甘肃省兰州第一中学高二数学下学期第一次月考试题 文

甘肃省兰州第一中学2017-2018学年高二数学下学期第一次月考
试题 文
说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卷（卡）上，交卷时只交答题卷（卡）.
第I 卷（选择题）
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．) 1．有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2
＋3t
(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时
的瞬时速度为( ) A .194
B .174
C .154
D .134
2．函数cos sin y x x x =-的导数为（ ）
A ．cos x x
B ．sin x x -
C ．sin x x
D ．cos x x -
3．设曲线()ln 1ax
y e x =-+在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( )
A .0
B .1
C .2
D .3
4．设函数f （x ）=
2
x
+ln x ， 则（ ） A ．x =
12为f (x )的极大值点 B ．x =1
2
为f (x )的极小值点 C ．x =2为 f (x )的极大值点 D ．x =2为 f (x )的极小值点
5．已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A.(－1，2) B.(－∞，－3)∪(6，＋∞) C.(－3，6)
D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
6．若函数()y f x =的导函数．．．在区间[],a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[],a b 上的图象可能是（ ）
A B C D
a
b a
7．若02
x π
<<
， 则下列不等式成立的是（ ）
2
.sin A x x π
<
2
.sin B x x π
>
3
.sin C x x π
<
3
.sin D x x π
>
8．P 为曲线ln y x =上一动点, Q 为直线1y x =+上一动点, 则PQ 的最小值为 ( )
.0A 2
B C .2D 9．设函数()2
19ln 2
f x x x =-在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，2] B.(4，＋∞] C.[－∞，2)
D.(0，3]
10．若函数()()112
1312
3+-+-=
x a ax x x f 在区间()4,1上是减函数，在区间()+∞,6上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[]5,7
B ．[)5,7
C ．()5,7
D ．(]5,7
11．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )
12．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3
处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )
A.－1
B.0
C.2
D.4
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．过曲线2
y x =上两点()2,4A 和()2,4B x y +∆+∆作割线，当0.1x ∆=时，割线AB 的斜率为 .
14．设函数()33,0
2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩
，则f (x )的最大值为________.
15．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为 .
16．定义域在R 上的可导函数y ＝f (x )的导函数为()'
f
x ，满足()()'f x f x >，且()01f =，
则不等式()
1x
f x e
<的解集为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（本小题满分10分）已知函数32
()21f x x ax bx =+++，若函数()y f x '=的图象关于
直线x ＝－1
2
对称，且(1)0f '=.
(1)求实数a ，b 的值；
(2)求函数()f x 在区间[－3，2]上的最小值．
18．（本小题满分12分）已知函数ln ()x
f x x
=. (1)求函数f (x )的单调区间；
(2)已知R a b ∈、, a b e >>(其中e 是自然对数的底数), 求证：a b
b a >.
19．（本小题满分12分）已知函数()ln a
f x x x
=+. 求f (x )的单调区间和极值.
20．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝e x
－x 2
＋2ax . (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若f (x )在R 上单调递增，求实数a 的取值范围.
21．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝(2－a )x －2(1＋ln x )＋a ，若函数f (x )在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上无零点，求实数a 的最小值.
22．（本小题满分12分）已知()ln(1)()f x x ax a =+-∈R (1)当1a =时，求()f x 在定义域上的最大值；
(2)已知()y f x =在[)+∞∈,1x 上恒有()0<x f ，求a 的取值范围；
兰州一中2017--2018--2学期高二年级三月份月考试卷
文科数学
说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卷（卡）上，交卷时只交答题卷（卡）.
第I 卷（选择题）
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．) 1．有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2
＋3t
(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻t ＝2时
的瞬时速度为( ) A .194
B .174
C .154
D .134
解析 由题意知，机器人的速度方程为v (t )＝s ′(t )＝2t －3
t
2，故当t ＝2时，机器人的瞬时速度为v (2)＝2×2－322＝13
4.
答案 D
2．函数cos sin y x x x =-的导数为（ ）
A ．cos x x
B ．sin x x -
C ．sin x x
D ．cos x x -
答案：B
3．设曲线()ln 1ax
y e x =-+在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝( )
A .0
B .1
C .2
D .3
解析：()ln 1ax
y e x =-+，'
1
1
ax
y ae x =-
+， 当x ＝0时，y ′＝a －1.故曲线()ln 1ax
y e x =-+在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0， 从而a －1＝2，即a ＝3.故选D. 4．设函数f （x ）=
2
x
+ln x ， 则（ ） A ．x =
12为f (x )的极大值点 B ．x =1
2
为f (x )的极小值点 C ．x =2为 f (x )的极大值点 D ．x =2为 f (x )的极小值点
解析：x
x x f x x x f 1
2)(',ln 2)(2+-=∴+=
，令0)('=x f ，则2=x ，当20<<x 时0)('<x f ，当2>x 时0)('>x f ，所以2=x 为)(x f 极小值点，故选D .
