兰州市师大附中八年级数学上册第三单元《轴对称》测试题(有答案解析)

一、选择题
1．如图，已知等腰ABC 的底角15C ︒∠=，顶点B 到边AC 的距离是3cm ，则AC 的长为（ ）
A ．3cm
B ．4cm
C ．5cm
D ．6cm
2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()4,3-，点P 在x 轴上，且使AOP 为等腰三角形，符合题意的点P 的个数为（ ）．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
3．下列命题中，假命题是（ ）
A ．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B ．等腰三角形顶角平分线把它分成两个全等的三角形
C ．相等的两个角是对顶角
D ．有一个角是60的等腰三角形是等边三角形
4．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ， OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC CD DE ==，点D ，E 可在槽中滑动，若72BDE ︒∠=，则CDE ∠的度数是（ ）
A ．84︒
B ．82︒
C ．81︒
D ．78︒
5．如图，已知AD 为ABC 的高线，AD BC =，以AB 为底边作等腰Rt ABE △，且点E 在ABC 内部，连接ED ，EC ，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：
①EBD DAE ∠=∠；②ADE BCE ≌△△；③BD AF =；④BDE ACE S S =△△，其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．如图，在ABC 中，90C =∠，30B ∠=，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交
BC 于点D ，则:DAC ABC S S 等于（ ）
A ．1:2
B ．2:3
C ．1:3
D ．1:3
7．如图，在ABC 与A B C ''△中，,90AB AC A B A C B B ==''='∠+∠'=︒，ABC ，A B C '''的面积分别为1S 、2S ，则（ ）
A ．12S S >
B ．12S S
C ．12S S <
D ．无法比较1S 、2
S 的大小关系 8．如图，C 是线段AB 上的一点，ACD △和BCE 都是等边三角形，AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于O ，则①DB AE =；②AMC DNC ∠=∠；③60AOB ∠=︒；④DN AM =；⑤CMN △是等边三角形．其中，正确的有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
9．若海岛N 位于海岛M 北偏东30°的方向上，则从海岛N 出发到海岛M 的航线可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，已知等腰三角形ABC 中，AB AC =，15DBC ∠=︒，分别以A 、B 两点为圆心，以大于12
AB 的长为半径画圆弧，两弧分别交于点E 、F ，直线EF 与AC 相交于点D ，则A ∠的度数是（ ）
A ．50°
B ．60°
C ．75°
D ．45°
11．下列图案是轴对称图形的是有（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．②③ 12．等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为30，则底角度数是（ ）
A ．30
B ．60︒
C ．40︒或50︒
D ．30或60︒ 二、填空题
13．如图，在ABC 中，D 是BC 上一点，,105AC AD DB BAC ==∠=︒，则B ∠=________°．
14．如图，点C 在DE 上，,,45B E AB AE CAD BAE ∠=∠=∠=∠=︒，则ACB =∠_____________．
15．如图：已知在ABC 中，90ACB ︒∠=，36BAC ︒∠=，在直线AC 上找点P ，使ABP △是等腰三角形，则APB ∠的度数为________．
16．如图，P 是等边三角形ABC 内一点，∠APB ，∠BPC ，∠CPA 的大小之比为5：6：7，则以PA ，PB ，PC 为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是_________________．
17．如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 边上，且BE CF =，BD CE =，如果44A ∠=︒，则EDF ∠的度数为__．
18．如图，在ABC 中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()0,4，点C 的坐标为()4,3，点D 在第二象限，且ABD △与ABC 全等，点D 的坐标是______．
