山东省青州第一中学东校区2020-2021学年度上学期11月考试高二数学试题

山东省青州第一中学东校区2020-2021学年度上学期
高二年级11月考试数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．已知直线1(3)(3)10l k x k y −+−+=：与22(3)230l k x y ：−−+=垂直，则k 的值是（ ）
A ．2或3
B ．3
C ．2
D ．2或3−
2．圆()2
221x y −+=与直线3420x y ++=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定
3．如图，三棱锥A －BCD 中，AB ⊥底面BCD ，BC ⊥CD ，且AB=BC=1，CD=2，点E 为CD 的中点，则AE 的长为
A B
C ．2 D
4．向量(2,1,),(2,,1)a x b y ==−，若5a =，且a b ⊥，则x y +的值为（ ）
A ．1−
B ．1
C ．4−
D ．4
5．在空间中，设m ，n 为两条不同直线， α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是 A ．若//m α且//αβ，则//m β B ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥
C ．若m α⊥且//αβ，则m β⊥
D ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 必不垂直于n 6．已知点P 是直线3450x y ++=上的动点，点Q 为圆()()22
224x y −+−=的动点，则
PQ 的最小值为（ ）．
A ．
195
B ．95
C ．59
D ．295
7．设,x y R ∈，向量()()(),1,1,1,,1,2,4,2,a x b y c ===−且,//a c b c ⊥，则a b +=（ ）
A ．
B
C ．3
D ．4
8．已知点()3,8A −和()2,2B ，在x 轴上求一点M ，使得AM BM +最小，则点M 的坐标为（ ） A ．()1,0− B ．220,5⎛
⎫ ⎪⎝⎭ C ．22,05⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．()1,0 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．已知向量a b b c a c ⋅=⋅=⋅，()3,0,1b =−，()1,5,3c =−−， 下列等式中正确的是（ ）
A ．()a b c b c ⋅=⋅
B ．()()
a b c a b c +⋅=⋅+ C ．()2222
a b c a b c ++=++ D ．a b c a b c ++=−− 10．如图，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，倾斜角分别为1α，2α，3α，则下
列选项正确的是（ ）
A ．132k k k <<
B ．321k k k <<
C ．132ααα<<
D ．321ααα<< 11．如图，设
E ，
F 分别是正方体
1111ABCD A B C D −的棱DC 上两点，且2AB =，1EF =，其中正确的命题为（ ） A ．三棱锥11D B EF −的体积为定值
B ．异面直线11D B 与EF 所成的角为60︒
C ．11
D B ⊥平面1B EF
D ．直线11D B 与平面1B EF 所成的角为30°
12．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D −，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A ．1AC =
B ．1A
C DB ⊥
C ．向量1B C 与1AA 的夹角是60°
D ．1BD 与AC 所成角的余弦值为3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．设平面α与向量(1,2,4)a =−−垂直，平面β与向量(2,4,8)b =−−垂直，则平面α与β位置关系是______．
14．若直线340x y a ++=与圆()2224x y −+=有且仅有一个公共点，则实数a 的值为
________.
15．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，
E ，
F 分别为棱11,AA BB 的中点，
G 为棱11A B 上的一点，且1
(02)AG λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为_________．
16．已知半径为5的动圆C 的圆心在直线:100l x y −+=上.若动圆C 过点()5,0−，求圆C 的方程___________，存在正实数r =___________，使得动圆C 中满足与圆222:O x y r +=相外切的圆有且仅有一个.
高二年级（2）数学试题
班级 姓名 考号 答案: 1-5 6-8
9、 10、 11、 12、
13、 14、 15、 16、 三、
解答：本小题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤. 17.（本小题10分）
已知ABC 的顶点坐标分别是()0,51
2()(7,)4A B C ，，－，－； （1）求BC 边上的中线所在直线的方程（答案用斜截式方程）；
（2）求过点C 且与直线AB 垂直的直线方程（答案用斜截式方程）.
18．（本小题12分）
已知空间中三点(2,0,2)A −，(1,1,2)B −，(3,0,4)C −，设a AB =，b AC =. （1）求向量a 与向量b 的夹角的余弦值；
（2）若ka b +与2ka b −互相垂直，求实数k 的值
19．（本小题12分)
已知圆22:2410C x y x y ++−+=，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .
（1）若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程；
（2）求满足条件3PM =的点P 的轨迹方程.
20．（本小题12分）
如图，在圆柱12O O 中，AB 为圆1O 的直径，C ，D 是弧AB 上的两个三等分点，CF 是圆柱
12O O 的母线.
（1）求证：1//CO 平面AFD ；
（2）设AC =45FBC ∠=︒，求二面角
B AF
C −−的余弦值.
21．（本小题12分）
在直角坐标系xOy 中，已知圆22:460C x y x y m +−−+=与直线:10l x y +−=相切， （1）求实数m 的值；
（2）过点()3,1的直线与圆C 交于M ､N 两点，如果MN =，求OM ON ⋅
22.（本小题12分）
如图，在以P为顶点，底面圆O的直径AB长为2，C是圆O所在平面内一点，且AC是圆O的切线，连接BC交圆O于点D，连接PD，PC.
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
−−的大小为120时，求平（2）若E是PC的中点，连接OE，ED，当二面角B PO D
面PAC与平面DOE所成锐二面角的余弦值.
山东省青州第一中学东校区2020-2021学年度上学期十一月考试数学试题答案
1、C
2、C
3、B ，
4、C
5、C ，
6、B
7、C
8、D
9、BCD 10、AD 11、AD 12、AB
13、平行 14、4或-16
15、【解析】以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，
则()2,,2G λ，1(0,0,2),(2,0,1),(2,2,1)D E F ，
所以1(2,0,1)D E =−，1(2,2,1)D F =−，()0,,1GE λ=−−，
设平面1D EF 的法向量为(,,)n x y z =，则20,220,x z x y z −=⎧⎨+−=⎩
令1x =，则0,2y z ==，所以平面1D EF 的一个法向量(1,0,2)n =．
点G 到平面1D EF 的距离为12255||5
GE n n ⋅−⨯==， 16、【答案】()2
21025x y ++=或()()22
5525x y ++−= 5 【解析】依题意，可设动圆C 的方程为：()()22
25x a y b −+−=
其中圆心(),a b 满足100a b −+=.又动圆过点()5,0−，()()225025a b ∴−−+−=， 解方程组()()22100
5025
a b a b −+=⎧⎪⎨−−+−=⎪⎩，可得100a b =−⎧⎨=⎩或55a b =−⎧⎨=⎩， 故所求圆C
的方程为：或()()22
5525x y ++−=.
由圆O 的圆心()0,0到直线l 的距离d ==，
当满足5r d +=时，即5r =时，
动圆C 中有且仅有1个圆与圆222:O x y r +=相外切.
17..【解析】
（1）∵()0,512()(7,)4A B C ，，－，－，∴BC 的中点坐标为()3,1－， ∴中线的斜率为5140(3)3−=−−，∴中线所在直线的方程为453
y x =+， （2）由已知可得AB 的斜率为5(2)701
−−=−−， 所以与直线AB 垂直的直线的斜率为
17∴与直线AB 垂直的直线为157y x =+ 18、【解析】（1）∵()1,1,0a AB ==，()1,0,2b AC ==−，
设a 与b 的夹角为θ，∴110cos 1010|a b
a b θ⋅−===−∣； （2）∵()1,,2ka b k k +=−，()22,,4ka b k k −=+−且()()2ka b ka b +⊥−， ∴2(1)(2)80k k k −++−=，即：52
k =−或2k =. 19、【解析】（1）2222:2410(1)(2)4C x y x y x y ++−+=∴++−= 切线l 斜率不存在时，即1x =，满足圆心到切线距离等于半径，
当切线l 斜率存在时，设23:3(1)24
1l y k x k k 33(1),341504
y x x y ∴−=−−+−= 综上，切线l 的方程为34150x y +−=或1x =；
（2）设(,)P x y ，则由3PM =得PC ==
=()()221213x y ++−=
20、【解析】（1）如图所示：连接1,DC O D ，
因为C ，D 是半圆AB 上的两个三等分点
所以11160AO D DO C CO B ∠=∠=∠=︒，
又111
1O A O B OC O D ===，所以1AO D ，1CO D △，1BO C △均为等边三角形.
