专题1 三角函数和解三角形

专题1三角函数和解三角形
【玩转高考】
1．（2020年新高考山东卷）在①ac =sin 3c A =，③=c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin A B ，6C π
=，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
2．（2020年天津卷）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知5,a b c ===． （Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）求sin A 的值；
（Ⅲ）求sin 24A π⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
的值．
3．（2020年全国卷）在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：
（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积． 条件①：17,cos 7
c A ==-； 条件②：19cos ,cos 816
A B ==． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
4．（2020年浙江卷）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b a c ac =+-， （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若a ＝c ＝2，求△ABC 的面积；
（Ⅲ）求sinA ＋sinC 的取值范围.
【玩转模拟】
1．（2020·甘肃省会宁县第二中学高二期末（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
25cos ()cos 24
A A π++=． （1）求A ；
（2）若b c -=，证明：△ABC 是直角三角形．
2．（2020·盐城市伍佑中学开学考试）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足
πsin sin 3c A a C ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭. （Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）若ABC 的面积为1a b -=，求c 和()cos 2A C -的值.
3．（2020·广西武鸣·南宁三十六中月考）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知
sin sin 2
A C a b A +=． （1）求
B ；
（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．
4．（2020·江西东湖·南昌二中高三其他（文））在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，且sin a b C += （1）求角A 的大小；
（2）若等差数列{}n a 的公差不为零，1sin 1a A =，且2a 、4a 、8a 成等比数列，求14n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S ．
5．（2020·武邑宏达学校高二期末）在△ABC 中，
a =
c =，________.（补充条件）
（1）求△ABC 的面积；
（2）求sin （A +B ）. 从①b ＝4，②
cosB 5=-
，③
sinA 10
=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
6．（2020·江苏广陵·扬州中学高二开学考试）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，并且222b c a bc +-=.
（1）已知_______________，计算ABC 的面积；
请①a =2b =，③sin 2sin C B =这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分.
（2）求cos cos B C +的最大值.
7．（2020·北京顺义·高三二模）已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，5a b +=，3c =，________.是否存在以a ，b ，c 为边的三角形？如果存在，求出ABC 的面积；若不存在，说明理由.
从①1cos 3C =；②1cos 3=-C ；③sin 3
C =这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
8．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
9．（2020·江苏苏州·高三其他）如图，某公园内有一半圆形人工湖，O为圆心，半径为1千米.为了人民群众美好生活的需求，政府为民办实事，拟规划在OCD区域种荷花，在OBD区域建小型水上项目.已知∠=∠=.
AOC CODθ
（1）求四边形OCDB的面积(用θ表示)；
（2）当四边形OCDB的面积最大时，求BD的长(最终结果可保留根号).
专题1三角函数和解三角形
1．（2020年新高考山东卷）在①ac =sin 3c A =，③=c 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin A B ，6C π
=，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】详见解析
【解析】解法一：由sin 3sin A B 可得：a b
=(),0a b m m ==>，
则：2222222cos 32c a b ab C m m m m =+-=+-⨯=，即c m =.
选择条件①的解析：据此可得：2ac m =⨯==，1m ∴=，此时1c m ==.
选择条件②的解析：据此可得：222222231cos 222
b c a m m m A bc m +-+-===-，
则：sin A ==，此时：sin 32c A m =⨯=，则：c m ==
选择条件③的解析：可得1c m b m
==，c b =，与条件=c 矛盾，则问题中的三角形不存在.
解法二：∵(),,6sinA C B A C ππ===-+,∴()6sinA A C A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝
⎭, ()1
?
