深圳罗湖区布心中学中考数学期末二次函数和几何综合汇编

深圳罗湖区布心中学中考数学期末二次函数和几何综合汇编
一、二次函数压轴题
1．如图1，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A ，C 分别是直线y =﹣8
3
x +4与坐标轴的
交点，点B 的坐标为（﹣2，0），点D 是边AC 上的一点，DE ⊥BC 于点E ，点F 在边AB 上，且D ，F 两点关于y 轴上的某点成中心对称，连结DF ，EF ．设点D 的横坐标为m ，EF 2为l ，请探究：
①线段EF 长度是否有最小值． ②△BEF 能否成为直角三角形．
小明尝试用“观察﹣猜想﹣验证﹣应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题． （1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l 随m 变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2）．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l 与m 可能满足的函数类别．
（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出l 关于m 的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF 长度的最小值．
（3）小明通过观察，推理，发现△BEF 能成为直角三角形，请你求出当△BEF 为直角三角形时m 的值．
2．某班“数学兴趣小组”对函数2
34y x x =-++的图象和性质进行了探究，探究过程如下，
请补充完整．
（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：
x
⋯ 5- 4-
3- 2-
3
2- 1- 0 1
32
2
3 4
5
⋯ y ⋯
6- 0
4 6
254
6 4 6 254
6
4
m
⋯
m = ．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）直线y kx b =+经过325,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
，若关于x 的方程2
34x x kx b -++=+有4个不相等的实数
根，则b 的取值范围为 ．
3．如图，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）交直线AC ：4
43
y x =--于点A ，点C 两点，且
过点()4,0B ，连接AC ，BC .
（1）求此抛物线的表达式与顶点坐标；
（2）点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，过点P 作PM x ⊥轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q .设点P 的横坐标为m ，试探究点P 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点Q 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，是否存在以点B ，C ，E ，F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由. 4．综合与探究
如图1，已知抛物线2
142
y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y
轴交于点C ，作直线BC ，点C 关于x 轴的对称点是点C '．
（1）求点C '的坐标和直线BC 的表达式；
（2）如图2，点M 在抛物线的对称轴上，N 为平面内一点，依次连接BM ，C M '，C N '，NB ，当四边形BMC N '是菱形时，求点M 坐标；
（3）如图3，点P 是抛物线第一象限内一动点，过P 作x 轴的平行线分别交直线BC 和y 轴于点Q 和点E ，连接PC '交直线BC 于点D ，连接QC '，PB ，设点P 的横坐标为m ，△QC D '的面积为1S ，△PBD 的面积为2S ，求12S S -的最大值． 5．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线234y x x =--+与x 轴分别交于点A 和点B （点A 在点
B 的左侧），交y 轴于点
C ．点P 是线段OA 上的一个动点，沿OA 以每秒1个单位长度的
速度由点O 向点A 运动，过点P 作DP x ⊥轴，交抛物线于点D ，交直线AC 于点E ，连接
BE ．
（1）求直线AC 的表达式；
（2）在点P 运动过程中，运动时间t 为何值时，EC ED =？
（3）在点P 运动过程中，EBP △的周长是否存在最小值？若存在，求出此时点P 的坐标；
若不存在，请说明理由．
6．如图，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣8与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．点P 是第四象限内抛物线上的一个动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，PM 交BC 于点Q ． （1）求A ，B ，C 三点的坐标；
（2）试探究在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A 、C 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
7．定义：如果一条直线把一个封闭的平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条中分线．如三角形的中线所在的直线是三角形的一条中分线．
（1）按上述定义，分别作出图1，图2的一条中分线． （2）如图3，已知抛物线2
132
y x x m =-+与x 轴交于点(2,0)A 和点B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．
①求m 的值和点D 的坐标；
