数0.9931r ≈，可判定变量,x y 的线性相关关系较强.(1)建立y 关于x 的线性回归方程；
(2)已知该企业的年利润z 与,x y 的关系为z x =.根据（1）的结果，年广告费x 约为何值时（小数点后保留一位），年利润的预报值最大？
附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，其回归直线ˆˆˆy
bx a =+的斜率和截距的最小二
乘估计分别为()()()
1
1
2
2
1
1
ˆˆˆ,n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x x y y x y nx y
b
a y bx
x x x
nx ====---⋅==
=---∑∑∑∑.参考数据.7
7
1
1
405,2305
i i i i i y x y ====∑∑【正确答案】(1)55
ˆ107
y
x =+(2)9.2万元时，年利润的预报值最大
【分析】（1）由已知数据分别求出变量,x y 的平均数，代入回归直线ˆˆˆy
bx a =+的斜率和截距公式，可求出线性回归方程；
（2）利用换元法结合二次函数的性质，得出年利润的预报值最大时的年广告费x ．【详解】（1）由表格数据，得
7
1
2345678
4055,7
7
7
i
i y
x y =++++++===
=
∑，由公式得7
1721
405
72305757ˆ1028
7i i
i i i x y
x y
b
x x ==-⋅-⨯⨯
==
=-∑∑，
40555ˆˆ10577a
y bx =-=-⨯=，故y 关于x 的线性回归方程为55
ˆ107
y
x =+.（2）由（1
）得z x =，
t =，所以21111014x t =-，
所以221111112210
141014z t t t ⎛⎫
=--=-++ ⎪⎝⎭，
故当10t =时，z 取最大值，所以11
109.214
x =-
≈万元时，年利润的预报值最大.18．如图，四边形ABCD 为菱形，π
3
BAD ∠=
，ED ⊥平面ABCD ，//FB ED ，2BD ED FB ==．
(1)求证：平面BDEF ⊥平面AFC ；(2)求二面角A EF C --的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析(2)14
-
【分析】（1）根据根据线面垂直的判定定理先证明AC ⊥平面BDEF ，再利用面面垂直的判定即可证明平面BDEF ⊥平面AFC ；
（2）先根据题意建立合适的空间直角坐标系，再求出平面AEF 和平面EFC 的法向量，再根据二面角的空间向量求法即可得到答案．
【详解】（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，因为ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以ED AC ⊥，又ED BD D = ，且ED ，BD ⊂平面BDEF ，所以AC ⊥平面BDEF ，又AC ⊂平面AFC ，
所以平面BDEF ⊥平面AFC ．
（2）如图，设BD 交AC 于点O ，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，过点O 且平行于DE 的方向为
z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，
设1BF =，则1OB OD ==，2DE =，因为AB AD =，π3
BAD ∠=
，所以BAD 是正三角形，则3OC OA =则)3,0,0A
，()0,1,1F ，()0,1,2E -，()
3,0,0C ，
则()3,1,1AF = ，)
3,1,1CF =
，()0,2,1EF =-
，
设平面AEF 的法向量为(),,m a b c =
，
则00m AF m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得30
20a b c b c ⎧-++=⎪⎨-=⎪⎩，取1b =，得2c =，3a )
3,1,2m =
，
设平面EFC 的法向量为(),,n x y z =
，
则00
n CF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得3020x y z y z ++=-=⎪⎩，取1y =，得2z =，3x =，即()
3,1,2n = ，
所以1cos ,4
314314m n
m n m n ⋅==++⨯++
，
又二面角A EF C --为钝角，
故二面角A EF C --的余弦值为1
4
-．
19．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 3sin sin 2
B C
b a B +=，边BC 上有一动点D .
(1)当D 为边BC 中点时，若3,2AD b ==，求c 的长度；(2)当AD 为BAC ∠的平分线时，若4a =，求AD 的最大值.【正确答案】(1)4
c =
【分析】（1）由正弦定理的边化角公式得出23
A π
=，再由向量的运算得出c 的长度；
（2）由余弦定理结合基本不等式得出43
b c <+≤
，再由ABC
ABD
ACD
S S
S
=+得出
16
AD b c b c
=+-
+，最后由对勾函数的单调性得出AD 的最大值.
【详解】（1sin sin 2
B C
a B +=，
sin
sin 2A a B π-=cos sin 2
A
a B =.
cos sin sin 2A
B A B ⋅=⋅.
因为sin 0B ≠sin 2sin cos 222
A A A
A ==.
