四川省米易中学2014届高三数学下学期第一次段考试题 文

米易中学2014届高三下学期第一次段考数学〔文〕试题
一、选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．集合A={x|0<x<2}，B={-1，0，1}，如此A ⋂B= 〔 〕 〔A 〕{-1} 〔B 〕{0} 〔C 〕{1} 〔D 〕{0，1}
2．在复平面内，复数2i
i +的对应点位于〔 〕
〔A 〕第一象限 〔B 〕第二象限 〔C 〕 第三象限 〔D 〕第四象限 3．命题p ：1≤∈x cos R x ，有对任意，如此〔 〕
A ．1≥∈⌝x cos R x p ，使：存在
B ．1≥∈⌝x cos R x p ，有：对任意
C ．1>∈⌝x cos R x p ，使：存在
D ．1>∈⌝x cos R x p ，有：对任意
4．为了得到函数R
x x y ∈+=),42sin(π
的图像，只需将函数R x x y ∈=,2sin 图像上所有的点
〔 〕
A ．向左平行移动8π个单位长度
B ．向右平行移动8π
个单位长度 C ．向左平行移动4π个单位长度 D ．向右平行移动4π
个单位长度
5．按照如图的程序框图执行，假设输出结果为15，如此M 处条件为 〔 〕
A ．8k ≥
B ．8k <
C ．16k <
D ．16k ≥
6．一个四棱锥的三视图如下列图，其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形，如此这个几何体的体积是〔 〕
A.12
B.1
C.2
3 D.2
7．函数f(x)＝ln(x ＋1)－2
x 的零点所在的大致区间是( )
A ． (3,4)
B ．(1,2)
C ．(2，e)
D ．(0,1)
8、在满足不等式组
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤-+≥+-00301y y x y x 的平面点集中随机取一点),(00y x M ，设事件A =“002x y <〞，
那么事件A 发生的概率是( ) 41B ．43
C ．31
D ．32
9．在ABC ∆中，90,60,A B ==一椭圆与一双曲线都以,B C 为焦点，且都过,A 它们的离心率分别为12,,e e 如此12e e +的值为( )
A ．3
B
C
．
D ．2
10．对定义域为D 的函数，假设存在距离为d 的两条平行直线11:l y kx m =+和22:l y kx m =+，
使得当x D ∈时，
()12
kx m f x kx m +≤≤+恒成立，如此称函数
()
f x 在x D ∈有一个宽度为
d 的通道.有如下函数：①
()1
f x x =
；②()sin f x x =；③(
)f x =；④()31f x x =+.
其中在
[)1,+∞上通道宽度为1的函数是〔 〕
A.①③
B.②③
C.②④
D.①④
第II 卷〔非选择题〕
填空题〔本大题5个小题，每一小题5分，共25分，只填结果，不要过程〕
11．幂函数)(x f y =的图象过点)
22
,21(,如此)2(log 2f =
12．向量,a b 满足2,3a b ==，237a b +=，如此,a b 的夹角为 .
13.
{}n a 为等比数列，假设1064=+a a ，如此9373712a a a a a a ++的值为
14．在边长为2的正方形ABCD 内部任取一点M ，如此满足
90>∠AMB 的概率为_______. 15．假设函数
()
y f x =在
()0,+∞上的导函数为()f x '，且不等式()()xf x f x '>恒成立，又
常数,a b ，满足0a b >>，如此如下不等式一定成立的是 . ①()()
bf a af b >；②
()()
af a bf b >；③
()()
bf a af b <；④
()()
af a bf b <.
三、解答题：本大题共6小题，总分为75分。

解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。

16．〔本小题总分为12分〕函数3cos 32cos sin 2)(2
-+=x x x x f ，R ∈x ． 〔1〕求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间； 〔2〕在锐角三角形ABC 中，假设1)(=A f ，2=⋅AC AB ，求△ABC 的面积．
17．〔本小题总分为12分〕在等差数列
{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的
各项均为正数，11=b ，公比为q ，且1222=+S b ，
22
b S q =
.
〔1〕求n a 与n b ；
〔2〕设数列{}n c 满足
1
n n c S =
，求{}n c 的前n 项和n T .
18．〔本小题总分为12分〕某英语学习小组共12名同学进展英语听力测试，随机抽取6名同学的测试成绩〔单位：分〕，用茎叶图记录如下，其中茎为十位数，叶为个位数.
〔1〕根据茎叶图计算样本均值；
〔2〕成绩高于样本均值的同学为优秀，根据茎叶图估计该小组12名同学中有几名优秀同学；〔3〕从该小组12名同学中任取2人，求仅有1人是来自随机抽取6人中优秀同学的概率.
19．〔本小题总分为12分〕如图，在底面是正方形的四棱锥P ABCD
-中，PA⊥面ABCD，BD 交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一动点．
〔1〕求证：BD FG
⊥；
〔1〕确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由．
〔3〕如果PA=AB=2，求三棱锥B-CDF的体积
20．〔本小题总分为13分〕椭圆C两焦点坐标分别为1(2,0)
F
,22,0)
F
，一个顶点为(0,1)
A-.
〔Ⅰ〕求椭圆C的标准方程；
〔Ⅱ〕是否存在斜率为
(0)
k k≠的直线l，使直线l与椭圆C交于不同的两点,
M N，满足
AM AN
=
. 假设存在，求出k的取值范围；假设不存在，说明理由.
21．〔本小题总分为14分〕函数
)
(
ln
2
)1
2(
2
1
)
(2R
∈
+
+
-
=x
x
x
a
ax
x
f
．
〔1〕假设曲线
)
(x
f
y=
在x=l和x=3处的切线互相平行，求a的值
〔2〕讨论函数
)
(x
f
y=
的单调区间；
〔3〕设
x
e
x
x
x
g)
2
(
)
(2-
=，假设对任意)2,0(
1
∈
x，均存在)2,0(
2
∈
x，使得)
(
)
(
2
1
x
g
x
f<，
求实数a的取值范围．
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：根据集合交集的定义可知C正确。