②探究在坐标平面内是否存在点P ，使得以A ，C ，D ，P 为顶点的平行四边形的一条中分线经过点O ．若存在，求出中分线的解析式；若不存在，请说明理由．
8．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a x 2+b x+3经过A(1，0) 、B(－3，0)两点，与y 轴交于点C ．直线BC 经过B 、C 两点．
（1）求抛物线的解析式及对称轴；
（2）将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1，请探究在平移的过程中是否存在点 O 1落在抛物线上的情形，若存在，求出点O 1的坐标，若不存在，说明理由；
（3）如图2，设抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，连结AC ，请探究在抛物线上是否存在一点F ，使直线EF ∥AC ，若存在，求出点F 的坐标，若不存在，说明理由． 9．小云在学习过程中遇到一个函数21
||(1)(2)6
y x x x x =-+≥-．下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当20x -≤<时，对于函数1||y x =，即1y x =-，当20x -≤<时，1y 随x 的增大
而 ，且10y >；对于函数2
21y x x =-+，当20x -≤<时，2y 随x 的增大而 ，且
20y >；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y ，当20x -≤<时，y 随x 的增大
而 ．
（2）当0x ≥时，对于函数y ，当0x ≥时，y 与x 的几组对应值如下表：
x
1
2
1 3
2 2
52 3 y 0
1
16
16
716
1
9548
72
综合上表，进一步探究发现，当0x ≥时，y 随x 的增大而增大．在平面直角坐标系xOy 中，画出当0x ≥时的函数y 的图象．
（3）过点(0，m)（0m >）作平行于x 轴的直线l ，结合（1）（2）的分析，解决问题：若
直线l 与函数21
||(1)(2)6
y x x x x =
-+≥-的图象有两个交点，则m 的最大值是 ． 10．如图，抛物线24y ax bx =++交x 轴于(3,0)A -，(4,0)B 两点，与y 轴交于点C ，AC ，BC ．M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作PM x ⊥轴，交抛物线于点P ，交BC 于点Q ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P 作PN BC ⊥，垂足为点N ．设M 点的坐标为(,0)M m ，请用含m 的代数式表示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点M 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
二、中考几何压轴题
11．石家庄某学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动，在相距150个单位长度的直线跑道AB 上，机器人甲从端点A 出发，匀速往返于端点A 、B 之间，机器人乙同时从端点B 出发，以大于甲的速度匀速往返于端点B 、A 之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计，兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种． （观察）
①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为 个单位长度． ②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为35个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为 个单位长度． （发现）
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为x 个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为y 个单位长度，兴趣小组成员发现了y 与x 的函数关系，并画出了部分函数图象（线段OP ，不包括点O ，如图2所示） ①a ＝ ；
②分别求出各部分图象对应的函数解析式，并在图2中补全函数图象．
（拓展）
设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为x 个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离为y 个单位长度，若这两个机器人在第三次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离y 不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点A 之间的距离x 的取值范围是 ．（直接写出结果） 12．如图1，在菱形ABCD 中，4,120AD B ︒=∠=，点E ，F 分别是AC ，AB 上的点，且1
,232
AE AD AF =
=，猜想：
①
DE
CF
的值是_______； ②直线DE 与直线CF 所成的角中较小的角的度数是_______．
（2）类比探究：如图2，将绕AEF ∆点A 逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中结论是否成立，就图2的情形说明理由． （3）拓展延伸：
在AEF ∆绕点A 旋转的过程中，当,,D E F 三点共线时，请直接写出CF 的长．
13．在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝α，点D 为直线BC 上一动点，过点D 作DF ∥AC 交直线AB 于点F ，将AD 绕点D 顺时针旋转α得到ED ，ED 交直线AB 于点O ，连接BE ．
（1）问题发现：
如图1，α＝90°，点D 在边BC 上，猜想： ①AF 与BE 的数量关系是 ； ②∠ABE ＝ 度． （2）拓展探究：
如图2，0°＜α＜90°，点D 在边BC 上，请判断AF 与BE 的数量关系及∠ABE 的度数，并给予证明． （3）解决问题
