谐振式加速度计非线性振动的建模与优化

谐振式加速度计非线性振动的建模与优化
严斌;刘云峰;董景新
【摘要】实验发现硅微谐振式加速度计非线性效应的弱化可以降低测量噪声,对非线性振动进行了推导与建模,利用扫频数据得到模型中的未知参数,并根据模型计算出使非线性效应消失所需的激励电压,给闭环工作点的设计提供了理论指导.实验结果表明:模型与实际系统在各激励电压幅值下均保持一致,非线性效应消失点和实验吻合.根据闭环工作点的设置进行了方案优化,最终在0.25 mV激励电压下的闭环实验中,实现了5.5×10-5 Hz的频率输出噪声,对应加速度噪声为1.7 μg,与之前
30μg的噪声水平相比改善了数十倍.
【期刊名称】《中国惯性技术学报》
【年(卷),期】2015(023)006
【总页数】5页(P775-779)
【关键词】谐振式加速度计;非线性振动;杜芬方程;降低噪声
【作者】严斌;刘云峰;董景新
【作者单位】清华大学精密仪器系精密测试技术及仪器国家重点实验室,北京100084;清华大学精密仪器系精密测试技术及仪器国家重点实验室,北京100084;清华大学精密仪器系精密测试技术及仪器国家重点实验室,北京100084
【正文语种】中文
【中图分类】U666.1
硅微谐振式加速度计利用谐振梁的振动频率变化来表示其敏感的加速度大小，具有高精度、抗干扰、大动态范围的潜力[1]。

国内外多家研究机构均展开了相关研究，取得了较大进展。

目前报道中美国Draper实验室性能最佳，其在2006年研制出零偏稳定性优于1 μg和标度因数稳定性优于1×10-6的谐振式加速度计，验证了其独特优势和发展潜力[2]。

国内南京理工大学在 2013年实现了3.6 μg的零偏稳定性和13.5 μg/√Hz的分辨率[3]。

加速度计要达到高精度的零偏稳定性和分辨率，都离不开极低的输出噪声水平。

谐振式加速度计的标度因数代表输出变化频率与测量加速度的比值，在设计时就已确定。

因此，对于谐振式加速度计来说，频率的输出噪声是极为关键的。

本文通过实验发现谐振梁振动引起的非线性效应明显影响了系统的工作性能，并对其进行了理论推导与建模。

结合模型的仿真和实验发现，降低激励电压幅值可以有效减弱非线性效应，改善闭环后的噪声水平，并且激励电压小于某个底限值后，非线性效应消失，不需要无限降低。

根据计算出的消失点对闭环方案进行优化，最终在0.25 mV激励下，实现了单梁5.5×10-5Hz的频率输出噪声，对应加速度噪声为1.7 μg。

1.1 非线性现象
实验使用的加速度计采用双端音叉结构，为了提高系统品质因数，上下梁对称设计且工作在反向模态，MEMS结构使用带尾管的金属管壳进行真空封装，如图1所示。

通常我们将加速度计简化为二阶系统在频域上进行仿真。

但在闭环实验中发现，通过降低激励电压的幅值，可以提高系统的噪声水平（2013年实验室的噪声水平从65.4 μg降低到约30 μg）[4-5]。

进一步的实验说明，这是由于双端固支梁的硬
弹簧效应引起的非线性已经明显影响了系统的工作特性，限制了精度的提高，如图2。

在参考其他领域的微纳米谐振梁非线性研究之后[6-7]，对谐振式加速度计的非
线性振动问题进行深入的研究就显得更加必要。

1.2 非线性模型的推导和求解
由于双端音叉结构同一侧的上下梁对称振动，只需考虑一根梁的工作状态，赵淑明的工作给出了非线性振梁的物理模型推导以及振幅与频率的关系方程，如式(1)(2)，并定性描述了非线性因素对系统造成的影响[8]。

要定量对非线性因素的影响进行分析，需要得出相位和频率在给定的振幅下的求解方程。

式(1)可以转变为
式中：γ=B/M，k1=Mω，M为谐振梁等效集中质量，B为阻尼系数。

式(3)为振动力学中常见的杜芬方程，由于振梁的非线性项 k3＞0，系统将呈现硬
弹簧效应。

根据振动力学的推导，使用渐进解法，其一阶近似解为Y( t) = A cos （ωt + φ），在稳态情况下的解为
考虑近共振情况(ω0+ω≈2ω0)，容易得出非线性振动时频率和相位的解，如式(5)，其中，等效共振频率ωe=ω0(1+3k3A2/8k1)。

当ω=ωe时，振幅最大，且相位为
1.3 求解方程中参数的计算与实验验证
根据7 mV正弦波激励幅值下的扫频实验数据，利用上面推导的公式，可以估算出阻尼系数 B、品质因数Q和非线性系数k3：
式中：k有效力为激励电路加力有效系数，av为位移到电压的转换系数。