19．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∠BAD ＝20°，且AE ＝AD ，则∠CDE 的度数是______．
20．如图，在ABC 中，30EFD ∠=︒，且AEF AFE ∠=∠，CFD CDF ∠=∠，则B 的度数为______．
三、解答题
21．如图，在△ABC 中，AB 边的中垂线PQ 与△ABC 的外角平分线交于点P ，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，PE ⊥AC 于点E ．
（1）求证：BD =AE ；
（2）若BC =6，AC =4．求CE 的长度．
22．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将ABC ∆经过一次轴对称变换后得到'''A B C ∆，图中标出了点C 的对应点'C
()1在给定方格纸中画出变换后的'''A B C ∆；
()2画出AC 边上的中线BD 和BC 边上的高线AE ；
()3求'''A B C ∆的面积．
23．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CAP 和CBQ △都是等边三角形，BQ 和CP 交于点H ，求证：BQ CP ⊥．
24．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为1,ABC 的三个顶点分别为()()4,3,3,()3,1,1A B C -．请在坐标系中标出,,A B C 三点，画出ABC ∆，并画出ABC ∆关于y 轴对称的图形111A B C ∆，写出点111,,A B C 的坐标．
25．如图，已知四边形ABCD 中，60B ∠=，边8cm AB BC ==，动点P ，Q 同时从A ，B 两点出发，分别沿AB ，BC 方向匀速运动，其中点P 运动的速度是每秒1cm ，点Q 运动的速度是每秒2cm ，当点Q 到达点C 时，P ，Q 两点都停止运动，设运动时间为t 秒．
解答下列问题：
（1）AP =_______________，BP =______________，BQ =______________．(用含t 的式子表示)
（2）当点Q 到达点C 时，PQ 与AB 的位置关系如何．请说明理由．
（3）在点P 与点Q 的运动过程中，BPQ 是否能成为等边三角形．若能，请求出t 的值．若不能，请说明理由．
26．如图，在12×10的正方形网格中，△ABC 是格点三角形，点B 的坐标为（﹣5，1），点C 的坐标为（﹣4，5）．
（1）请在方格纸中画出x 轴、y 轴，并标出原点O ；
（2）画出△ABC 关于直线l 对称的△A 1B 1C 1；C 1的坐标为
（3）若点P （a ，b ）在△ABC 内，其关于直线l 的对称点是P 1，则P 1的坐标是 ．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据等腰三角形的性质，可得∠BAD=30°，再利用30度角所对直角边等于斜边的一半，求出AB即可．
【详解】
解：∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=15°，
∴∠BAD=30°，
∵BD⊥AC，
∴∠BDA=90°，
∴AB=2BD，
点B到边AC的距离是3cm，即BD=3cm，
∴AB=2BD=6cm，
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，解题关键是利用等腰三角形的性质把已知的15°角转化为30度角．
2．C
解析：C
【分析】
以O为圆心，AO长为半径画圆可得与x轴有2个交点，再以A为圆心，AO长为半径画圆可得与x轴有1个交点，然后再作AO的垂直平分线可得与x轴有1个交点．
【详解】
解：如图所示：
点P在x轴上，且使△AOP为等腰三角形，符合题意的点P的个数共4个，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏．
3．C
解析：C
【分析】
利用全等三角形的判定和等腰三角形的性质判断A、B，根据对顶角的定义判断C，根据等边三角形的判定判断D．
【详解】
解：A．两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合两三角形的判定定理“SAS”；故本选项是真命题；
B．已知等腰三角形的两腰相等，且顶角的平分线即为底边上的高，则可根据为HL可以得出两个三角形全等，故本选项是真命题；
C、相等的角不一定是对顶角，故错误，是假命题；
D、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，正确，是真命题；
故选C．
【点睛】
本题考查了命题和定理，解题的关键是明确题意，可以判断题目中的命题的真假，对于假命题能举出反例或者说明理由．
4．A
解析：A
【分析】
根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知
∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE=3∠ODC=72°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．
【详解】
解：∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC ，∠DCE=∠DEC ，
∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC ，
∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=72°，
∴∠ODC=24°，
∵∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=108°，
∴∠CDE=108°-∠ODC=84°．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
5．D
解析：D
【分析】
由AD 为△ABC 的高线，可得∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，Rt △ABE 是等腰直角三角形， 可得
90ABE BAD DAE ∠+∠+∠=︒，从而可判断①；由等腰Rt ABE △可得AE BE =，
结合AD BC =，∠DAE=∠CBE ，可判断②；由△ADE ≌△BCE ，可得,ADE BCE ∠=∠ 再证明∠BDE=∠AFE ，结合EBD DAE ∠=∠，AE BE =， 证明△AEF ≌△BED ，可判断③；由△ADE ≌△BCE ，可得,DE CE = 由△AEF ≌△BED ，,EF DE = 证明,EF CE =从而可判断④．
【详解】
解：∵AD 为△ABC 的高线，
∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，
∵Rt △ABE 是等腰直角三角形，
∴90ABE BAD DAE ∠+∠+∠=︒，
∴∠DAE=∠CBE ，即EBD DAE ∠=∠，故①正确；
∵Rt △ABE 是以AB 为底等腰直角三角形，
∴AE=BE ，
在△ADE 和△BCE 中，
AE BE DAE CBE AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADE ≌△BCE （SAS ）； 故②正确；
△ADE ≌△BCE ，
,ADE BCE ∴∠=∠
∵∠BDE=∠ADB+∠ADE ，∠AFE=∠ADC+∠ECD ，90ADB ADC ∠=∠=︒，
∴∠BDE=∠AFE ，
在△AEF 和△BED 中，
FAE DBE AFE BDE AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AEF ≌△BED （AAS ），
∴AF BD =； 故③正确；
∵△ADE ≌△BCE ，
∴,DE CE =
△AEF ≌△BED ，
,,AEF BED EF DE S
S ∴== ,EF CE ∴=
∴,AEF ACE S
S = ∴ ,BDE ACE S S =故④正确；
综上：正确的有①②③④．
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的中线与高的性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
6．D
解析：D
【分析】
先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD=
12AD ，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】
解：由作图过程可知：AP 平分∠BAC ，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠1=∠2=∠B=30°，
∴CD=12
AD ，AD=BD ， ∴BC=BD+CD=AD+
12AD=32AD ， S △DAC =12AC•C D=14
AC•AD ， ∴S △ABC =
12AC•BC=12AC•32AD=34AC•AD ， ∴S △DAC ：S △ABC =1：3，
故选D ．
【点睛】
本题考查的是作图—基本作图，熟知角平分线的作法和性质，30°的直角三角形的性质是解答此题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
分别做出两三角形的高AD ，A′E ，利用题干的条件证明△ABD ≅△A′B′E 即可得到两三角形的面积相等；
【详解】
分别做出两三角形的高AD ，A′E ，如图：
90B B '+=∵∠∠，90B A E B '''+=∠∠，90BAD B ∠+∠=,
∴∠B=∠B′A′E ，∠B′=∠BAD ，
又AB=A′B′，
∴△ABD ≅△A′B′E ，
同理△ACD ≅△A′C′E ；
∴ABD A B E S
S ''=，ACD A C E S S ''=， 故ABD ACD A B E A C E S S S S ''''+=+，
又ABC ，A B C '''的面积分别为1S 、2S ，
∴12S S
故选：B ．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质及三角形全等的判定及性质：两三角形全等，则对应边对应角相等，面积也相等．
8．C
解析：C
【分析】
易证△ACE ≌△DCB ，可得①正确；即可求得∠AOB ＝120°，可得③错误；再证明
△ACM ≌△DCN ，可得②④正确和CM ＝CN ，即可证明⑤正确；即可解题．
【详解】
解：∵ACD △和BCE 都是等边三角形
∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，
∴∠DCE ＝60°，
在△ACE 和△DCB 中，
AC DC ACE DCB CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACE ≌△DCB （SAS ），
∴∠BDC ＝∠EAC ，DB ＝AE ，①正确；
∠CBD ＝∠AEC ，
∵∠AOB ＝180°−∠OAB−∠DBC ，
∴∠AOB ＝180°−∠AEC−∠OAB ＝120°，③错误；
在△ACM 和△DCN 中，
60BDC EAC DC AC
ACD DCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
， ∴△ACM ≌△DCN （ASA ），
∴AM ＝DN ，④正确；
∠AMC ＝∠DNC ，②正确；
CM ＝CN ，
∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，
∴∠MCN ＝180°-∠ACD-∠BCE =60°，
∴△CMN 是等边三角形，⑤正确；
故有①②④⑤正确．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACE ≌△DCB 和△ACM ≌△DCN 是解题的关键．
9．D
解析：D
【分析】
根据题意画出图形，再利用“上北下南”求出方向角即可．
【详解】
解：如图：
∵海岛N 位于海岛M 的北偏东30°方向上，∴海岛N 在海岛M 上方，故排除A ､B 选项， 根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，排除选项C ，
故选D ．
【点睛】
本题考查了方向角，解题的关键是熟练掌握方向角的概念．
10．A
解析：A
【分析】
根据中垂线的性质可得DA=DB ，设∠A=x ，则∠ABD=x ，结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，列出方程，即可求解．
【详解】
又作图可知：EF 是AB 的垂直平分线，
∴DA=DB ，
∴∠A=∠ABD ，
设∠A=x ，则∠ABD=x ，
∵15DBC ∠=︒，
∴∠ABC=x+15°，
∵AB=AC ，
∴∠C=∠ABC=x+15°，
∴2(x+15°)+x=180°，
∴x=50°，
故选A ．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质，中垂线的性质以及三角形内角和定理，掌握中垂线的性质定理以及方程思想，是解题的关键．
11．C
解析：C
【分析】
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：①是轴对称图形，②不是轴对称图形，③不是轴对称图形，④是轴对称图形． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
12．D
解析：D
【分析】
由三角形的高可在三角形的内部，也可在三角形的外部，所以分锐角三角形和钝角三角形两种情况作出符合题意的图形，再结合等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求解即可．
【详解】
解：如图，分两种情况：
①如图，当三角形的高在三角形的内部时，
AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°，
∴∠A=60°，
∴∠C=∠ABC=1802
A ︒-∠ =60°； ②如图，当三角形的高在三角形的外部时，
AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°， ∴∠DAB=60°，∠BAC=120°，
∴∠C=∠ABC=
180302
BAC ︒-∠=︒． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理的应用，三角形的高的含义，分类讨论的数学思想，掌握分类讨论解决问题是解题的关键． 二、填空题
13．25【分析】设∠ADC ＝α然后根据AC ＝AD ＝DB ∠BAC ＝105°表示出∠B 和∠BAD 的度数最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数进而求得∠B 的度数即可【详解】解：∵AC ＝AD ＝DB ∴∠B ＝
解析：25
【分析】
设∠ADC ＝α，然后根据AC ＝AD ＝DB ，∠BAC ＝105°，表示出∠B 和∠BAD 的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数，进而求得∠B 的度数即可．
【详解】
解：∵AC ＝AD ＝DB ，
∴∠B ＝∠BAD ，∠ADC ＝∠C ，
设∠ADC ＝α，
∴∠B ＝∠BAD ＝
2
α ， ∵∠BAC ＝105°，
∴∠DAC ＝105°﹣2
α， 在△ADC 中， ∵∠ADC +∠C +∠DAC ＝180°，
∴2α+105°﹣
2
α＝180°， 解得：α＝50°，
∴∠B ＝∠BAD ＝2
α＝25°， 故答案为：25．
【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