如图3，90°＜α＜180°，点D 在射线BC 上，且BD ＝3CD ，若AB ＝8，请直接写出BE 的长．
14．爱好思考的小明在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线相互垂直的三角形“中垂三角形”，如图（1）、图（2）、图（3）中，AM 、BN 是△ABC 的中线，AM ⊥BN 于点P ，像△ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a ，AC=b ，AB=c ．
（特例研究）
（1）如图1，当tan ∠PAB=1，2a=b= ； （归纳证明）
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a 2、b 2、c 2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图2证明你的结论； （拓展证明）
（3）如图4，▱ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 的三等分点，且AD=3AE ，BC=3BF ，连接AF 、BE 、CE ，且BE ⊥CE 于E ，AF 交BE 相较于点G ，5AB=3，求AF 的长． 15．（1）问题发现：如图1，在△ABC 中和△DCE 中，AB AC =，DC DE =，
60BAC CDE ∠=∠=︒，点D 是BC 的垂线AF 上任意一点．填空：
①
AD
BE
的值为 ； ②∠ABE 的度数为 ．
（2）类比探究：如图2，在△ABC 中和△DCE 中，90BAC CDE ∠=∠=︒，30ABC DEC ∠=∠=︒，点D 是BC 的垂线AF 上任意一点．请判断
AD
BE
的值及∠ABE 的度数，并说明理由；
（3） 拓展延伸：在（2）的条件下，若3AB =3
CD =
，请直接写出BE 的长．
16．综合与实践 操作探究
（1）如图1，将矩形ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，AC 与EF 交于点G ．请回答下列问题：
①与AEG △全等的三角形为______，与AEG △相似的三角形为______．并证明你的结论：（相似比不为1，只填一个即可）：
②若连接AF 、CE ，请判断四边形AFCE 的形状：______．并证明你的结论； 拓展延伸
（2）如图2，矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，点M 、N 分別在AB 、DC 边上，且
AM NC =，将矩形折叠，使点M 与点N 重合，折痕为EF ，MN 与EF 交于点G ，连接
ME ．
①设22m AM AE =+，22n ED DN =+，则m 与n 的数量关系为______； ②设AE a =，AM b =，请用含a 的式子表示b ：______； ③ME 的最小值为______．
17．（1）（操作）如图，请用尺规作图确定圆的圆心P ，保留作图痕迹，不要求写作法；
（2）（探究）如图，若（1）中的圆P 的半径为2，放入平面直角坐标系中，使它与x 轴，y 轴分别切于点B 和C ，点A 的坐标为()8,0，过点A 的直线与圆P 有唯一公共点D （与B 不重合）时，求点D 的坐标；
（3）（拓展）如图3，点M 从点()8,0A 出发，以每秒1个单位的速度沿x 轴向点O 运动，同时，点N 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿y 轴向上运动，设运动时间为t （08s t <<），过点M ，N ，O 三点的圆，交第一象限角平分线OG 于点E ，当t 为何值时，MN 有最小值，求出此时OMEN S 四边形，并探索在变化过程中OMEN S 四边形的值有变化吗？为什么？
18．问题探究：
（1）如图①，已知在△ABC 中，BC ＝4，∠BAC ＝45°，则AB 的最大值是 ． （2）如图②，已知在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，D 为△ABC 内一点，且AD ＝7BD ＝2．，CD ＝6，请求出∠ADB 的度数．
问题解决：
（3）如图③，某户外拓展基地计划在一处空地上修建一个新的拓展游戏区△ABC ，且AB ＝A C ．∠BAC ＝120°，点A 、B 、C 分别是三个任务点，点P 是△ABC 内一个打卡点．按照设计要求，CP ＝30米，打卡点P 对任务点A 、B 的张角为120°，即∠APB ＝120°．为保证游戏效果，需要A 、P 的距离与B 、P 的距离和尽可能大，试求出AP +BP 的最大值． 19．综合与实践
动手操作
利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．
如图1，点E 为正方形ABCD 的AB 边上的一个动点，3AB =，将正方形ABCD 对折，使点A 与点B 重合，点C 与点D 重合，折痕为MN ．
思考探索
（1）将正方形ABCD 展平后沿过点C 的直线CE 折叠，使点B 的对应点B '落在MN 上，折痕为EC ，连接DB '，如图2．
①点B '在以点E 为圆心，_________的长为半径的圆上；
②B M '=_________；
③DB C '为_______三角形，请证明你的结论．
拓展延伸
（2）当3AB AE =时，正方形ABCD 沿过点E 的直线l （不过点B ）折叠后，点B 的对应点B '落在正方形ABCD 内部或边上．
①ABB '面积的最大值为____________；
②连接AB '，点P 为AE 的中点，点Q 在AB '上，连接,PQ AQP AB E '∠=∠，则2B C PQ '+的最小值为____________．
20．类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个
案例，请补充完整．
原题：如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 是BC 的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ．若3AF EF =，求CD CG
的值．
（1）尝试探究
在图1中，过点E 作//EH AB 交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是_________，CG 和EH 的数量关系是_________，