将上述参数代回式(5)中，即可计算出任意幅值下，该加速度计的幅频和相频特性。

2 mV、7 mV、10 mV、14 mV激励时对应的非线性模型的特性曲线如图 3所示。

图4为对应相同激励幅值的实际扫频数据，可以看出，两者十分吻合。

实验说明
模型适用于实际情况，可以使用计算值去推测各不同激励幅值时的系统特性。

可以看到，等效谐振频率会受到振幅大小的影响，同时，谐振峰将向右弯曲，出现了多值共振的情况，产生了非稳态与稳态区域，曲线在临界点会进行跳跃，且由于
正向和反向的跳跃点不同，还呈现出类似于迟滞的现象[7,9]。

同时，随着激励振
幅增大，非线性效应也在增强，在谐振点附近的幅值和相位变化越来越缓慢，如图5所示。

2.1 非线性对相位闭环的影响
系统闭环电路采用自激振荡方案，并使用稳幅环对振动幅值进行控制，如图6所示。

由于非线性的增强，靠近谐振点的相位变化越来越缓慢，进而使得针对相位进行闭环的系统对相位噪声越来越敏感，导致输出频率稳定性下降。

实际环路中，不可避免存在与理想环节出现偏差的延迟，导致闭环不能准确闭在-90°点上，而且由于跳跃现象会导致系统不稳定工作，一般将闭环点选在-90°左侧。

从图3也可以看到，即使是接近-90°的相位点，随着激励振幅增大，其相位斜率
也在变缓。

调整稳幅环的目标电压，并对系统进行闭环实验。

通过闭环实验测得7 mV、10 mV、14 mV 激励下对应的频率输出，取稳定后100个点的数据（1 s采样一次），计算出标准差分别为0.446 mHz、1.69 mHz、3.52 mHz，如图7所示。

可以看到，激励幅值越小，噪声越小，但由于电路方案和信噪比的原因，更低幅值的闭环较为困难。

2.2 非线性效应消失的条件
由上述推导和实验可知，由于非线性因素的存在，对系统精度的提升造成了很大的阻碍，这一是由于跳跃现象的存在，二是由于相位变化的变缓。

那是否存在一个临界点，在激励幅值小于该点时，非线性现象消失呢？对此，下面进行理论推导。

假设非线性消失的临界点是相频幅频曲线的多值对应现象的消失，即相位和幅值都与频率是一一对应的关系，则该推导转变为使得右半段幅频曲线的斜率一直小于0的条件求解。

数学表达如下：
而a=0时是最小值，因此时为最大值。

因此非线性消失的条件为解得：
将各参数代入式(6)，计算出，要使该加速度计的非线性消失，则要求：
使用式(5)画出激励幅值在0.8 mV周围的幅频相频曲线，如图8所示，与式(7)的
结论一致，说明推导结果正确。

从式(7)中可以看出，要想消除非线性效应，需要
保证电路在 0.8 mV时激励信号的信噪比和谐振梁振幅56 nm时电容检测电路的
信噪比，对于乘法器直接输出激励信号的方案来说还是比较困难的，但给之后的改进方向提供了一个终点，为闭环工作点的设计提供了理论基础。

由于之前激励电压直接由乘法器给出，且乘法器噪声较大，在低幅值输出时信噪比过低，无法得到更好的结果。

因此，在乘法器之后加入衰减器。

为了保证表头的输出振幅，激励振幅不变，则闭环电路将自动调整乘法器输出，使其放大对应的倍数，从而提高了信噪比。

衰减倍数设计为16倍。

对于0.25 mV的激励电压，乘法器输出为4 mV，频率输出如图10所示，并每100点去除漂移后计算标准差作为噪声值。

对稳定后的噪声值进行平均，结果约为5.5×10-5Hz，对于该结构单梁的标度因素为33 Hz/g，可计算出加速度测量噪声为1.7 μg。

本文发现硅微谐振式加速度计非线性效应的弱化可以降低测量噪声，对非线性振动进行了推导与建模，利用扫频数据得到模型中的未知参数，并根据模型计算出使非线性效应消失所需的振梁振动幅值和相应的激励电压，给闭环工作点的设计提供了理论指导。

实验验证了模型与实际系统在各激励电压幅值下均保持一致，以及非线性效应消失点和实验吻合。

根据闭环工作点的指导进行了方案优化，最终在0.25 mV激励电
压下的闭环实验中实现了5.5×10-5Hz的频率输出噪声，对应加速度噪声为1.7
μg，与之前30 μg的噪声水平相比提升了数十倍。

【相关文献】
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