八年级初二数学第二学期勾股定理单元 期末复习测试提优卷试卷

一、选择题
1．如图，在23⨯的正方形网格中，AMB ∠的度数是（ ）
A ．22.5°
B ．30°
C ．45°
D ．60°
2．如图，在RtΔABC 中，∠ACB ＝90°，AC =9，BC =12，AD 是∠BAC 的平分线，若点P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC ＋PQ 的最小值是( )
A ．245
B ．365
C ．12
D ．15
3．如图，在长方形纸片ABCD 中，8AB cm =，6AD cm =. 把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，则AF 的长为（ ）
A ．254cm
B ．152cm
C ．7cm
D ．132
cm 4．已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的面积是( )
A．2n﹣2B．2n﹣1C．2n D．2n+1
5．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=15，则S2的值是( )
A．3 B．15
4
C．5 D．
15
2
6．下列四组数中不能构成直角三角形的一组是（）
A．1，2，6B．3，5，4 C．5，12，13 D．3，2，13
7．如图所示，有一个高18cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm 的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是（）
A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm
8．如图，已知数轴上点P表示的数为1
-，点A表示的数为1，过点A作直线l垂直于PA，在l上取点B，使1
AB=，以点P为圆心，以PB为半径作弧，弧与数轴的交点C 所表示的数为（）
A．5B．51
-C．51
+D．51
-+
9．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）
A ．1
B ．2021
C ．2020
D ．2019 10．由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的是（ ） A ．∠A+∠B=∠C
B ．∠A ：∠B ：∠C=1：3：2
C ．a=2，b=3，c=4
D ．(b+c)(b-c)=a²
二、填空题
11．如图，AB ＝12，AB ⊥BC 于点B ， AB ⊥AD 于点A ，AD ＝5，BC ＝10，E 是CD 的中点，则AE 的长是____ ___．
12．如图，∠MON ＝90°，△ABC 的顶点A 、B 分别在OM 、ON 上，当A 点从O 点出发沿着OM 向右运动时，同时点B 在ON 上运动，连接OC ．若AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，则OC 的长度的最大值是________．
13．将一副三角板按如图所示摆放成四边形ABCD ，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知AD ＝32，则AB 的长为__________．
14．如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，BC=DC ，点E 为AD 边上一点，连接BD 、CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB ，若∠A =60°，AB=4，CE=3，则BC 的长为_______．
15．如图，在锐角ABC ∆中，2AB =，60BAC ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，
M ，N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是______.
16．如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=_________
17．Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，以 AC 为一边．在△ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段 BD 的长为_____．
18．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠ABC =45°，D 是BC 边上的一点，BD =2，将△ACD 沿直线AD 翻折，点C 刚好落在AB 边上的点E 处.若P 是直线AD 上的动点，则△PEB 的周长的最小值是________．
19．如图，在四边形ABCD 中，AD =4，CD =3，∠ABC =∠ACB =∠ADC =45°，则
2________BD =．
20．已知：如图，等腰Rt OAB ∆的直角边OA 的长为1，以AB 边上的高1OA 为直角边，按逆时针方向作等腰11Rt OA B ∆，11A B 与OB 相交于点2A ，若再以2OA 为直角边按逆时针方向作等腰22Rt OA B ∆，22A B 与1OB 相交于点3A ，按此作法进行下去，得到33OA B ∆，44OA B ∆，…，则66OA B ∆的周长是______.