CD CG 的值是_________． （2）类比延伸
如图2，在原题的条件下，若()0AF m m EF =>，则CD CG 的值是_________（用含有m 的代数式表示），试写出解答过程．
（3）拓展迁移
如图3，梯形ABCD 中，//DC AB ，点E 是BC 的延长线上的一点，AE 和BD 相交于点F ．若
AB a CD =，BC b BE =，()0,0a b >>，则AF EF 的值是________（用含a 、b 的代数式表示）．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、二次函数压轴题
1．F
解析：（1）连线见解析，二次函数；（2）23）m =0或m =43
【分析】
（1）根据描点法画图即可；
（2）过点F ，D 分别作FG ，DH 垂直于y 轴，垂足分别为G ，H ，证明Rt △FGK ≌Rt △DHK （AAS ），由全等三角形的性质得出FG =DH ，可求出F （﹣m ，﹣2m +4），根据勾股定理得出l =EF 2=8m 2﹣16m +16=8（m ﹣1）2+8，由二次函数的性质可得出答案；
（3）分三种不同情况，根据直角三角形的性质得出m 的方程，解方程求出m 的值，则可
求出答案．
【详解】
解：（1）用描点法画出图形如图1，由图象可知函数类别为二次函数．
（2）如图2，过点F ，D 分别作FG ，DH 垂直于y 轴，垂足分别为G ，H ，
则∠FGK =∠DHK =90°，
记FD 交y 轴于点K ，
∵D 点与F 点关于y 轴上的K 点成中心对称，
∴KF =KD ，
∵∠FKG =∠DKH ，
∴Rt △FGK ≌Rt △DHK （AAS ），
∴FG =DH ，
∵直线AC 的解析式为y =﹣83
x +4， ∴x =0时，y =4，
∴A （0，4），
又∵B （﹣2，0），
设直线AB 的解析式为y =kx +b ，
∴204
k b b ⎧-+=⎨=⎩， 解得24
k b ， ∴直线AB 的解析式为y =2x +4，
过点F 作FR ⊥x 轴于点R ，
∵D点的横坐标为m，
∴F（﹣m，﹣2m+4），
∴ER=2m，FR=﹣2m+4，
∵EF2=FR2+ER2，
∴l=EF2=8m2﹣16m+16=8（m﹣1）2+8，
令﹣8
3
x
+4=0，得x=
3
2
，
∴0≤m≤3
2
．
∴当m=1时，l的最小值为8，
∴EF的最小值为22．
（3）①∠FBE为定角，不可能为直角．
②∠BEF=90°时，E点与O点重合，D点与A点，F点重合，此时m=0．
③如图3，∠BFE=90°时，有BF2+EF2=BE2．
由（2）得EF2=8m2﹣16m+16，
又∵BR=﹣m+2，FR=﹣2m+4，
∴BF2=BR2+FR2=（﹣m+2）2+（﹣2m+4）2=5m2﹣20m+20，
又∵BE2=（m+2）2，
∴（5m2﹣20m+8）+（8m2﹣16m+16）2=（m+2）2，
化简得，3m2﹣10m+8=0，
解得m1=4
3
，m2=2（不合题意，舍去），
∴m=4
3
．
综合以上可得，当△BEF为直角三角形时，m=0或m=4
3
．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合应用，考查了描点法画函数图象，待定系数法，全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，二次函数的性质，勾股定理，中心对称的性质，直角三角形的性质等知识．准确分析给出的条件，结合一次函数的图象进行求解，熟练掌握方程思想及分类讨论思想是解题的关键．．
2．（1）-6；（2）答案见解析；（3）①该函数的图象关于y轴对称；②该函数的图象有
最高点；（4）2544
b <<
． 【分析】 （1）根据对称可得m=-6；
（2）用平滑的曲线连接各点即可画出图形； （3）认真观察图象，总结出2条性质即可；
（4）画出两函数图象即可得到结论．
【详解】
（1）由表格可知：图象的对称轴是y 轴，
∴m=-6，
故答案为：-6；
()2如图所示
()3①该函数的图象关于y 轴对称
②该函数的图象有最高点；
（4）由图象可知：关于x 的方程234x x kx b -++=+有4个不相等的实数根时，
即y=kx+b 时，与图象有4个交点，
所以，由图象可以得出，当2544
b <<
时，直线与图象有4个不同的交点． 故答案为：2544b <<．
【点睛】
本题考查了二次函数与x 轴的交点问题和一元二次方程的根的情况，注意利用数形结合的思想，理解一元二次方程与抛物线的关系是解此题的关键．
3．A
解析：（1）顶点坐标为149,212⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）存在， ()11,3Q -，252528Q -⎝⎭
；（3）11974F ⎫+⎪⎪⎝⎭或21974F ⎫-⎪⎪⎝⎭
或()31,4F -. 【分析】
（1）根据一次函数解析式求出A 、C 两点的坐标，把A 、B 、C 三点代入解析式求解即可求的解析式，然后把解析式化为顶点式可求得结果.
（2）先求出BC 所在直线的解析式，设出P 、Q 两点的坐标，根据勾股定理求出AC ，根据以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形可分类讨论，分为AQ=AC,AC=CQ,AQ=CQ 三种情况.
（3）分两种情况讨论，一是F 在抛物线上方，过点F 作FH x ⊥轴，可得FH=4，设
211,433F n n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可得2114433n n --=，求出n 代入即可；二是F 在抛物线下方，可得2114-433
--=n n ，求出n 的值即可，最后的结果综合两个结果即可. 【详解】
解：（1）443
y x =-- ∵当0y =时，4403
--=x ,
∴3x =-;
∴()30A -,
，()0,4C -; 二次函数过点A 、B ，设()()34y a x x =+-;
∵过点()0,4C -,
∴124a -=-; ∴13
a =; ∴()()1343
y x x =+- 211433
x x =--; ∵2
11493212
y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, ∴顶点坐标为149,212⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）存在.