14．【分析】由条件可证得△ABC ≌△AED 则可求得∠ACB=∠ADEAD=AC 再利用等腰三角形的性质可求得答案【详解】解：
∵∠CAD=∠BAE ∴∠CAD+∠CAE=∠BAE+∠CAE 即∠BAC=∠DAE
解析：67.5
【分析】
由条件可证得△ABC ≌△AED ，则可求得∠ACB=∠ADE ，AD=AC ，再利用等腰三角形的性质可求得答案．
【详解】
解：∵∠CAD=∠BAE ，
∴∠CAD+∠CAE=∠BAE+∠CAE ，
即∠BAC=∠DAE ，
在△ABC 和△AED 中，
B E AB AE
BAC EAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△ABC≌△AED（ASA），
∴AD=AC，∠ACB=∠ADE，
∴∠ACD=∠ADC，
∵∠CAD=45°，
∴∠ADC=67.5°，
∴∠ACB=67.5°，
故答案为：67.5．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
15．72°或18°或108°或36°【分析】分四种情况：①AB＝BP1时②当AB＝AP3时③当AB＝AP2时④当AP4＝BP4时分别讨论根据等腰三角形的性质求出答案即可【详解】∵在Rt△ABC中∠C＝9
解析：72°或18°或108°或36°
【分析】
分四种情况：①AB＝BP1时，②当AB＝AP3时，③当AB＝AP2时，④当AP4＝BP4时，分别讨论，根据等腰三角形的性质求出答案即可．
【详解】
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，
∴当AB＝BP1时，∠BAP1＝∠BP1A＝36°，
当AB＝AP3时，∠ABP3＝∠AP3B＝1
2
∠BAC＝1
2
×36°＝18°，
当AB＝AP4时，∠ABP4＝∠AP4B＝1
2
×（180°−36°）＝72°，
当AP2＝BP2时，∠BAP2＝∠ABP2，
∴∠AP2B＝180°−36°×2＝108°，
∴∠APB的度数为：18°、36°、72°、108°．
故答案为：72°或18°或108°或36°
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解题关键．
16．2：3：4【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C显然有
△AP′C≌△APB连PP′证△AP′P是等边三角形PP′=AP所以△P′CP的三边长分别
为PAPBPC；由∠APB：∠BPC：∠
解析：2：3：4．
【分析】
将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，证△AP′P是等边三角形，PP′=AP，所以△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC；由∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，设∠APB=5xº，∠BPC=6xº，∠CPA=7xº，5x+6x+7x=360，x=20，得到∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，这样可分别求出∠PP′C=40°，∠P′PC=80°，∠PCP′=60°即可．【详解】
如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，
∵AP′=AP，∠P′AP=60°，
∴△AP′P是等边三角形，
∴PP′=AP，
∵P′C=PB，
∴△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC，
∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，
设∠APB=5xº，∠BPC=6xº，∠CPA=7xº，
∴5x+6x+7x=360，
∴18x=360，
∴x=20，
∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，
∴∠PP′C=∠AP′C-∠AP′P=∠APB-∠AP′P=100°-60°=40°，
∠P′PC=∠APC-∠APP′=140°-60°=80°，
∠PCP′=180°-（40°+80°）=60°，
∴∠PP′C：∠PCP′：∠P′PC=40°：60°:80°=2：3：4．
故答案为：2：3：4．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质．利用方程来解角成比例问题，三角形的内角和，用角度的和差计算解决问题．
17．56°【分析】根据AB=AC可证明又因为∠A=44°可求出∠ABC=∠ACB=68°根据利用三角形内角和定理即可求出∠EDF的度数；【详解】解：
∵BE=CFBD=CE∴在和中是等腰三角形；∴∠BDE
解析：56°
【分析】
根据AB=AC 可证明DBE CEF ∆≅∆，又因为∠A=44°，可求出∠ABC=∠ACB=68°，根据DBE CEF ∆≅∆，利用三角形内角和定理即可求出∠EDF 的度数；
【详解】
解：AB AC =，
ABC ACB ∴∠=∠，
∵BE=CF ，BD=CE ，
∴在DBE ∆和CEF ∆中