三、解答题
21．如图，△ABC 和EDC ∆都是等边三角形，7,3,2AD BD CD =
==求:（1）AE
长；（2）∠BDC 的度数：（3）AC 的长．
22．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处．
（1）求BF 的长；
（2）求CE 的长．
23．已知ABC ∆中，如果过项点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC ∆的关于点B 的二分割线．例如：如图1，Rt ABC ∆中，90A ︒∠=，20C ︒∠=，若过顶点B 的一条直线BD 交AC 于点D ，若20DBC ︒∠=，显然直线BD 是ABC ∆的关于点B 的二分割线．
（1）在图2的ABC ∆中，20C ︒∠=，110ABC ︒∠=．请在图2中画出ABC ∆关于点B 的二分割线，且DBC ∠角度是 ；
（2）已知20C ︒∠=，在图3中画出不同于图1，图2的ABC ∆，所画ABC ∆同时满
足:①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．BAC ∠的度数是 ；
（3）已知C α∠=，ABC ∆同时满足：①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．请求出BAC ∠的度数（用α表示）．
24．如图，将一长方形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ，动点F 从点O 出发以每秒1个单位长度的速度沿OC 向终点C 运动，运动23
秒时，动点E 从点A 出发以相同的速度沿AO 向终点O 运动，当点E 、F 其中一点到达终点时，另一点也停止运动．
设点E 的运动时间为t :（秒）
（1）OE =_________，OF =___________（用含t 的代数式表示）
（2）当1t =时，将OEF ∆沿EF 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标及直线DE 的解析式；
（3）在（2）的条件下，点M 是射线DB 上的任意一点，过点M 作直线DE 的平行线，与x 轴交于N 点，设直线MN 的解析式为y kx b =+，当点M 与点B 不重合时，设MBN ∆的面积为S ，求S 与b 之间的函数关系式．
25．已知ABC ∆中，AB AC =.
（1）如图1，在ADE ∆中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：BD CE =
（2）如图2，在ADE ∆中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；
（3）如图3，在BCD ∆中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求AD AB
的值.
26．我国古代数学家赵爽曾用图1证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1解答下列问题:
(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述);
(2)证明勾股定理;
(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求()2
a b +的值.
27．如图，在边长为2正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .
（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G .
①求证：BE EF =;
②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.
28．如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AC ，BC 上的点，且满足DE ⊥EF ，垂足为
点E ，连接DF ．
（1）求∠EDF= （填度数）；
（2）延长DE 交AB 于点G ，连接FG ，如图2，猜想AG ，GF ，FC 三者的数量关系，并给出证明；
（3）①若AB=6，G 是AB 的中点，求△BFG 的面积；
②设AG=a ，CF=b ，△BFG 的面积记为S ，试确定S 与a ，b 的关系，并说明理由．
29．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ．
（1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．
（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45︒，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90︒，此时点E 、G 恰好分别落在线段AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．
30．如图,在△ABC 中,D 是边AB 的中点,E 是边AC 上一动点,连结DE,过点D 作DF ⊥DE 交边BC 于点F(点F 与点B 、C 不重合),延长FD 到点G,使DG=DF,连结EF 、AG.已知
AB=10,BC=6,AC=8.
(1)求证:△ADG ≌△BDF ；
(2)请你连结EG,并求证:EF=EG ；
(3)设AE=x ,CF=y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围；
(4)求线段EF 长度的最小值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
连接AB ，求出AB 、BM 、AM 的长，根据勾股定理逆定理即可求证AMB ∆为直角三角形，而AM=BM ，即AMB ∆为等腰直角三角形，据此即可求解．
【详解】
连接AB
∵22125AM =+=22125AB =+=221310BM =+=∴22210AM AB BM +==∴AMB ∆为等腰直角三角形
∴45AMB ∠=︒
故选C ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，重点是求出三条边的长，然后证明AMB ∆为直角三角形．
2．B
解析：B
【分析】
过点D 作DE ⊥AB 于点E ，过点E 作EQ ⊥AC 于点Q ，EQ 交AD 于点P ，连接CP ，此时PC+PQ=EQ 是最小值，根据勾股定理可求出AB 的长度，再根据EQ ⊥AC 、∠ACB=90°即可得出EQ ∥BC ，进而可得出AE EQ AB BC
=，代入数据即可得出EQ 的长度，此题得解. 【详解】
解：如图所示，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，过点E 作EQ ⊥AC 于点Q ，EQ 交AD 于点P ，连接CP ，此时PC+PQ=EQ 是最小值，
在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=9，BC=12，
∴2215AB AC BC +=，
∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴∠CAD=∠EAD ，
在△ACD 和△AED 中，90CAD EAD ACD AED AD AD ︒∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
，
∴△ACD ≌△AED （AAS ），
∴AE=AC=9．
∵EQ ⊥AC ，∠ACB=90°，
∴EQ ∥BC ，
AE EQ AB BC ∴
=， ∴91512
EQ =， 653EQ ∴=
. 故选B.
【点睛】
本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题以及平行线的性质，找出点C 的对称点E ，及通过点E 找到点P 、Q 的位置是解题的关键．
3．A
解析：A
【分析】
由已知条件可证△CFE≌△AFD，得到DF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm ，设AF=xcm ，则DF=(8-
x)cm ，在Rt△AFD 中，利用勾股定理即可求得x 的值.