设BC y kx b =+过B 、C ,
440
b k b =-⎧⎨+=⎩; 设解得：14k b =⎧⎨=-⎩
; ∴4BC y x =-; 设21)1,433
(P w m m --、(),4Q m m -; 在Rt AOC ∆中，解得5AC =;
①当AQ AC =时;
()()2
22345m m ++--=⎡⎤⎣⎦; 解得：10m =（不合题意舍去），21m =;
∴()11,3Q -;
②当CQ AC =时;
()2
22445m m +---=⎡⎤⎣⎦;
解得：1m =2m =;
∴2Q ⎝⎭
; ③当AQ CQ =时;
()()()22
223444m m m m ++--=+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦;
解得：2542m =>（不合题意舍去）; ∴()11,3Q -，252528,22Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
; （3）当F 在抛物线上方时，//BC EF ，BC EF =时;
过点F 作FH x ⊥轴，FEH ∆与BCOQ ∆全等;
则4FH =;
设211,433F n n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
; 则2114433
n n --=; 解得；1197n +=2197n -= 11974F ⎫+⎪⎪⎝⎭或21974F ⎫-⎪⎪⎝⎭
; 当F 在抛物线下方时，2114433
n n --=-; 30n =（不合题意舍去），41n =;
∴()31,4F -;
∴11974F ⎫+⎪⎪⎝⎭或21974F ⎫-⎪⎪⎝⎭
或()31,4F -. 【点睛】
本题主要考查了二次函数综合应用，准确分析题目条件，利用了等腰三角形、直角三角形的性质进行求解.
4．A
解析：（1）(0,4)C '-，y ＝－x ＋4；（2）M （1，－1）；（3）12S S -的最大值是4．
【分析】
（1）先求得点A ，B ，C 的坐标，即可求得C '的坐标，再用待定系数法求得直线BC 的表达式；
（2）过M 作MH ⊥y 轴于点H ，连接OM ． 证明△OMB ≌△O MC '，即可得
∠MOB =C OM ∠'．再求得∠MOB =C OM ∠'=45°；由此求得OH MH =． 再求得抛物线的对称轴，即可求得点M 的坐标；
（3）过B 作BI ⊥PQ 于I ．易求122S S QP -=，再求得PQ 的最大值，即可求得12S S -的最大值．
【详解】
（1）∵抛物线与x 轴相交于点A ，B ，
当y ＝0时，21402
x x -++=，解，得122,4x x =-=； ∴B （4，0）
∵抛物线与x 轴相交于点C ，
∴当x ＝0时，y ＝4，
∴C （0，4），
(0,4)C -'∴．
设BC 的表达式为y ＝kx ＋b ，
将B ，C 两点坐标分别代入得404k b b +=⎧⎨=⎩，解，得14
k b =-⎧⎨=⎩． 直线BC 的表达式为y ＝－x ＋4 ；
（2）过M 作MH ⊥y 轴于点H ，连接OM ．
∵四边形BMC N '是菱形，
∴BM =MC '，
∵B （4，0），C （0，4），
∴OB ＝OC ，
∵OM=OM ，
∴△OMB ≌△O MC '，
∴∠MOB =C OM ∠'．
∵∠BO C '＝90°，
∴∠MOB =C OM ∠'=45°；
∵MH ⊥y ，
OH MH ∴=．
∵抛物线的对称轴为直线11122x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭
， 1OH MH ∴==． ∴M （1，－1）．
（3）过B 作BI ⊥PQ 于I ．
∵PQ //x 轴，
∴∠IEO ＝90°
90IEO EOB BIE ∠∠∠===，
∴四边形EOBI 是矩形．
BI OE ∴=．
12ΔΔΔΔΔΔ1)11(2222
QDC QD QPD QD QPC QPB P P S S S S S S S S QP C E QP BI QP C O QP ''∴-=-=''++-=⋅-⋅=⋅= ，
∵点P 在抛物线上，且点P 的横坐标为m ，
∴点P 的纵坐标为2142
m m -++． ∵PQ //x 轴， ∴点Q 的纵坐标为2142
m m -++，将其代入y ＝－x ＋4， ∴点Q 的横坐标为212
m m -． ∵点P 是抛物线第一象限内，
∴点P 在点Q 右侧，
2221112(2)2222PQ m m m m m m ⎛⎫∴=--=-+=--+ ⎪⎝⎭
． 102
-<， ∴当m ＝2时，PQ 的最大值是2，
∴12S S -的最大值是4． 【点睛】
本题是二次函数的综合题，解决第（3）题时构建二次函数模型是解决问题的关键．
5．A
解析：（1）4y x =+；（2）0t =或4t =3）存在，3,02P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【分析】