BE CF ABC ACB BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()DBE CEF SAS ∴∆≅∆，
DE EF ∴=，
DEF ∴∆是等腰三角形；
DBE CEF ∆≅∆，
∴∠BDE=∠CEF ，∠DEB=∠CFE ，
180A B C ∠+∠+∠=︒，∠A=44°，
1(18044)682
B ∴∠=︒-︒=︒ ∴∠BDE+∠DEB=112°
∴∠CEF +∠DEB=112°
180112=68DEF ∴∠=︒-︒︒，
18068562
EDF ︒-︒∴∠==︒． 故答案为：56︒．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的判定和性质的掌握，以及三角形的内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题；
18．或【分析】分情况：当△ABC ≌△ABD 时△ABC ≌△BAD 时利用全等三角形的性质解答即可【详解】分两种情况：当△ABC ≌△ABD 时
AB=ABAD=ACBD=BC ∵点AB 在y 轴上∴△ABC 与△ABD 关
解析：()4,3-或()4,2-
【分析】
分情况：当△ABC ≌△ABD 时，△ABC ≌△BAD 时，利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】
分两种情况：
当△ABC ≌△ABD 时，AB=AB ，AD=AC ，BD=BC ，
∵点A 、B 在y 轴上，
∴△ABC 与△ABD 关于y 轴对称，
∵C （4,3），
∴D （-4,3）；
当△ABC ≌△BAD 时，AB=BA ，AD=BC ，BD=AC ，
作DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，
∴DE=CF=4，∠AED=∠BFC=90︒，
∴△ADE ≌△BCF ，
∴AE=BF=4-3=1，
∴OE=OA+AE=1+1=2，
∴D （-4,2），
故答案为：()4,3-或()4,2-
．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，确定直角坐标系中点的坐标，轴对称的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
19．10°【分析】设∠B ＝∠C ＝x ∠CDE ＝y 分别表示出∠DAE 构建方程解方程即可求解【详解】解：设∠B ＝∠C ＝x ∠EDC ＝y ∵AD ＝AE ∴∠ADE ＝∠AED ＝x ＋y ∵∠DAE ＝180°−2（x ＋y ）＝
解析：10°
【分析】
设∠B ＝∠C ＝x ，∠CDE ＝y ，分别表示出∠DAE ，构建方程解方程即可求解．
【详解】
解：设∠B ＝∠C ＝x ，∠EDC ＝y ，
∵AD ＝AE ，
∴∠ADE ＝∠AED ＝x ＋y ，
∵∠DAE ＝180 °−2（x ＋y ）＝180 °−20 °−2x ，
∴2y ＝20 °，
∴y ＝10 °，
∴∠CDE ＝10 °．
故答案为：10°
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的判定与性质，还涉及三角形内角和等知识点，需要熟练掌握等腰三角形的判定与性质．
20．120°【分析】设∠ABC=根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可得到结论【详解】设∠ABC=∴∵∴∴∴∴∴∴故答案为：120°【点睛】本题考查了三角形内角和定理等腰三角形的性质等知识解题的
解析：120°
【分析】
设∠ABC=x ，根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可得到结论．
【详解】
设∠ABC=x ，
∴180A C x ∠+∠=︒-．
∵AFE AEF ∠=∠，CFD CDF ∠=∠，
∴2180A AFE ∠+∠=︒，2180C CFD ∠+∠=︒，
∴()()22360A C AFE CFD ∠+∠+∠+∠=︒，
∴22180AFE CFD x ∠+∠=︒+， ∴1902AFE CFD x ∠+∠=︒+
， ∴118090302EFD x ⎛⎫∠=︒-︒+
=︒ ⎪⎝⎭
， ∴120x =︒，
故答案为：120°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 三、解答题
21．（1）见解析；（2）CE =1
【分析】
（1）连接PA 、PB ，根据角平分线的性质得到PD=PE ，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PB ，证明Rt △AEP ≌Rt △BDP ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ；
（2）结合图形计算得到答案．
【详解】
（1）连接PA 、PB ，
∵CP 是∠BCE 的平分线，PD ⊥BC ，PE ⊥AC ，
∴PD =PE ，
在Rt △CDP 和Rt △CEP 中，
PD PE PC PC =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △CDP ≌Rt △CEP （HL ）
∴CD =CE ，
∵PQ 是线段AB 的垂直平分线，