因为cos
02A ≠，所以sin 22
A =.又因为022
A π
<<，所以23A π=，所以23A π=.
因为D 为边BC 中点，所以2AD AB AC =+
，则224()AD AB AC =+ .
又22,3AD b A π===，所以2
21244cos 3
c c π=++⋅，即2280c c --=，即()()420c c -+=，
所以4c =.
（2）在ABC 中，由余弦定理，得2222cos a b c bc BAC ∠=+-⋅.又24,3
a BAC π
∠==
，所以2216b c bc =++，所以22
2
2()3
16()()()44
b c b c bc b c b c +=+-≥+-=+，当且仅当b c =时取等号，
所以2
64()3b c +≤，所以43
b c <+≤.
因为,ABC ABD ACD S S S AD =+平分2,3
BAC BAC π
∠∠=，
所以1211sin
sin sin 232323
bc b AD c AD πππ
⋅=⋅⋅+⋅⋅，所以()bc AD b c =⋅+，
所以2()1616bc b c AD b c b c b c b c
+-===+-
+++.
令t b c =+，则16,4AD t t t =-
<≤
因为16y t t =-在⎛ ⎝⎦
上单调递增，
所以当t =
即b c ==y
所以AD
20．已知点()()2,0,2,0A B -，动点(),M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为1
4
-.记动点M
的轨迹为曲线C .
(1)求曲线C 的方程，并说明C 是什么曲线；
(2)设,P Q 为曲线C 上的两动点，直线AP 的斜率为AP k ，直线BQ 的斜率为BQ k ，且7AP BQ k k =.①求证：直线PQ 恒过一定点；②设PQB △的面积为S ，求S 的最大值.
【正确答案】(1)()2
2124
x y x +=≠，曲线C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含
左､右顶点.
(2)①证明见解析；②最大值为
73
.【分析】（1）根据题目所给条件列出方程化简即可得解；
（2）①设直线PQ 的方程为()2x ty n n =+≠±，根据281BP BQ k k ⋅=-结合根与系数的关系化简，
可得3
2
n =-即可得证；②根据三角形面积公式得出面积表达式，利用配方法求最大值即可.【详解】（1）由题意，得
()12224
y y x x x ⋅=-≠+-，化简得()2
2124
x y x +=≠，
所以曲线C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左､右顶点.（2
）如图，
①证明：设()()1122,,,P x y Q x y .
因为若直线PQ 的斜率为0，则点,P Q 关于y 轴对称，必有AP BQ k k =-，不合题意，所以直线PQ 的斜率必不为0.设直线PQ 的方程为()2x ty n n =+≠±.
由2244,,
x y x ty n ⎧+=⎨=+⎩得()2224240t y tny n +++-=，所以()()2222
Δ44440t n t n =-+->，且1222
1222,44.4tn y y t n y y t ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
因为点()11,P x y 是曲线C 上一点，所以由题意可知1
4
AP BP k k ⋅=-，所以1
74AP BQ BP
k k k =-
=，即28 1.BP BQ k k ⋅=-因为()()()()121212122828282222BP BQ y y y y k k x x ty n ty n ⋅=
=--+-+-()()12
22
1212282(2)y y t y y t n y y n =+-++-()
(
)()222222
2
2
284
4422(2)4
4
n t t n t n n n t t -+=
---
+-++
()
()()()
()()
2222822827141,422
2224
n n n n n t n t n n t +++=
=
==---+-+-+所以32
n =-，此时()()
222
Δ1644470t n t =+-=+>，
故直线PQ 恒过x 轴上一定点3,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
②由①可得，()
12122237
,444
t y y y y t t +=
=-++，所以1212137
2224
S y y y y ⎛⎫=
⋅-⋅--=- ⎪⎝⎭
2
724
t =⋅+
727,233
=⨯=当且仅当
21249
t =+即2
12t =时等号成立，
所以S 的最大值为7
3
.
21．已知函数()()ln 1f x x x a x =--.(1)若()0f x ≥，求实数a 的值；
(2)已知*n ∈N 且2n ≥，求证.111
sin sin sin ln 23n
n
+++< 【正确答案】(1)1a =(2)证明见解析
【分析】（1）由题意分析得到1x =是函数()h x 的极小值点，则()10h '=解得1a =再代入验证符合题意；
（2）由（1）可得，()1
ln 11x x x ≥-
≥.令111k x
=-得到(){}1ln ln 1,2,3,,k k k n k ≤--∈ .令
()sin (0)g x x x x =->，利用导数证明出sin (0)x x x <>，得到
(){}11
sin
ln ln 1,2,3,,k k k n k k
<≤--∈ ，累加即可证明.【详解】（1）由()0f x ≥，得1ln 10x a x ⎛⎫
--≥ ⎪⎝⎭
.