【详解】
∵四边形ABCD 是长方形，
∴∠B=∠D=900，BC=AD,
由翻折得AE=AB=8m ，∠E=∠B=900
,CE=BC=AD
又∵∠CFE=∠AFD
∴△CFE≌△AFD
∴EF=DF
设AF=xcm ，则DF=（8-x ）cm
在Rt△AFD 中，AF 2=DF 2+AD 2,AD=6cm ， 222(8)6x x =-+
254
x cm = 故选择A.
【点睛】
此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度.
4．A
解析：A
【分析】
连续使用勾股定理求直角边和斜边，然后再求面积，观察发现规律，即可正确作答.
【详解】
解：∵△ABC 是边长为1的等腰直角三角形
121111222
ABC S -∆∴=⨯⨯== ，
∴AC 2====
2232
112:2122122
AACD ADE S S --∆∴====⨯⨯== ∴第n 个等腰直角三角形的面积是22n - ，
故答案为A.
【点睛】
本题的难点是运用勾股定理求直角三角形的直角边，同时观察、发现也是解答本题的关键.
5．C
解析：C
【解析】
将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，
∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 1+S 2+S 3=15，
∴得出S 1=8y+x ，S 2=4y+x ，S 3=x ，
∴S 1+S 2+S 3=3x+12y=15，即3x+12y=15，x+4y=5，
所以S 2=x+4y=5，
故答案为5．
点睛：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ，用x ，y 表示出S 1，S 2，S 3，再利用S 1+S 2+S 3=15求解是解决问题的关键．
6．A
解析：A
【解析】
A. 12+22≠(6)2，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
B. 32+42=52，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C. 52+122=132，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D. 32+22=(13)2，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选A.
7．C
解析：C
【分析】
首先画出圆柱的侧面展开图，进而得到SC=12cm ，FC=18-2=16cm ，再利用勾股定理计算出SF 长即可．
【详解】
将圆柱的侧面展开，蜘蛛到达目的地的最近距离为线段SF 的长，
由勾股定理，SF 2=SC 2+FC 2=122+(18-1-1)2=400，
SF=20 cm ，
故选C.
【点睛】
本题考查了平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
8．B
解析：B
【分析】
由数轴上点P 表示的数为1-，点A 表示的数为1，得PA=2，根据勾股定理得5PB 而即可得到答案．
【详解】
-，点A表示的数为1，
∵数轴上点P表示的数为1
∴PA=2，
AB=，
又∵l⊥PA，1
∴225
=+=，
PB PA AB
∵PB=PC=5，
-．
∴数轴上点C所表示的数为：51
故选B．
【点睛】
本题主要考查数轴上点表示的数与勾股定理，掌握数轴上两点之间的距离求法，是解题的关键．
9．B
解析：B
【分析】
根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．
【详解】
解：由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=1，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021，
故选：B．
【点睛】
本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么
a2+b2=c2．
10．C
解析：C
【分析】
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即
可．
【详解】
A 、∠A+∠
B ＝∠
C ，可得∠C ＝90°，是直角三角形，错误；
B 、∠A ：∠B ：∠
C ＝1：3：2，可得∠B ＝90°，是直角三角形，错误；
C 、∵22+32≠42，故不能判定是直角三角形，正确；
D 、∵（b+c ）（b ﹣c ）＝a 2，∴b 2﹣c 2＝a 2，即a 2+c 2＝b 2，故是直角三角形，错误； 故选C ．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
二、填空题
11．5
【详解】
解：如图，延长AE 交BC 于点F ，
∵点E 是CD 的中点,
∴DE=CE ，,
∵AB ⊥BC ，AB ⊥AD,
∴AD ∥BC,
∴∠ADE=∠BCE 且DE=CE ，∠AED=∠CEF,
∴△AED ≌△FEC （ASA ）,
∴AD=FC=5，AE=EF,
∴BF=BC-FC=5,
∴在Rt △ABF 中，2213AF AB BF =+=,
6.52
AF AE =
= 故答案为：6.5．
12．5
【解析】 试题分析：取AB 中点E ，连接OE 、CE ，在直角三角形AOB 中，OE=AB ，利用勾股定理的逆定理可得△ACB 是直角三角形，所以CE=AB ，利用OE+CE≥OC ，所以OC 的最大值为
OE+CE ，即OC 的最大值=AB=5．
考点：勾股定理的逆定理，
13．3【分析】
利用勾股定理求出AC=6，在Rt △ABC 中，∠BAC=30°，得到12BC AB =
，再利用勾股定理得到222AC BC AB +=，即可求出AB .