所以11O A AD DC CO ===，所以四边形1ADCO 是平行四边形.所以1//CO AD ， 又因为1CO ⊄平面AFD ，AD ⊂平面AFD ，所以1//CO 平面AFD .
（2）因为FC 是圆柱12O O 的母线，
所以FC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以FC BC ⊥
因为AB 为圆1O 的直径，所以90ACB ∠=︒
在Rt ABC △中，60ABC ∠=︒，AC =1tan 60AC BC ==︒
， 所以在Rt FBC △中，tan 451FC BC =︒=
（方法一）因为BC AC ⊥，BC FC ⊥，AC FC C ⋂=，所以BC ⊥平面FAC ，
又FA ⊂平面FAC ，所以BC FA ⊥，如图所示：
在FAC 内，作CH FA ⊥于点H ，连接BH .
因为BC CH C =，BC ，CH ⊂平面BCH ，
所以FA ⊥平面BCH ，又BH ⊂平面BCH ，所以
FA BH ⊥，
所以BHC ∠就是二面角B AF C −−的平面角.
在Rt FCA △
中，2FA ==
，2
FC AC CH FA ⋅==. 在Rt BCH △中，90BCH ∠=︒
，所以2
BH ==，
所以cos 7
CH BHC BH ∠==.所以，二面角B AF C −−
的余弦值为7. （方法二）如图所示：以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在直线为x ，y ，z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则)A ，()0,1,0B ，()0,0,1F ， 所以()3,1,0AB =−，(
)3,0,1AF =−.
设平面AFB 的一个法向量为(),,n x y z =， 则AB n AF n ⎧⊥⎨⊥⎩
，即0,0,
y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令1x =
，则y z ==
所以平面AFB 的一个法向量为()1,3,3n =.又因为平面AFC 的一个法向()01
0,,m =. 所以321cos ,77
m
n m n m n ⋅==
=.
所以结合图形得，二面角B AF C −−
的余弦值为7
. 21、【解析】解:（1）圆C 的方程可化为()()2
22313x y m −+=−−，
圆心()2,3C
，半径r =，其中13m <，
因为圆C 与直线l 相切，故圆心()2,3C 到直线l 的距离等于半径，
=5m =；
（2）当直线MN 斜率不存在时，其方程为3x =，此时圆心()2,3C 到直线MN 的距离1d =，
由垂径定理，MN ==，不合题意；
故直线MN 斜率存在，设其方程为()13y k x −=−，即310kx y k −−+=，
圆心()2,3C 到直线MN
的距离d ==，
由垂径定理，MN =，即()222831k k +−=+， 解得12k =，故直线MN 的方程为1122
y x =−， 代入圆C 的方程，整理得2530330x x −+=，
解得1155x −=
，2155
x +=，
于是11115225y x =−=
，22115225
y x =−=，这里()11,M x y ，()22,N x y )， 所以12127OM ON x x y y ⋅=+=.
22、【解析】解：（1）AB 是圆O 的直径，AC 与圆O 切于点A ，AC AB ⊥ PO ⊥底面圆O ，∴PO AC ⊥
PO AB O ⋂=，AC ⊥平面PAB ，∴AC PB ⊥.
又∵在PAB ∆中，2
PA PB AB ==，∴PA PB ⊥ ∵PA AC A =，∴PB ⊥平面PAC ，从而平面PAC ⊥平面PBC .
（2）∵ OB PO ⊥，OD PO ⊥，∴BOD ∠为二面角B PO D −−的平面角， ∴ 120BOD =∠，
如图建立空间直角坐标系，易知1OB =，
则()0,1,0A −，()0,1,0B ，1,022D ⎛⎫− ⎪⎝
⎭
1,03C ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1P ，11,322E ⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭
，
由（1）知()0,1,1m BP ==−为平面PAC 的一个法向量，设平面ODE 的法向量为
(),,n x y z =，311,,322OE ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭，31,,022OD ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭
， ∵ n OE ⊥，n OD ⊥，∴0n OE ⋅=，0n OD ⋅=，
∴ {√33
x −12y +12z =0√32x −12y =0，即{2x −√3y +√3z =0√3x −y =0
故平面ODE 的一个法向量为()3,3,1n =，∴26cos ,13m n m n m n
⋅〈〉==−⋅.
∴平面PAC与平面DOE所成锐二面角的余弦值为
.
13。