高中数学同步教学课件 空间中的平面与空间向量

[解] 因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得 BD＝ 3AD， 从而 BD2＋AD2＝AB2，故 BD⊥AD，以 D 点为坐标原点， 射线 DA，DB，DP 为 x，y，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D-xyz，
则 A(1,0,0)，B(0， 3，0)，P(0,0,1)．
∴A→B＝(－1， 3，0)，P→B＝(0， 3，－1)， 设平面 PAB 的法向量为 n＝(x，y，z)，
∴以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，AP
所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，
则 A(0,0,0)，C(1， 3，0)，D(0， 3，0)，P(0,0,1)，
E0， 23，12，A→E＝0， 23，12，A→C＝(1， 3，0)，
设平面
ACE
的法向量
n·A→E＝ n＝(x，y，z)，则
(3)如果 v 是直线 l 的一个方向向量，n 是平面 α 的一个法向量， 则 n∥v⇔ l⊥α ，n⊥v⇔ l∥α，或 l⊂α ． (4)如果 n1 是平面 α1 的一个法向量，n2 是平面 α2 的一个法向量， 则 n1⊥n2⇔ α1⊥α2 ，n1∥n2⇔α1∥α2 或 α1 与 α2 重合．
2．三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的 一条斜线在 该平面内的 射影垂直，则它也和这条 斜线垂直． (2)三垂线定理的逆定理：如果平面内的 一条直线和这个平面 的 一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 提醒：定理中的已知直线必须是已知平面内的直线．
思考 2：一个平面的法向量与此平面共面的所有向量间有如果直线 l 垂直于平面 α，则直线 l 的任意一个方向向量都是平面 α 的一个法向量． ②如果 n 是平面 α 的一个法向量，则对任意的实数 λ≠0，空间向量 λn 也是平面 α 的一个法向量，且平面 α 的任意两个法向量都平行． ③如果 n 为平面 α 的一个法向量，A 为平面 α 上一个已知的点，则 对于平面 α 上任意一点 B，向量A→B一定与向量 n 垂直，即 n·A→B＝0， 从而可知平面 α 的位置可由 n 和 A 唯一确定．
1.2.2 空间中的平面与空间向量
学习目标
核心素养
1．理解平面的法向量的概念，会 1．通过本节知识的学习，培
求平面的法向量．(重点) 养数学抽象素养．
2．会用平面的法向量证明平行与 2．借助向量法证明有关平行
垂直．(重点) 与垂直问题，提升逻辑推理、
3．理解并会应用三垂线定理及其 数学运算素养．
逆定理证明有关垂直问题．(难点)
【初试身手】
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知直线 l 垂直于平面 α，向量 a 与直线 l 平行，则 a 是平面 α 的一个法向量．( ) (2)若直线 l 是平面 α 外的一条直线，直线 m 垂直于 l 在平面 α 内 的投影，则 l 与 m 垂直．( ) (3)一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．( )
C．垂直
D．不能确定
C [∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面垂直．]
4．设平面 α 的法向量的坐标为(1,2，－2)，平面 β 的法向量的坐标为 (－2，－4，k)，若 α∥β，则 k 等于________． 4 [因为 α∥β，∴两平面的法向量平行，∴－12＝－24＝－k2，∴k＝4．]
23y＋12z＝0，
n·A→C＝x＋ 3y＝0，
取 y＝－ 3，得 n＝(3，－ 3，3)．
∴平面 ACE 的一个法向量为 n＝(3，－ 3，3)．
规律方法 利用待定系数法求法向量的解题步骤
[跟进训练] 1．如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， ∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，PD⊥底面 ABCD，且 PD＝AD， 求平面 PAB 的一个法向量．
n⊥A→B， 则n⊥P→B，
n·A→B＝0， 即n·P→B＝0，
即－3xy＋－z＝3y0＝，0，
因此可取 n＝( 3，1， 3)．
∴平面 PAB 的一个法向量为( 3，1， 3)．
类型二 利用法向量证明空间中的位置关系 [探究问题] 1．平面的法向量有何特点？ [提示] 设向量 n 是平面 α 的一个法向量．则 (1)n 是一个非零向量． (2)向量 n 与平面 α 垂直． (3)平面 α 的法向量有无数多个，它们都与向量 n 平行，方 向相同或相反． (4)给定空间中任意一点 A 和非零向量 n，可确定唯一一个 过点 A 且垂直于向量 n 的平面．
【合作探究】
类型一 求平面的法向量 【例 1】 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点，AB＝AP＝1，AD＝ 3，试 建立恰当的空间直角坐标系，求平面 ACE 的一个法向量．
[解] ∵在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA⊥平面 ABCD，E 为 PD 的中点，AB＝AP＝1，AD＝ 3，
[答案] (1)× (2)× (3)√
[提示] (1)× 不一定．当 a＝0 时，也满足 a∥l，尽管 l 垂 直于平面 α，a 也不是平面 α 的法向量． (2)× 不一定．若直线 m 在平面 α 外，例如 m⊥α，尽管 m 垂直于直线 l 在平面 α 内的投影，也不能得出 m⊥l． (3)√
2．若直线 l 的方向向量为 a＝(1,0,2)，平面 α 的法向量为 u＝(－2,0，－4)，
1．平面的法向量
【新知初探】
(1)如果 α 是空间中的一个平面，n 是空间中的一个非零向量 ，且表示
n 的有向线段所在的直线与平面 α垂直，则称 n 为平面 α 的一个法向量，
此时也称 n 与平面 α 垂直，记作 n⊥α．
思考 1：平面 α 的法向量有多少个？它们之间什么关系？
[提示] 无数个 平行
则( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．l⊂α
D．l 与 α 斜交
B [∵a＝(1,0,2)，u＝－2(1,0,2)＝－2a，∴u 与 a 平行，∴l⊥α．]
3．平面 α 的一个法向量为(1,2,0)，平面 β 的一个法向量为(2，－1,0)，
则平面 α 与平面 β 的位置关系为( )
A．平行
B．相交但不垂直