?22sinA A C =+= ，
∴sinA =
,∴tanA =23A π=,∴6
B C π==,
若选①，ac =
a ==
2=
若选②，3csinA =,
则32
=
,c =;
若选③,与条件=c 矛盾. 2．（2020年天津卷）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c
．已知5,a b c ===． （Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）求sin A 的值； （Ⅲ）求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的值． 【答案】（Ⅰ）4C π
；（Ⅱ
）sin A =（Ⅲ
）sin 2426A π⎛⎫+= ⎪⎝
⎭. 【解析】（Ⅰ）在ABC
中，由5,a b c ===
222cos 22
a b c C ab +-===，又因为(0,)C π∈，所以4C π； （Ⅱ）在ABC 中，由4C π
，a c ==
sin sin a C A c ==
= （Ⅲ）由a c <知角A
为锐角，由sin A =
cos A
= 进而2125sin 22sin cos ,cos22cos 11313
A A A A A ===-=，
所以125sin(2)sin 2cos cos2sin 4441313A A A π
π
π
+=+=+
=. 3．（2020年全国卷）在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： （Ⅰ）a 的值：
（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积． 条件①：17,cos 7
c A ==-； 条件②：19cos ,cos 816
A B ==． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】选择条件①（Ⅰ）8
（Ⅱ）sin C =
, S = 选择条件②（Ⅰ）6
（Ⅱ）sin C =
, 4
S =. 【解析】选择条件①（Ⅰ）17,cos 7
c A ==-，11a b += 22222212cos (11)72(11)7()7
a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅- 8a ∴=
（Ⅱ）
1cos (0,)sin 77A A A π=-∈∴==，
由正弦定理得：7sin sin sin sin 27
a c C A C C ==∴=
11sin (118)8222
S ba C ==-⨯⨯=
选择条件②（Ⅰ）
19
cos,cos,(0,) 816
A B A Bπ
==∈
，
sin A B
∴====
由正弦定理得：
6
sin sin
a b
a
A B
===
（Ⅱ）
91
sin sin()sin cos sin cos
168
C A B A B B A
=+=+=+=
11
sin(116)6
2244
S ba C
==-⨯⨯=
4．（2020年浙江卷）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且222
b a
c ac
=+-，（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a＝c＝2，求△ABC的面积；
（Ⅲ）求sinA＋sinC的取值范围.
【答案】（1）60°；（2
；（3
）
⎝
.
【解析】（Ⅰ）由.
222
2
a c b
cosB
ac
+-
=，得
1
2
cosB=，
所以
3
B
π
＝；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
1
60
2
ABC
S acsin
=
︒=
（Ⅲ）由题意得
2
3
sinA sinC sinA sin A
π
⎛⎫
+=+-
⎪
⎝
⎭
3
22
sinA cosA
=
+
6
A
π
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
.
因为0＜A ＜
23π6A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭.故所求的取值范围是⎝. 【玩转模拟】
1．（2020·甘肃省会宁县第二中学高二期末（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
25
cos ()cos 24
A A π++=．
（1）求A ；
（2）若3
b c a -=
，证明：△ABC 是直角三角形． 【答案】（1）3
A π
=
；（2）证明见解析
【解析】（1）因为2
5cos cos 24A A π⎛⎫
++=
⎪⎝⎭
，所以25sin cos 4A A +=，
即2
51cos cos 4
A A -+=
，解得1cos 2A =，又0A π<<，所以3A π
=；
（2）因为3
A π
=，所以2221cos 22b c a A bc +-=
=， 即222b c a bc +-=①，
又3
b c -=
②，将②代入①得，()222
3b c b c bc +--=， 即222250b c bc +-=，而b c >，解得2b c =，
所以a =，故222b a c =+，即ABC 是直角三角形．
2．（2020·盐城市伍佑中学开学考试）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足
πsin sin 3c A a C ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
（Ⅰ）求角C 的大小；
（Ⅱ）若ABC 的面积为1a b -=，求c 和()cos 2A C -的值.
【答案】（Ⅰ）
3π
；（Ⅱ）c =，()6
os 22c 1A C -=
. 【解析】（Ⅰ）由正弦定理可知：sin sin a c A C =,已知πsin sin 3c A a C ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，所以
sin sin sin (sin cos
cos sin )33
C A A C C π
π
⋅=⋅⋅+⋅，
(0,)sin 0A A π∈∴≠,
所以有sin tan 3
C C C C π
=⇒==
.
（Ⅱ）41
sin 12,132a S ab C ab a b b =⎧=⋅=⇒=-=⇒⎨
=⎩
，由余弦定理可知：
2
2
2
2cos 13c a b ab C c =+-⋅=⇒=222cos sin 21313
b c a A A bc +-==⇒==
,
211
sin 22sin cos 22cos 113
A A A A A =⋅=
=-=-,
()cos 2cos 2cos sin 2s 1111
132i 6
n 2A C A C A C -
⨯+=+⋅=
-⋅=. 3．（2020·广西武鸣·南宁三十六中月考）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知
sin
sin 2
A C
a b A +=． （1）求B ；
（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．
【答案】(1) 3
B π
=
;(2)(
,82
.