【详解】
在Rt △ACD 中，CD=AD=32
∴226AD CD +=，
在Rt △ABC 中，∠BAC=30°， ∴12
BC AB =， ∵222AC BC AB +=， ∴222
1
6()2AB AB +=,
解得AB=3 故答案为：3
【点睛】
此题考查勾股定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，正确理解勾股定理的三边的数量关系是解题的关键. 147
【分析】
连接AC 交BD 于点O ，由题意可证AC 垂直平分BD ，△ABD 是等边三角形，可得∠BAO ＝∠DAO ＝30°，AB ＝AD ＝BD ，BO ＝OD ，通过证明△EDF 是等边三角形，可得DE ＝EF ＝DF ，由勾股定理可求OC ，BC 的长．
【详解】
连接AC ，交BD 于点O ，
∵AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，
∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，
∴∠BAO＝∠DAO＝30°，AB＝AD＝BD＝4，BO＝OD＝2，
∵CE∥AB，
∴∠BAO＝∠ACE＝30°，∠CED＝∠BAD＝60°，
∴∠DAO＝∠ACE＝30°，
∴AE＝CE＝3，
∴DE＝AD−AE＝1，
∵∠CED＝∠ADB＝60°，
∴△EDF是等边三角形，
∴DE＝EF＝DF＝1，
∴CF＝CE−EF＝2，OF＝OD−DF＝1，
22
∴-=
OC CF OF3
22
∴
BC=OB+OC=7
7
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．
153
【分析】
作点B关于AD的对称点B′，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，根据轴对称确定最短路线问题，B′N的长度即为BM+MN的最小值，根据∠BAC=60°判断出△ABB′是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可．
【详解】
如图，作点B关于AD的对称点B′，
由垂线段最短，过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，B′N最短，由轴对称性质，BM=B′M，
∴BM+MN=B′M+MN=B′N，
由轴对称的性质，AD垂直平分BB′，
∴AB=AB′，
∵∠BAC=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∵AB=2，
∴B′N=2×
3
2
=3，
即BM+MN的最小值是3．
故答案为3．
【点睛】
本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，作出图形更形象直观．
16．
【解析】
【分析】
延长BC，AD交于E点，在直角三角形ABE和直角三角形CDE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理即可解答.
【详解】
如图，延长AD、BC相交于E，
∵∠A=60°,∠B=∠ADC=90°,
∴∠E=30°
∴AE=2AB，CE=2CD
∵AB=3，AD=4,
∴AE=6, DE=2
设CD=x,则CE=2x，DE=x
即x=2
x=
即CD=
故答案为：
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用，含30°角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直角△ABE和直角△CDE，是解题的关键．
17．4或2510
【分析】
分三种情况讨论：①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC．分别画图，并求出BD．
【详解】
①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC，如图1．
∵∠DAC=90°，且AD=AC，
∴BD=BA+AD=2+2=4；
②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，如图2．
连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，
∴∠DCE=45°．
又∵DE⊥CE，
∴∠DEC=90°，
∴∠CDE=45°，
∴CE=DE=22
2 =
在Rt△BAC中，BC22
22
=+=22BD2222
2222
BE DE（）（）
=+=++= 5
③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，如图3．
∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，
∴AD=DC=AC sin45°=2
2
2 2
=
又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠BCD=90°．
又∵在Rt△ABC中，BC22
=+=22，
22
∴BD2222
=+=+=
（）（）．
BC CD
22210
故BD的长等于4或25或10．
故答案为4或25或10．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识．解题的关键是分情况考虑问题，18．222
+
【分析】
连接CE，交AD于M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，PE+BP的值最小，此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出BC和BE长，代入求出即可．
【详解】
如图，