（1）根据二次函数的解析式可以求出点A 和点C 坐标，把点A 和点C 的坐标代入联立方程组，即可确定一次函数的解析式；
（2）由题意可得点P 的坐标，从而可得点D 的坐标，故可求得ED 的长，再由A 、C 的坐标可知：OA =OC ，即△AOC 是等腰直角三角形，因DP ⊥x 轴，故△AEP 也是等腰直角三角形，可分别得到AC 、AE 的长，故可得EC 的长，由题意EC =ED ，即可得关于t 的方程，解方程即可；
（3）由EP =AP ，得EBP C EP BP BE AP BP BE AB BE =++=++=+△，AB 是定值，周长最小，就转化为BE 最小，根据垂线段最短就可确定点P 的特殊位置，从而求出点P 的坐标． 【详解】
解：（1）∵抛物线234y x x =--+与x 轴分别交于点A 和点B ，交y 轴于点C ， ∴当0x =时，4y =，即()0,4C ，
当0y =时，2340x x --+=，14x =-，21x =，即()4,0A -，()10B ,， 设直线AC 的解析式为：y kx b =+
则044k b
b =-+⎧⎨=⎩
， ∴14k b =⎧⎨=⎩
， ∴直线AC 的表达式：4y x =+．
（2）∵点P 沿OA 以每秒1个单位长度的速度由点O 向点A 运动， ∴OP t =，(),0P t -， ∵DP x ⊥轴， ∴(),4E t t --+，()2
,34D t t t --++，
∴24DE t t =-+ ∵()4,0A -，()0,4C ， ∴4OA =，4OC =， ∴△AOC 是等腰直角三角形，
∴45CAO ∠=︒，由勾股定理得：AC =
∵DP x ⊥轴，
在Rt APE 中，45CAP ∠=︒， ∴△AEP 也是等腰直角三角形，
∴4AP PE t ==-，()24AE t =-， ∴2EC AC AE t =-=，
∴当242t t t -+=时，即0t =或42t =-时，EC ED =． （3）在Rt AEP △中，45OAC ∠=︒， ∴AP EP =，
∴EBP △的周长：EP BP BE AP BP BE AB BE ++=++=+． ∴当BE 最小时EPB △的周长最小． 当BE AC ⊥时，BE 最小，
∵()10B ,， ∴5AB =，
在Rt AEB 中，90AEB =︒∠，45BAC ∠=︒，5AB =，BE AC ⊥， ∴15
22
PB AB =
=， ∴3
2
OP PB OB =-=， ∴3,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
．
【点睛】
本题是综合与探究题，此类问题的考查特点是综合性和探究性强，考查内容是一次函数解析式的确定、特殊点坐标的确定、三角形周长最小值等，渗透了分类讨论、数形结合、转化等数学思想，难度较大．
6．A
解析：（1）A （﹣2，0），B （4，0），C （0，﹣8）；（2）存在，Q 点坐标为124
(
85,858)55Q ，21722(,)77
Q ． 【分析】
(1)解方程2280x x --=，可求得A 、B 的坐标，令0x =，可求得点C 的坐标；
(2)利用勾股定理计算出AC =BC 的解析式为
28y x =-，可设Q （m ，2m ﹣8）（0＜m ＜4），分三种情况讨论：当CQ ＝AC 时，当AQ
＝AC 时，当AQ ＝QC 时，然后分别解方程求出m 即可得到对应的Q 点坐标． 【详解】
(1)当0y =，2280x x --=，
解得x 1＝﹣2，x 2＝4，所以(2,0)A -，(4,0)B ， x ＝0时，y ＝﹣8， ∴(0,8)C -；
(2)设直线BC 的解析式为y kx b =+，
把(4,0)B ，(0,8)C -代入解析式得：40
8k b b +=⎧⎨=-⎩，解得28k b =⎧⎨=-⎩
，
∴直线BC 的解析式为28y x =-， 设Q （m ，2m ﹣8）（0＜m ＜4）， 当CQ ＝CA 时，22(288)68m m +-+=，
解得，1m =2m =
∴Q 8)， 当AQ ＝AC 时，22(2)(28)68m m ++-=，解得：128
m 5
=
（舍去），m 2＝0（舍去）； 当QA ＝QC 时，2222(2)(28)(2)m m m m ++-=+，解得177
m =， ∴Q 1722(,)77
-．
综上所述，满足条件的Q 点坐标为18)Q ，21722
(,)77
Q -． 【点睛】
本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质，会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质，会利用勾股定理表示线段之间的关系，会运用分类讨论的思想解决数学问题． 7．（1）见解析；（2）①4m =，1(3,)2
D -；②存在，76
y x =或2y x =或110y x =-
【分析】
（1）对角线所在的直线为平行四边形的中分线，直径所在的直线为圆的中分线； （2）①将(2,0)A 代入抛物线2132
y x x m =
-+，得1
43202m ⨯-⨯+=，解得4m =，抛物线
