湖北省荆州市沙市第五中学人教版高中数学导学案选修2-13-2立体几何中的向量方法(3)

§3.2立体几何中的向量方法（3）
1. 进一步熟练求平面法向量的方法；
2. 掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；
3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.
(),0,1,1,B ()1,1,2C ，试求平面ABC 的一个法向量.
复习2：什么是点到平面的距离？什么是两个平面间距离？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：点到平面的距离的求法
问题：如图A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,已知平面α的一个法向量为n ,且AP 与n 不共线,能否用AP 与n 表示d ?
分析:过P 作PO ⊥α于O , 连结OA ,则
d =|PO |=||cos .PA APO ⋅∠
∵PO ⊥α,,n α⊥
∴PO ∥n .
∴cos ∠APO=|cos ,PA n 〈〉| ∴D. =|PA ||cos ,PA n 〈〉|
=|||||cos ,|||PA n PA n n ⋅⋅〈〉=||||
PA n n ⋅
新知：用向量求点到平面的距离的方法：
设A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,平面α的一个法向量为n ，则
D. =
||||
PA n n ∙
试试：在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，
求点'C 到平面''
A BCD 的距离
.
反思：当点到平面的距离不能直接求出的情况下，可以利用法向量的方法求解.
※ 典型例题
例1 已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离.
变式：如图,ABCD 是矩形,PD ⊥平面ABCD ,PD DC a ==
,AD =,M N 、分别是AD PB 、的中点,求点A 到平面MNC 的距离.
小结：求点到平面的距离的步骤：
⑴ 建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；⑵ 求平面的一个法向量的坐标； ⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；⑷ 代入公式求出距离.
探究任务二：两条异面直线间的距离的求法
例2 如图，两条异面直线,a b 所成的角为θ，在直线,a b 上分别取点',A E 和,A F ,使得'AA a ⊥,且
'AA b ⊥.已知',,A E m AF n EF l ===，求公垂线'AA 的长.
A
P D C B
M N
变式：已知直三棱柱111ABC A B C ─的侧棱14AA =,底面ABC △中, 2AC BC ==，且
90BCA ∠=,E 是AB 的中点,求异面直线CE 与1AB 的距离.
小结：用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公垂线方向的一个向量n ，再在两条直线上分别取一点,A B ，则两条异面直线间距离n AB
d n ∙=求解.
三、总结提升
※ 学习小结
1.空间点到直线的距离公式
2.两条异面直线间的距离公式
※ 知识拓展
用向量法求距离的方法是立体几何中常用的方法.
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，平面''ABB A 的一个法向量为 ；
2. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线'A B 和'CB 所成角是 ；
3. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，两个平行平面间的距离是 ；
4. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线'A B 和'CB 间的距离是 ；
5. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，点O 是底面''''A B C D 中心，则点O 到平面''ACDB
的距离是 .
1. 如图，正方体1111ABCD A B C D 的棱长为1，点M 是棱1AA 中点，点O 是1BD 中点，求证：OM 是异面直线1AA 与1BD 的公垂线，并求OM 的长.
2. 如图，空间四边形OABC 各边以及,AC BO 的长都是1，点,D E 分别是边,OA BC 的中点，连结DE .
⑴ 计算DE 的长；
⑵ 求点O 到平面ABC 的距离.。