连接CE，交AD于M，
∵沿AD折叠C和E重合，
∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD，
∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，BD=2，
∴2，
∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，即此时△BPE的周长最小，最小值是
BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，
∵∠DEA=90°，
∴∠DEB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠B=45°，
∵DE=2， ∴
BE=2，
即BC=2+2，
∴△PEB 的周长的最小值是BC+BE=2+2+2=2+22．
故答案为2+22．
【点睛】
本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P 点的位置．
19．41
【解析】
作AD′⊥AD ，AD′=AD ，连接CD′，DD ′，如图：
∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD ，
即∠BAD=∠CAD′，
在△BAD 与△CAD ′中，
;BA CA BAD CAD AD AD ＝＝＝⎧⎪∠∠'
⎨⎪⎩
∴△BAD ≌△CAD′（SAS ）， ∴BD=CD′，
∠DAD′=90°，
由勾股定理得22AD AD +' ，
∠D′DA+∠ADC=90°，
由勾股定理得22DC DD +'
41BD 2=41．
故答案是：41．
20．28
+ 【分析】
依次求出在Rt △OAB 中，OA 1＝
2；在Rt △OA 1B 1中，OA 2＝2OA 1＝（2）2；依此
类推：在Rt △OA 5B 5中，OA 6＝（
2）6，由此可求出△OA 6B 6的周长． 【详解】
∵等腰Rt OAB ∆的直角边OA 的长为1，
∴在Rt △OA 1B 1中OA 1OA ，
在22Rt OA B ∆中OA 2＝
2OA 1＝（2）2， …
故在Rt △OA 6B 6中OA 6OA 5）6= OB 6
66A B OB 6
故△OA 6B 6+2×（2）6+2×18=28+．
故答案为：
28
+ 【点睛】 本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
三、解答题
21．（12）150°；（3
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可利用SAS 证明△BCD ≌△ACE ，再根据全等三角形的性质即得结果；
（2）在△ADE 中，根据勾股定理的逆定理可得∠AED ＝90°，进而可求出∠AEC 的度数，再根据全等三角形的性质即得答案；
（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，根据等边三角形的性质和勾股定理可得PE 与CP 的长，进而可得AE ＝CP ，然后即可根据AAS 证明△AEG ≌△CPG ，于是可得AG ＝CG ，PG ＝EG ，根据勾股定理可求出AG 的长，进一步即可求出结果．
【详解】
解：（1）∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，
∴BC ＝AC ，CD ＝CE ＝DE ＝2，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，
∴∠BCD ＝∠ACE ，
在△BCD 与△ACE 中，
∵BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ，
∴△BCD ≌△ACE ，
∴AE ＝BD ＝3； （2）在△ADE 中，∵7,3,2AD AE DE =
==， ∴DE 2+AE 2＝()()22
2237+=＝AD 2， ∴∠AED ＝90°，
∵∠DEC ＝60°，
∴∠AEC ＝150°，
∵△BCD ≌△ACE ，
∴∠BDC ＝∠AEC ＝150°；
（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，
∵△CDE 是等边三角形，
∴PE ＝12DE ＝1，CP 22213-=，
∴AE ＝CP ，
在△AEG 与△CPG 中，
∵∠AEG ＝∠CPG ＝90°，∠AGE ＝∠CGP ，AE ＝CP ，
∴△AEG ≌△CPG ，
∴AG ＝CG ，PG ＝EG ＝12
， ∴AG ()2
22211332AE EG ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， ∴AC ＝2AG 13
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22．（1）BF 长为6；（2）CE 长为3，详细过程见解析．
【分析】
（1）由矩形的性质及翻折可知，∠B=90°，AF=AD=10，且AB=8，在Rt △ABF 中，可由勾股定理求出BF 的长；
（2）设CE=x ，根据翻折可知，EF=DE=8-x ，由（1）可知BF=6，则CF=4，在Rt △CEF 中，可由勾股定理求出CE 的长．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD 为矩形，
∴∠B=90°，且AD=BC=10， 又∵AFE 是由ADE 沿AE 翻折得到的，
∴AF=AD=10，
又∵AB=8，
在Rt △ABF 中，由勾股定理得：，
故BF 的长为6．
（2）设CE=x ，
∵四边形ABCD 为矩形，
∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x ，
又∵△AFE 是由△ADE 沿AE 翻折得到的，