【解析】(1)根据题意sin
sin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A C
A B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2
A C
B +=． 0<B π<，02A
C π+<
<因为故2A C B +=或者2
A C
B π++=，而根据题意A B
C π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A C
B +=，又因为A B
C π++=，代入得3B π=，所以3
B π=. (2)因为AB
C 是锐角三角形，由（1）知3
B π
=
，A B C π++=得到2
3
A C π+=
， 故02
2032C C πππ⎧
<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩
，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a c A C =，1c =，
由三角形面积公式有：
222sin(
)111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABC
C a A S
ac B c B c B c C C
π
-=⋅=⋅=⋅=
22sin cos cos sin 2123133(sin cos )sin 3tan 38tan C C C C C ππππ-==-=+
又因
,tan 6
2
C C π
π
<<
>
318tan C <+<
ABC
S <<
. 故ABC S
的取值范围是 4．（2020·江西东湖·南昌二中高三其他（文））在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，且
sin sin sin a b c
C B A
+-=
-． （1）求角A 的大小；
（2）若等差数列{}n a 的公差不为零，1sin 1a A =，且2a 、4a 、8a 成等比数列，求14n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S ．
【答案】（1）
6π
；（2）1
n n + 【解析】（1）由
得
，所以
又
（2）设的公差为，由（1）得，且，
∴．又，∴，∴．
∴
∴
5．（2020·武邑宏达学校高二期末）在△ABC 中，a 2=c 10=，________.（补充条件）
（1）求△ABC 的面积； （2）求sin （A +B ）.
从①b ＝4，②cosB 55=-
，③sinA 10
10
=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 【答案】详见解析 【解析】选择①
（1）在△ABC 中，因为2a =10c =，b ＝4，
由余弦定理得2222a b c cosC ab +-===
，
因为C ∈（0，π），所以2
sinC ==
，
所以114222S absinC =
==.
（2）在△ABC 中，A +B ＝π﹣C.所以()2
sin A B sinC +==
. 选择②
（1）因为cosB =，B ∈（0，π），所以sinB ==
因为a =c =11222S acsinB =
==.
（2）因为a =c =，cosB =，
由b 2＝a 2+c 2﹣2accosB ，得222
216b ⎛=+-= ⎝⎭
，
解得b ＝4，由
sin sin b
c B
C ，解得sinC =，
在△ABC 中，A +B ＝π﹣C ，()2
sin A B sinC +==
.
选择③，依题意，A 为锐角，由10
sinA =
，得10cosA ==，
在△ABC 中，因为a =c =cosA =
，
由余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bccosA ，得222210
b =+-， 解得b ＝2或b ＝4，
（1）当b ＝2时，112122S bcsinA =
=⨯=.
当b ＝4时，11422210
S bcsinA =
=⨯=.
（2）由a =c =，sinA =
，a c sinA sinC =，得sinC =，
在△ABC 中，A +B ＝π﹣C ，()2
sin A B sinC +==
. 7．（2020·江苏广陵·扬州中学高二开学考试）在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，并且
222b c a bc +-=.
（1）已知_______________，计算ABC 的面积；
请①a =
2b =，③sin 2sin C B =这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答.注意，
只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分. （2）求cos cos B C +的最大值. 【答案】（1）见解析（2）1
【解析】（1）若选②2b =，③sin 2sin C B =．
sin 2sin C B =，24c b ∴==， 2
2
2
b c a bc +=+，2221
cos 22
b c a A bc +-∴=
=，又(0,)A π∈，3
A π
∴=
．
ABC ∆∴的面积11sin 2422S bc A ==⨯⨯=．
若选①a =
②2b =．由222b c a bc +=+可得3c =，
2
2
2
b c a bc +=+，2221
cos 22
b c a A bc +-∴=
=，又(0,)A π∈，3
A π
∴=
．
ABC ∆∴的面积11sin 2322S bc A ==⨯⨯=
．
若选①a =
③sin 2sin C B =，sin 2sin C B =，2c b ∴=，
又222b c a bc +=+，222472b b b ∴+=+，可得b =
，c =
ABC ∆∴的面积11sin 22MBC S bc A ===
． （2）
3
A π
=
1cos cos cos cos[()]cos cos()cos cos 332B C B B B B B B B πππ∴+=+-+=-+=-+
1cos sin()
26
B B B π
==+，203
B π<<，5366B πππ
∴<+<
∴当3
B π
=
时，sin()cos cos 6B B C π
+=+有最大值1．
8．（2020·北京顺义·高三二模）已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，5a b +=，3c =，________.是否存在以a ，b ，c 为边的三角形？如果存在，求出ABC 的面积；若不存在，说明理由.