∴PA =PB ，
在Rt △AEP 和Rt △BDP 中，
PE PD PA PB =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △AEP ≌Rt △BDP （HL ），
∴AE =BD ；
（2）AC +CE +CD =BD +CD =BC =6， ∴1(64)12CE CD ==
⨯-=． 【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）见解析；（3）
152
【分析】
（1）连接CC′，作CC′的垂直平分线l ，然后分别找A 、B 关于直线l 的对称点A′、B′，连接A′、B′、C′，即可得到A B C '''；
（2）作AC 的垂直平分线找到中点D ，连接BD ，BD 就是所求的中线；从A 点向BC 的延长线作垂线，垂足为点E ，AE 即为BC 边上的高；
（3）根据三角形面积公式即可求出A B C '''的面积．
【详解】
解：（1）如图，A B C '''即为所求；
（2）如图，线段BD 和线段AE 即为所求；
（3）111553222
A B C ABC S S BC AE '''∆∆==
⋅⋅=⨯⨯=． 【点睛】 本题主要考查几何变换作图，作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤：（1）找：在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点等）；（2）作：作各个特殊点关于已知直线的对称点；（3）连：按原图对应连接各对称点．熟练掌握作图步骤是解题的关键． 23．见解析
【分析】
由已知条件证得∠BHC=90°即可得到解答．
【详解】
∵CAP 和CBQ △都是等边三角形；
∴60ACP CBQ ∠=∠=︒，
∵90ACB ∠=︒，
∴30BCP ACB ACP ∠=∠-∠=︒
在BCH 中，18090BHC BCH CBH ∠=︒-∠-∠=︒
∴BQ CP ⊥
【点睛】
本题考查等边三角形和直角三角形的综合运用，熟练掌握等边三角形、直角三角形的性质并灵活运用是解题关键．
24．图见解析；点111,,A B C 的坐标分别为()()–4,3,3,3--，()1,1-
【分析】
先在平面直角坐标系中画出,,A B C 三点，顺次连接即可；再按照轴对称的性质，画出它们的对称点即可．
【详解】
解：如图所示，111,ABC A B C ∆∆，即为所求；
点111,,A B C 的坐标分别为()()–4,3,3,3--，()1,1-
【点睛】
本题考查了在平面直角坐标系中描点和画轴对称图形，关于y 轴对称点的坐标变化规律，解题关键是正确描点和画对称点．
25．（1）AP t =，8BP t =-，2BQ t =；（2）PQ AB ⊥，理由见解析；（3）能，当
t 为83
时，BPQ 为等边三角形 【分析】
（1）根据点P 、Q 的运动速度解答；
（2）连接AC ，得到△ABC 为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一证明； （3）根据等边三角形的判定定理列出方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）AP t =，8BP t =-，2BQ t =
故答案为：t ；8-t ；2t ；
（2）PQ AB ⊥．
理由如下：连接AC
∵AB BC =，60B ∠=，
∴
ABC 是等边三角形．
∵Q 的速度是每秒2cm ，故当Q 与C 重合时，t 4= 又P 的速度是每秒1cm ，=8cm AB ，
∴=4AB BP =
又∵=CA CB ，
∴PQ AB ⊥．
（3）能．
∵60B ∠=，
∴当BP BQ =时，BPQ 为等边三角形，
∴82t t -=． ∴83t =． ∴当t 为
83
时，BPQ 为等边三角形． 【点睛】 本题考查的是等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合
一、等边三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）见解析；（0，5）；（3）（﹣a ﹣4，b ）
【分析】
（1）利用A 、C 点的坐标画出直角坐标系；
（2）利用网格点和对称的性质画出A 、B 、C 关于直线l 的对称点A 1、B 1、C 1即可； （3）先把P 点向右平移2个单位（a+2，b ）（相当于把直线l 右平移2个单位），点（a+2，b ）关于y 轴的对称点为（-a-2，b ），然后把（-a-2，b ）向左平移2个单位，相当于把直线l 向左平移2个单位回到原来位置，于是得到P 1的坐标为（-a-2-2，b ）．
【详解】
解：（1）如图，就是所求作的坐标轴与原点；
（2）如图，△A 1B 1C 1为所作的三角形；
C 1的坐标为：（0，5）；
（3）先把P 点向右平移2个单位（a+2，b ）（相当于把直线l 右平移2个单位），点（a+2，b ）关于y 轴的对称点为（-a-2，b ），然后把（-a-2，b ）向左平移2个单位，相当于把直线l 向左平移2个单位回到原来位置，于是得到P 1的坐标为（-a-2-2，b ）．
∴P1的坐标是（﹣a﹣4，b）．
【点睛】
本题考查了作图——轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，。