5．已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是( ) A.(－1，2)
B.(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C.(－3，6)
D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析:∵f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋(a ＋6)，由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根. ∴Δ＝4a 2
－4×3(a ＋6)>0，即a 2
－3a －18>0，∴a >6或a <－3.答案:B
6．若函数()y f x =的导函数．．．在区间[],a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[],a b 上的图象可能是（ ）
A B C D
解析：因为函数()y f x =的导函数．．．()'
y f x =在区间[],a b 上是增函数，即在区间[],a b 上各
点处函数的变化率是递增的，故图像应越来越陡峭．由图易知选A .
点评：这是一道非常精彩的好题，题目考察了导数的概念——函数的变化率以及图像的变化规律，是以高等数学中函数图象的凹凸性为背景命制的，虽然试题的设计来源于高等数学，但考察的还是中学所学的初等数学知识．这也是近年来高考命题的一大特色． 7．若02
x π
<<
， 则下列不等式成立的是（ ）
2
.sin A x x π
< 2
.sin B x x π
>
3
.sin C x x π
<
3
.sin D x x π
>
8．P 为曲线ln y x =上一动点, Q 为直线1y x =+上一动点, 则min ||PQ =( )
.0A
B
C .2D
9．设函数()2
19ln 2
f x x x =-在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )
a
b a
b a
A.(1，2]
B.(4，＋∞]
C.[－∞，2)
D.(0，3]
解析：()()'
90f
x x x x =-
>，当9
0x x
-≤x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0，3]上函数()f x 是减函数，从而[a －1，a ＋1]⊆(0，3]，即a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2. 故选A. 10．若函数()()112
1312
3+-+-=
x a ax x x f 在区间()4,1上是减函数，在区间()+∞,6上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[]5,7
B ．[)5,7
C ．()5,7
D ．(]5,7
解析：()()12
-+-=a ax x x f ，令()0='x f 得1=x 或1-=a x ，结合图像知614≤-≤a ，
故[]7,5∈a ．
点评：本题也可转化为()()4,10∈≤'x x f ，恒成立且()()+∞∈≥',60x x f ，恒成立来解． 11．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )
解析：利用导数与函数的单调性进行验证.f ′(x )＞0的解集对应y ＝f (x )的增区间，f ′(x )＜0的解集对应y ＝f (x )的减区间，验证只有D 选项符合. 答案：D
12．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )
A.－1
B.0
C.2
D.4
解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，
∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)
＝1＋3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13＝0.
答案：B
二、填空题
13．过曲线2
y x =上两点()2,4A 和()2,4B x y +∆+∆作割线，当0.1x ∆=时，割线AB 的斜率为 . 解析：()()2
2
2
22
44AB x x x y k x x x x
∆+-∆+∆∆====∆+∆∆∆，所以当0.1x ∆=时，AB 的斜率为4.1.
14．设函数()33,0
2,0
x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则f (x )的最大值为________.
解析：当x >0时，f (x )＝－2x <0；当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2
－3＝3(x －1)(x ＋1)， 当x <－1时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，当－1<x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数. ∴f (x )≤f (－1)＝2，∴f (x )的最大值为2. 答案：2
15．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为 .
解析：设圆柱的底面半径为R ，母线长为l ，则V ＝πR 2
l ＝27π，∴227l R
=
， 要使用料最省，只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和S 最小.由题意，S ＝πR 2
＋2πRl ＝πR 2
＋2π·
27
R
. ∴S ′＝2πR －54π
R
2，令S ′＝0，得R ＝3，则当R ＝3时，S 最小. 答案：3 16．定义域在R 上的可导函数y ＝f (x )的导函数为()'
f x ，满足()()'f x f x >，且()01f =，
则不等式
()
1x
f x e
<的解集为 . 答案：}
{
0x x >
解析：令()()x f x g x e =，()()()()
()()'''
20x x x x f x e f x e f x f x g x e e
--==<，可得函数()()
x
f x
g x e
=
在R
上为减函数，又()()()
00011x x
f f
g e e
=
=⇒<，即()()
}{
10
0g x g x x x <⇒>>.
三、解答题
17.（本小题满分10分）已知函数3
2
()21f x x ax bx =+++，若函数()y f x '=的图象关于
直线x ＝－1
2
对称，且(1)0f '=.