令()1ln 1h x x a x ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
，则()()2210,a x a h x h x x x x -=-='≥.
注意到()10h =，所以1x =是函数()h x 的极小值点，则()10h '=，
所以()1101
a
h -=
='，得1a =.当1a =时，()21
x h x x
-'=，则函数()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，
所以()()10h x h ≥=，满足条件，故1a =.（2）由（1）可得，()1
ln 11x x x
≥-≥.令
111k x =-，则1
k x k =-，所以1
ln
1k k k
≥-，即(){}1ln ln 1,2,3,,k k k n k ≤--∈ .
令()sin (0)g x x x x =->，则()1cos 0g x x ='-≥，且()g x '不恒为零，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增，故()()00g x g >=，则sin (0)x x x <>，所以(){}11
sin
ln ln 1,2,3,,k k k n k k
<≤--∈ ，令k 分别取2,3,,n ，累加得：
][][()111sin sin sin ln2ln1ln3ln2ln ln 1ln 23n n n n ⎡⎤+++<-+-++--=⎣
⎦ .即证.
导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围；（4）利用导数证明不等式.
22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为4sin cos cos sin k k x t t
y t t
=⎧⎨=-⎩（t 为参数）
，直线l 的方程为10x y +-=.
(1)当1k =时，求曲线1C 的直角坐标方程；
(2)当4k =时，已知点()1,0P ，直线l 与曲线1C 交于A ，B 两点，
线段AB 的中点为M ，求PM
的长.
【正确答案】(1)()211222
y x x =--≤≤
【分析】（1）利用完全平方公式与三角函数的基本关系式消去参数t 即可得解；
（2）先利用三角函数的基本关系式与倍角公式求得曲线1C 的直角坐标方程，再结合题意求得直线l 的参数方程，联立两方程得到关于参数s 的一元二次方程，再利用参数s 的几何意义即可得解.
【详解】（1）当1k =时，曲线1C 的参数方程为4sin cos cos sin x t t y t t
=⎧⎨=-⎩（t 为参数），因为2221cos sin 2cos sin 12
y t t t t x =+-=-，且[]2sin 22,2x t =∈-，所以曲线1C 的直角坐标方程为()211222y x x =-
-≤≤.（2）当4k =时，曲线1C 的参数方程为444sin cos cos sin x t t y t t
=⎧⎨=-⎩（t 为参数），因为()()2222cos sin cos sin cos 2y t t t t t =+-=，2sin 2x t =，
所以曲线1C 的直角坐标方程为2
214
x y +=，由题意易知()1,0P 在直线:10l x y +-=，且直线l 的斜率为1-，倾斜角为
3π4
，故设直线l
的参数方程为12x y s ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（s 为参数），
将直线l 的参数方程代入2
214x y +=，
得2560s --=，
易得(()24560∆=--⨯⨯->，设点A ，B ，M 对应的参数分别为1s ，2s ，M s
，则由韦达定理得125
s s +=，又线段AB 的中点为M
，所以1225M s s s +=
=，
所以5M PM s ==.23．已知函数()232f x x x x =-++.
(1)求不等式()2f x ≥的解集；
(2)设函数()f x 的最小值为m ，正数a ，b ，c 满足6a b c m ++=，
求证
【正确答案】(1)(][)
,02,-∞⋃+∞(2)证明见解析
【分析】（1）分1x ≤，12x <<，2x ≥三种情况去绝对值解不等式组即可求解；（2）先求出函数()f x 的最小值，再用柯西不等式证明.
【详解】（1）解：当1x ≤时，()222f x x x =-+，所以()2222f x x x =-+≥，解得0x ≤；
当12x <<时，()242f x x x =-+-，所以()2422f x x x =-+-≥的解集为∅；
当2x ≥时，()222f x x x =-+，所以()2222f x x x =-+≥，解得2x ≥.
综上，()2f x ≥的解集为(][),02,-∞⋃+∞.
（2）证明：由（1）可知，()22222,1,42,12,22, 2.x x x f x x x x x x x ⎧-+≤⎪=-+-<<⎨⎪-+≥⎩
当1x =时，()1m f x ==，所以66a b c m ++==.
由柯西不等式可得，
)()()22
1111211127a b c =++≤++++⨯++=，
3a =，2b =，1c =时等号成立，原命题得证.。