∴FE=DE=8-x ，
由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，
在Rt △CEF 中，由勾股定理得：222CF +CE =EF ，
∴2224+x =(8-x)，解得：x=3，
故CE 的长为3．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，利用勾股定理求解是本题的关键．
23．（1）作图见解析，20DBC ∠=︒；（2）作图见解析，35BAC ∠=︒；（3）∠A =45°或90°或90°－2α或1452
α︒-，或α＝45°时45°＜∠BAC ＜90°．
【分析】
（1）根据二分割线的定义，只要把∠ABC 分成90°角和20°角即可；
（2）可以画出∠A=35°的三角形；
（3）设BD 为△ABC 的二分割线，分以下两种情况．第一种情况：△BDC 是等腰三角形，△ABD 是直角三角形；第二种情况：△BDC 是直角三角形，△ABD 是等腰三角形分别利用直角三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可．
【详解】
解：（1）ABC ∆关于点B 的二分割线BD 如图4所示，20DBC ∠=︒；
故答案为：20°；
（2）如图所示：∠BAC=35°；
（3）设BD 为△ABC 的二分割线，分以下两种情况．
第一种情况：△BDC 是等腰三角形，△ABD 是直角三角形，易知∠C 和∠DBC 必为底角， ∴∠DBC ＝∠C ＝α．
当∠A ＝90°时，△ABC 存在二分分割线；
当∠ABD ＝90°时，△ABC 存在二分分割线，此时∠A ＝90°－2α；
当∠ADB ＝90°时，△ABC 存在二分割线，此时α＝45°且45°＜∠A ＜90°；
第二种情况：△BDC 是直角三角形，△ABD 是等腰三角形，
当∠DBC ＝90°时，若BD ＝AD ，则△ABC 存在二分割线，此时
1809014522
A αα︒-︒-∠==︒-； 当∠BDC ＝90°时，若BD ＝AD ，则△ABC 存在二分割线，此时∠A ＝45°，
综上，∠A =45°或90°或90°－2α或1452
α︒-，或α＝45°时，45°＜∠BAC ＜90°．
【点睛】
本题考查的是二分割线的理解与作图，属于新定义题型，主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质和三角形的内角和定理等知识，正确理解二分割线的定义、熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质是解答的关键． 24．（1）6-t ，t+23；（2）D(1，3)，y=34-x+154；（3）1515215()4215215()2b b S b b ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩
【分析】
（1）根据点E ，F 的运动轨迹和速度，即可得到答案；
（2）由题意得：DF=OF=53
，DE=OE=5，过点E 作EG ⊥BC 于点G ，根据勾股定理得DG=4，进而得D(1，3)，根据待定系数法，即可得到答案；
（3）根据题意得直线直线MN 的解析式为：34y x b =-+，从而得M(443
b -，3)，分2种情况：①当点M 在线段DB 上时， ②当点M 在DB 的延长线上时，分别求出S 与b 之间的函数关系式，即可．
【详解】
∵(0,0)O ，(6,0)A ，(0,3)C ，
∴OA=6，OC=3，
∵AE=t×
1= t ， ∴OE =6-t ，OF =(t+
23)×1=t+23， 故答案是：6-t ，t+23
； （2）当1t =时，OE =6-t=5，OF =t+
23=53， ∵将OEF ∆沿EF 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，
∴DF=OF=53
，DE=OE=5， 过点E 作EG ⊥BC 于点G ，则EG=OC=3，CG=OE=5，
∴
4=，
∴CD=CG-DG=5-4=1，
∴D(1，3)，
设直线DE 的解析式为：y=kx+b ，
把D(1，3)，E(5，0)代入y=kx+b ，得350k b k b +=⎧⎨+=⎩ ，解得：34154k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴直线DE 的解析式为：y=34-x+154； （3）∵MN ∥DE ，
∴直线直线MN 的解析式为：34y x b =-
+， 令y=3，代入34y x b =-
+，解得：x=443b -， ∴M(443
b -，3)． ①当点M 在线段DB 上时，BM=6-(
443b -)=4103b -+， ∴1143(10)223
S BM AB b =⋅=⨯⨯-+=215b -+，
②当点M在DB的延长线上时，BM=4
4 3
b-
-6=
4
10
3
b-，
∴
114
3(10)
223
S BM AB b
=⋅=⨯⨯-=215
b-，
综上所述：
1515
215()
42
15
215()
2
b b
S
b b
⎧
-+≤<
⎪⎪
=⎨
⎪->
⎪⎩
．
【点睛】
本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握勾股定理与一次函数的待定系数法，是解题的关键．
25．（1）详见解析；（241；（33
【分析】
（1）证∠EAC=∠DAB.利用SAS证△ACE≌△ABD可得；（2）连接BD，证
1
30
2
FEA AED
∠=∠=，证△ACE≌△ABD可得30
FEA BDA
∠=∠=,CE=BD=5，利用勾股定理求解；（3）作CE垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45
ACE CAE
∠=∠=，利用勾股定理得AE2AB
=，3AB，根据（1）思路得3AB.