解析式221
1134(3)2
2
2
y x x x =-+=--，顶点为1(3,)2
D -；
②根据抛物线解析式求出(2,0)A ，(4,0)B ，(0,4)C ，当A 、C 、D 、P 为顶点的四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分，所以平行四边形的中分线必过对角线的交点．Ⅰ．当CD 为对角线时，对
角线交点坐标为37
(,)24，中分线解析式为76
y x =；Ⅱ．当AC 为对角线时，对角线交点坐
标(1,2)．中分线解析式为2y x =；Ⅲ．当AD 为对角线时，对角线交点坐标为51(,)24
-，中分线解析式为1
10
y x =-． 【详解】
解：（1）如图，对角线所在的直线为平行四边形的中分线， 直径所在的直线为圆的中分线，
（2）①将(2,0)A 代入抛物线2
132
y x x m =
-+，得 1
43202
m ⨯-⨯+=， 解得4m =，
∴抛物线解析式22111
34(3)222y x x x =-+=--，
∴顶点为1
(3,)2
D -；
②将0y =代入抛物线解析式2
1342
y x x =
-+，得 2
342
01x x -+=， 解得2x =或4，
(2,0)A ∴，(4,0)B ， 令0x =，则4y =，
(0,4)C ∴，
当A 、C 、D 、P 为顶点的四边形为平行四边形时，
根据平行四边形的性质，过对角线的交点的直线将该平行四边形分成面积相等的两部分， 所以平行四边形的中分线必过对角线的交点． Ⅰ．当CD 为对角线时，对角线交点坐标为1
4032(,
)2
2
-+，即37
(,)24
，
中分线经过点O ，
∴中分线解析式为7
6
y x =
；
Ⅱ．当AC 为对角线时，对角线交点坐标为2004
(,)22
++，即(1,2)． 中分线经过点O ，
∴中分线解析式为2y x =；
Ⅲ．当AD 为对角线时，对角线交点坐标为1
0232(,
)2
2
-+，即51
(,)24
-， 中分线经过点O ，
∴中分线解析式为1
10
y x =-
， 综上，中分线的解析式为式为76
y x =或为2y x =或为1
10y x =-．
【点睛】
本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的性质与平行四边形的性质是解题的关键．
8．F
解析：（1）223y x x =--+，1x =-；（2）O 1)
3）满足条件的点F 的坐标为F 1(-2，3)，F 2(3，-12)． 【分析】
（1）把A （1，0），B （-3，0）代入y=ax 2+bx+3即可求解；
（2）先求出直线OO 1的解析式为y x =，再根据223x x x --+=，求解即可或是根据23(23)3x x x +---+=得出x 的值，再根据直线OO 1的解析式为y x =求解；
（3）先求出直线EF 解析式为 33y x =--，再根据22333x x x --+=--求解即可． 【详解】
解：（1）将点A （1, 0），B （-3, 0）代入抛物线解析式y=a x 2+b x+3 得：
{
309330
a b a b ++=-+=
解得：{1
2a b =-=-
∴抛物线解析式为 223y x x =--+ ∴2(1)4y x =++ ∴1x =-
（2）∵点C 为223y x x =--+与y 轴的交点∴C （0，3） ∵B(－3，0)∴OB ＝OC ∴ ∠CBO=45° ∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1 ∴直线OO 1∥BC ∴ ∠O 1OA=45° ∴直线OO 1的解析式为y x = 根据题意 得 223x x x --+= 整理得 2330x x +-=
解得 1x =
2x =
∴O 1(
3212-+,3212-+ )或)（3212--，321
2
--） 解法2 ∵点C 为223y x x =--+与y 轴的交点∴C （0，3）∴OC=3 ∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1 01C 1=3 ∴23(23)3x x x +---+= 整理得 2330x x +-= 解得 1321
2x -+=
23212
x --= ∵B(－3，0)∴OB ＝OC ∴ ∠CBO=45° ∵将△COB 沿直线 BC 平移，得到△C 1O 1B 1 ∴直线OO 1∥BC ∴ ∠O 1OA=45° ∴直线OO 1的解析式为y=x ∴O 1(
3212-+,3212-+ )或（3212--，3212
--）
(3)∵抛物线对称轴与x 轴交于点E,则点E 的坐标为E(-1,0),过点C 作CF ∥x 轴 根据抛物线的对称性得F 的坐标为F(-2,3) ∴AE=CF=2 ∵CF ∥AE ∴四边形CFEA 为平行四边形 ∴EF ∥CA
设直线EF 的解析式为y kx b =+ 得：{320k b
k b =-+=-+ 解得：{3
3k b =-=-