从①1cos 3C =
；②1cos 3=-C ；③sin 3
C =这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
【答案】详见解析
【解析】若选取条件①1cos 3C =
，此时sin 3
C ==， 因为5a b +=，所以()2
222252a b a b ab ab +=+-=-，
由余弦定理，22225291
cos 223
a b c ab C ab ab +---===，解得6ab =，
则22252613a b +=-⨯=，所以()2
22213121a b a b ab -=+-=-=，
所以1a b -=±，又5a b +=，解得32a b =⎧⎨
=⎩或者2
3a b =⎧⎨=⎩
，
所以存在以a ，b ，c 为边的三角形，其面积为1232ABC
S
=⨯⨯=若选取条件②1cos 3
=-
C ，因为5a b +=，所以()2
222252a b a b ab ab +=+-=-， 由余弦定理，22225291
cos 223
a b c ab C ab ab +---===-，解得12ab =，
则22252121a b +=-⨯=，所以()2
2221240a b a b ab -=+-=-<，显然不成立，所以不存在以a ，b ，
c 为边的三角形.若选取条件③sin 3
C =，得1
cos 3C =±，
由选取条件①可知，当1
cos 3
C =
时，存在以a ，b ，c 为边的三角形，其面积为ABC
S =由选取条件②可知，当1
cos 3
=-
C 时，不存在以a ，b ，c 为边的三角形. 9．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以每小时14 n mile 的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
53
【答案】
【解析】如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，
则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240x cos 120°，
解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.根据正弦定理得＝，解得sin α＝＝.
所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.
10．（2020·江苏苏州·高三其他）如图，某公园内有一半圆形人工湖，O为圆心，半径为1千米.为了人民群众美好生活的需求，政府为民办实事，拟规划在OCD区域种荷花，在OBD区域建小型水上项目.已知∠=∠=.
AOC CODθ
（1）求四边形OCDB的面积(用θ表示)；
（2）当四边形OCDB的面积最大时，求BD的长(最终结果可保留根号).
【答案】（1）()()1sin sin 22S θθθ=
+，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；
（2. 【解析】（1）由题意AOC COD θ∠=∠=，设四边形OCDB 的面积为()S θ， 因为四边形OCDB 可以分为OCD 和OBD 两部分， 所以()()11
sin sin 222
OCD OBD S S OC OD OB S OD θπθθ=+=
⋅+⋅-△△， 因为1OB OC OD ===，所以()()1
=
sin sin 22
S θθθ+. 因为0θ>，20πθ->，所以02
π
θ<<
.
所以四边形OCDB 的面积()()1sin sin 22S θθθ=
+，0,2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
；
（2）由（1）知()1
sin sin 22()S θθθ=+，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
， 所以()()2211sin sin cos cos cos sin 22S θθθθθθθ'⎛⎫' ⎪⎝++-⎭
'==()214cos cos 22θθ=+-，
令()0S θ'=，即24cos cos 20θθ+-=，解得cos θ=
cos θ=
因为02
π
θ<<
，所以存在唯一的0θ，使得01cos 8
θ-=
， 当00θθ<<时，()0S θ'>，()S θ在()00,θ单调递增；
当02
π
θθ<<
时，()0S θ'<，()S θ在0,
2πθ⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递减，所以0θθ=时，()()0max S S θθ=， 此时()2
2
2
02cos 2BD OB OD OB OD πθ=+-⋅-(
)2
2000112cos 2222cos
14cos θθθ=++=+-=，
从而2cos BD θ==(千米).。