【详解】
(1) 证明：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD，
即∠EAC=∠DAB.
在△ACE与△ABD中，
AD AE
EAC BAB
AC AB
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ACE≌△ABD(SAS)，
∴BD CE
=；
(2)连接BD
因为AD AE
=，60
DAE BAC
∠=∠=，
所以ADE
∆是等边三角形
因为60DAE DEA EDA ∠=∠=∠=,ED=AD=AE=4
因为CE AD ⊥ 所以1302FEA AED ∠=∠= 同(1)可知△ACE ≌△ABD(SAS)，
所以30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5
所以90BDE BDA ADE ∠=∠+∠=
所以BE=22225441BD DE +=+=
(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=
所以222AB AC AC +
因为AB AC =
所以AE 2=
又因为45CAB ∠=
所以90ABE ∠= 所以()2
22223BE AE AB AB AB AB =+=+= 因为45CBD CDB ∠=∠=
所以BC=CD, 90BCD ∠=
因为同(1)可得△ACD ≌△ECB(SAS)
所以3AB
所以33AD AB AB ==
【点睛】
考核知识点:等边三角形;勾股定理.构造全等三角形和直角三角形是关键.
26．（1）见解析；（2）证明见解析；（3）25.
【分析】
（1）直接叙述勾股定理的内容，并用字母表明三边关系；
（2）利用大正方形面积、小正方形面积和4个直角三角形的面积和之间的关系列式整理即可证明；
（3）将原式利用完全平方公式展开，由勾股定理的内容可得出()2a b +为大正方形面积和4个直角三角形的面积和，根据已知条件即可求得.
【详解】
解：（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
在直角三角形中，两条直角边分别为 a 、b ，斜边为 c ，a 2+b 2= c 2．
（2）∵ S 大正方形=c 2，S 小正方形=(b-a)2，4 S Rt △=4×
12ab=2ab ， ∴ c 2=2ab+(b-a)2=2ab+b 2-2ab+a 2=a 2+b 2，
即 a 2+b 2= c 2．
（3）∵ 4 S Rt △= S 大正方形- S 小正方形=13-1=12,
∴ 2ab=12.
∴ (a+b)2= a 2+b 2+2ab=c 2+2ab=13+12=25.
【点睛】
本题考查勾股定理的内容及勾股定理的几何验证，利用等面积法证明勾股定理及运用勾股定理是解答此题的关键.
27．(1)①见解析；②()22012x y x x
-=
<<-；（2）见解析 【解析】
【分析】
（1）①连接DE ，如图1，先用SAS 证明△CBE ≌△CDE ，得EB=ED ，∠CBE =∠1，再用四边形的内角和可证明∠EBC =∠2，从而可得∠1=∠2，进一步即可证得结论；
②将△BAE 绕点B 顺时针旋转90°，点E 落在点P 处，如图2，用SAS 可证
△PBG ≌△EBG ，所以PG=EG =2－x －y ，在直角三角形PCG 中，根据勾股定理整理即得y 与x 的函数关系式，再根据题意写出x 的取值范围即可.
（2）由（1）题已得EB=ED，根据正方形的对称性只需再确定点E关于点O的对称点即可，考虑到只有直尺，可延长BE交AD于点M，再连接MO并延长交BC于点N，再连接DN交AC于点Q，问题即得解决.
【详解】
（1）①证明：如图1，连接DE，∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠BCE=∠DCE=45°，
又∵CE=CE，∴△CBE≌△CDE（SAS），
∴EB=ED，∠CBE=∠1，
∵∠BEC=90°，∠BCF=90°，
∴∠EBC+∠EFC=180°，
∵∠EFC+∠2=180°，
∴∠EBC=∠2，
∴∠1=∠2.
∴ED=EF，
∴BE=EF.
②解：∵正方形ABCD
的边长为2，∴对角线AC=2.