(1)求实数a ，b 的值；
(2)求函数()f x 在区间[－3，2]上的最小值．
解：(1)f ′(x )＝6x 2
＋2ax ＋b ，函数y ＝f ′(x )的图象的对称轴为x ＝－a
6
.
∵－a 6＝－1
2
，∴a ＝3. ∵f ′(1)＝0，∴6＋2a ＋b ＝0，得b ＝－12.
故a ＝3，b ＝－12.
(2)由(1)知f (x )＝2x 3＋3x 2
－12x ＋1， f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)． x
∵∴所以f (x )在[－3，2]上的最小值为－6. 18．（本小题满分12分）已知函数ln ()x
f x x
=. （1）求函数f (x )的单调区间；
（2）已知R a b ∈、,a b e >>(其中e 是自然对数的底数), 求证：a
b
b a >. 解：（1）ln ()x f x x =
, ∴2
1ln ()x
f x x -'= ∴当x e >时,()0f x '<, ∴函数()f x 在(,)e +∞上是单调递减. 当0<x <e 时,()0f x '>, ∴函数()f x 在(0,e )上是单调递增. ∴f (x )的增区间是(0,e ), 减区间是(,)e +∞.
（2）证明:∵0,0a
b
b a >>∴要证: a b
b a >，
只需证:ln ln a b b a >. 只需证
ln ln b a
b a
>
. (∵a b e >>) 由（1）得函数()f x 在(,)e +∞上是单调递减. ∴当a b e >>时,有()()f b f a >，即ln ln b a
b a
>. 得证. 19．已知函数()ln a
f x x x
=+
. 求f (x )的单调区间和极值. 解析：()'
22
1a x a f x x x x -=-=，x ∈(0，＋∞).
①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)为增函数，无极值. ②当a >0时，x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，f (x )在(0，a )为减函数；
x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(a ，＋∞)为增函数，
f (x )在(0，＋∞)有极小值，无极大值，f (x )的极小值f (a )＝ln a ＋1.
20．已知函数f (x )＝e x
－x 2
＋2ax .
(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若f (x )在R 上单调递增，求实数a 的取值范围.
解析：(1)∵f ′(x )＝e x －2x ＋2，∴f ′(1)＝e ，又f (1)＝e ＋1， ∴所求切线方程为y －(e ＋1)＝e(x －1)，即e x －y ＋1＝0.
(2)f ′(x )＝e x
－2x ＋2a ，∵f (x )在R 上单调递增，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立， ∴a ≥x －e x
2在R 上恒成立，令g (x )＝x －e
x
2，
则g ′(x )＝1－e
x
2
，令g ′(x )＝0，则x ＝ln 2，
在(－∞，ln 2)上，g ′(x )>0；在(ln 2，＋∞)上，g ′(x )<0， ∴g (x )在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减，
∴g (x )max ＝g (ln 2)＝ln 2－1，∴a ≥ln 2－1，∴实数a 的取值范围为[ln 2－1，＋∞). 21．已知函数f (x )＝(2－a )x －2(1＋ln x )＋a ，若函数f (x )在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上无零点，求实数
a 的最小值.
解析：f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x ，
令g (x )＝(2－a )(x －1)，x ＞0；h (x )＝2ln x ，x ＞0，则f (x )＝g (x )－h (x )， ①当a ＜2时，g (x )在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，h (x )在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上为增函数，
若f (x )在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，则1122g h ⎛⎫⎛⎫≥
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()11212ln 22a ⎛⎫
--> ⎪
⎝⎭
， 即a ≥2－4ln 2，从而2－4ln 2≤a ＜2，
②当a ≥2时，在10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭上g (x )≥0，h (x )＜0，∴f (x )＞0，故f (x )在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上无零点． 综合①②可得得a ≥2－4ln 2，即a min ＝2－4ln 2.
22．已知()ln(1)()f x x ax a =+-∈R
(1)当1a =时，求()f x 在定义域上的最大值；
(2)已知()y f x =在[)+∞∈,1x 上恒有()0<x f ，求a 的取值范围； 解析：(1)当1a =时，()ln(1)f x x x =+-，()x
x x x f
+-=-+=1111'，所以()y f x =在()0,1-为
增函数，在()+∞,0为减函数，故当0=x 时，()x f 取最大值0. (2)等价()x x a 1ln +>恒成立，设()()()()2'1ln 11ln x
x x
x x g x x x g +-+=⇒+=， 设()()()()()
()10111111ln 122'≥<+-=+-+=⇒+-+=x x x x x x h x x x x h ， 所以()x h 是减函数，所以()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛>⇒><-=≤212402ln 211e e h x h ， 所以()x g 是减函数，()()1max g x g =，所以2ln >a
（也可用构造函数()1ln ,+==x y ax y 利用数形结合解答）。