∴直线EF 解析式为 33y x =-- 根据题意 得 22333x x x --+=-- 解得12x =- 23x =
满足条件的点F 的坐标为F 1(-2，3)，F 2(3，-12)． 【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，学会用转化的思想思考问题． 9．（1）减小，减小，减小；（2）见解析；（3）7
3
【分析】
（1）根据一次函数的性质，二次函数的性质分别进行判断，即可得到答案；
（2）根据表格的数据，进行描点，连线，即可画出函数的图像；
（3）根据函数图像和性质，当2x =-时，函数有最大值，代入计算即可得到答案． 【详解】
解：（1）根据题意，在函数1y x =-中， ∵10k =-<,
∴函数1y x =-在20x -≤<中，1y 随x 的增大而减小； ∵22213
1()24
y x x x =-+=-+，
∴对称轴为：1x =，
∴2
21y x x =-+在20x -≤<中，2y 随x 的增大而减小；
综合上述，21
||(1)6
y x x x =
-+在20x -≤<中，y 随x 的增大而减小； 故答案为：减小，减小，减小；
（2）根据表格描点，连成平滑的曲线，如图：
（3）由（2）可知，当0x ≥时，y 随x 的增大而增大，无最大值； 由（1）可知21
||(1)6y x x x =
-+在20x -≤<中，y 随x 的增大而减小； ∴在20x -≤<中，有 当2x =-时，73
y =
， ∴m 的最大值为7
3；
故答案为：7
3
．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出函数图像，并求函数的最大值．
10．A
解析：（1）211433y x x =-++；（2）2222
PN =，当2m =时，PN 有最大值，
22
． （3）满足条件的点Q 有两个，坐标分别为：()1,3Q ，528222Q ⎛- ⎝⎭
．
【分析】
（1）将点A 、B 的坐标代入解析式中求解即可；
（2）由(1)求得点C 坐标，利用待定系数法求得直线BC 的解析式，然后用m 表示出PN ，再利用二次函数的性质即可求解；
（3）分三种情况：①AC=CQ ；②AC=AQ ；③CQ=AQ ，分别求解即可． 【详解】
解：（1）将(3,0)A -，(4,0)B 代入2
4y ax bx =++，得934016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解之，得
13
13a b ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
． 所以，抛物线的表达式为211433
y x x =-++． （2）由21
143
3
y x x =-++，得(0,4)C ．
将点(4,0)B 、(0,4)C 代入y kx b =+，得40
4k b b +=⎧⎨=⎩，解之，得14k b =-⎧⎨=⎩
．
所以，直线BC 的表达式为：4y x =-+．
由(,0)M m ，得211,433P m m m ⎛⎫
-++ ⎪⎝⎭，4(),Q m m -+．
∴221114
443333
PQ m m m m m =-+++-=-+
∵OB OC =，∴45ABC OCB ∠=∠=︒． ∴45PQN BQM ∠=∠=︒．
∴2214sin 4533PN PQ m m ⎫=︒=-+=⎪⎝⎭．
22)m =-
∵0< ∴当2m =时，PN
． （3）存在，理由如下：由点(3,0)A -，(0,4)C ，知5AC =．
①当AC CQ =时，过Q 作QE y ⊥轴于点E ，易得222222[4(4)]2CQ EQ CE m m m =+=+--+=，
由2225m =，得152
2m =
，222
m =-（舍） 此时，点52852Q -⎝⎭
； ②当AC AQ =时，则5AQ AC ==．
在Rt AMQ △中，由勾股定理，得22[(3)](4)25m m --+-+=． 解之，得1m =或0m =（舍） 此时，点()1,3Q ； ③当CQ AQ =时，
由2222[(3)](4)m m m =--+-+，得25
2
m =
（舍）． 综上知所述，可知满足条件的点Q 有两个，坐标分别为：()1,3Q ，285222Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
． 【点睛】
本题是一道二次函数与几何图形的综合题，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算．
二、中考几何压轴题
11．【观察】①90；②105；【发现】①50；②y ＝，补全图象见解析；【拓展】0＜x≤12或48≤x≤72 【分析】
【观察】①先据题意求出两个机器人速度的关系，再确定第二次迎面相遇的位置，然后设此时相
解析：【观察】①90；②105；【发现】①50；②y ＝3(050)
3300(5075)x x x x <≤⎧⎨-+<<⎩，补全图象
见解析；【拓展】0＜x≤12或48≤x≤72。