将△BAE绕点B顺时针旋转90°，点A与点C重合，点E落在点P处，如图2，则△BAE≌△BCP，
∴BE=BP，AE=CP=x，∠BAE=∠BCP=45°，∠EBP=90°，
由①可得，∠EBF=45°，∴∠PBG=45°=∠EBG，
在△PBG与△EBG中，
PB EB
PBG EBG BG BG
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△PBG ≌△EBG （SAS ）.
∴PG=EG =2－x －y ，
∵∠PCG =∠GCB +∠BCP =45°+45°=90°，
∴在Rt △PCG 中，由222PC CG PG +=，得()2
222x y x y +=--， 化简，得()22012x y x x
-=
<<-. （2）如图3，作法如下：
①延长BE 交AD 于点M ， ②连接MO 并延长交BC 于点N ，
③连接DN 交AC 于点Q ，
④连接DE 、BQ ，
则四边形BEDQ 为菱形.
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和、勾股定理和菱形的作图等知识，其中通过三角形的旋转构造全等三角形是解决②小题的关键，利用正方形的对称性确定点Q 的位置是解决（2）题的关键.
28．(1)45°；(2)GF=AG+CF ，证明见解析；(3)①6； ②s ab =，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）如图1中，连接BE ．利用全等三角形的性质证明EB=ED ，再利用等角对等边证明EB=EF 即可解决问题．
（2）猜想：GF=AG+CF ．如图2中，将△CDF 绕点D 旋转90°，得△ADH ，证明
△GDH ≌△GDF （SAS ）即可解决问题．
（3）①设CF=x ，则AH=x ，BF=6-x ，GF=3+x ，利用勾股定理构建方程求出x 即可． ②设正方形边长为x ，利用勾股定理构建关系式，利用整体代入的思想解决问题即可．
【详解】
解：（1）如图1中，连接BE ．
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD=CB，∠ECD=∠ECB=45°，
∵EC=EC，
∴△ECB≌△ECD（SAS），
∴EB=ED，∠EBC=∠EDC，
∵∠DEF=∠DCF=90°，
∴∠EFC+∠EDC=180°，
∵∠EFB+∠EFC=180°，
∴∠EFB=∠EDC，
∴∠EBF=∠EFB，
∴EB=EF，
∴DE=EF，
∵∠DEF=90°，
∴∠EDF=45°
故答案为45°．
（2）猜想：GF=AG+CF．
如图2中，将△CDF绕点D旋转90°，得△ADH，
∴∠CDF=∠ADH，DF=DH，CF=AH，∠DAH=∠DCF=90°，∵∠DAC=90°，
∴∠DAC+∠DAH=180°，
∴H、A、G三点共线，
∴GH=AG+AH=AG+CF，
∵∠EDF=45°，
∴∠CDF+∠ADG=45°，
∴∠ADH+∠ADG=45°
∴∠GDH=∠EDF=45°
又∵DG=DG
∴△GDH ≌△GDF （SAS ）
∴GH=GF ，
∴GF=AG+CF ．
（3）①设CF=x ，则AH=x ，BF=6-x ，GF=3+x ，
则有（3+x ）2=（6-x ）2+32，
解得x=2
∴S △BFG =12
•BF•BG=6． ②设正方形边长为x ，
∵AG=a ，CF=b ，
∴BF=x-b ，BG=x-a ，GF=a+b ，
则有（x-a ）2+（x-b ）2=（a+b ）2，
化简得到：x 2-ax-bx=ab ，
∴S=
12（x-a ）（x-b ）=12（x 2-ax-bx+ab ）=12
×2ab=ab ． 【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
29．（1）,CM ME CM EM =⊥；（2）见解析；（3
）CM =
【解析】
【分析】
(1)证明ΔFME ≌ΔAMH ，得到HM=EM ，根据等腰直角三角形的性质可得结论. （2）根据正方形的性质得到点A 、E 、C 在同一条直线上,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知. （3）如图3中，连接EC ，EM ，由（1）（2）可知，△CME 是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质解决问题即可．
【详解】
解：（1）结论：CM ＝ME ，CM ⊥EM ．
理由：∵AD ∥EF ，AD ∥BC ，
∴BC ∥EF ，
∴∠EFM ＝∠HBM ，
在△FME 和△BMH 中，
EFM MBH FM BM
FME BMH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△FME ≌△BMH （ASA ），
∴HM ＝EM ，EF ＝BH ，。