考点：集合的运算。

5．D
【解析】
=⨯=→28,15
k S
k S
=⨯=，输出S=15，应当选D. k S
1,0
=⨯=→24,7
==→22,3
k S
考点：程序框图.
7．D 8．B 【解析】
试题分析：不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤-+≥+-00301y y x y x 对应的平面区域如如下图中的阴影图形
h
全部根本事件对应的平面区域为ABC ∆, 事件A =“002x y <〞对应的平面区域为其中位于直线
2y x
=下方的局部,即
BCD
∆,由几何概型知：
()()()1
32142BCD
ABC
CD h
S A S CD P A S S AC AC h ∆∆⋅=
=
===
Ω⋅，应当选B.
考点：1、二元一次不等式〔组〕所表示的平面区域的作法；2、几何概型. 9．C 【解析】略
3
1x =+，函数
()31
f x x =+在
[)1,+∞上增长速度较一次函数快，结合图象可知，不存在距离
为1的两条平行直线1
1:l y kx m =+和22:l y kx m =+，使得当x D ∈时，
()12
kx m f x kx m +≤≤+恒成立，故④中的函数()31
f x x =+不是在
[)1,+∞上通道宽度为1
的函数.应当选A.
考点：1.新定义；2.函数的图象
D
C
B
A
考点：古典概型 . 15．① 【解析】
试题分析：令
()()f x g x x =
，(0,)x ∈+∞.22()()()()
()xf x x f x xf x f x g x x x '''--'∴==，因为
()()
xf x f x '>,所以()0g x '>，即g()x 在(0,)+∞上是增函数.由0a b >>得g()g()a b >，
即()()
f a f b a b >，所以()()bf a af b >.所以①成立，③不成立；再令()()h x xf x =，
(0,)x ∈+∞.所以
()()()()()h x x f x xf x f x xf x ''''=+=+，因为不能确定()h x '是否大于0，所以()h x 单调性不
能确定，即不知道()()h a af a =与()()h b bf b =的大小关系，所以②④不一定成立.因此此题填①.
考点：利用导数研究函数的单调性、导数的运算法如此、利用函数单调性比拟大小
由〔Z ∈k 〕， 〔2分〕
得
12125π
πππ+≤≤-
k x k 〔Z ∈k 〕， 〔2分〕
所以，函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡
+-12,125ππππk k 〔Z ∈k 〕． 〔1分〕
〔2〕由，132sin 2)(=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πA A f ，所以2132sin =
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+πA ， 〔1分〕 因为
20π<
<A ，所以34323πππ<+<A ，所以6532ππ=+A ，从而4π=
A ． 〔2分〕
又2cos ||||=
⋅⋅=⋅A AC AB AC AB ，，所以，2||||=⋅AC AB ， 〔1分〕
所以，△ABC 的面积
22
22221sin ||||21=⨯⨯=⋅⋅⋅=
A AC A
B S ． 〔2分〕
考点：〔1〕三角函数的性质；〔2〕三角形的面积．
〔2〕由〔1〕可知，
()332n n n S +=
， 8分 所以
()
122113331n n c S n n n n ⎛⎫=
==- ⎪++⎝⎭
10分
故
()
21111
121211322313131n n
T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦…13分
考点：1.待定系数法求通项.2.裂项求和.
21．⑴详见解析；⑵当G 为EC 中点时，FG //平面PBD ；〔3〕三棱锥B-CDF 的体积为32
.
【解析】
试题分析：⑴证空间两直线垂直的常用方法是通过线面垂直来证明，此题中，由于直线FG 在平面PAC 内，所以考虑证明BD ⊥平面APC .⑵注意平面PAC 与平面PBD 相交于PE ，而直线
FG 在平面PAC 内，故只需FG PE ∥即可，而这又只需G 为EC 中点即可.〔3〕求三棱锥B-CDF
的体积中转化为求三棱锥F －BCD 的体积，这样底面面积与高都很易求得. 试题解析：⑴∵PA ⊥面ABCD ，四边形ABCD 是正方形， 其对角线BD 、AC 交于点E ， ∴PA BD ⊥，AC BD ⊥．2分 ∴BD ⊥平面APC ，3分 ∵FG ⊂平面PAC ， ∴BD FG ⊥ 4分
⑵当G 为EC 中点，即34AG AC =
时，FG ∥/平面PBD ，5分
理由如下：
连结PE ，由F 为PC 中点，G 为EC 中点，知FG PE ∥6分 而FG ⊄平面PBD ，PB ⊂平面PBD ， 故FG //平面PBD ．8分
〔3〕三棱锥B-CDF 的体积为
112221323B CDF F BCD V V --==⨯⨯⨯⨯=
.12分 考点：1、空间直线与平面的关系；2、三棱锥的体积
.
B
〔Ⅱ〕连结PD，
PA=PB，
∴ PD ⊥ AB． 4分
DE BC，BC ⊥ AB，
//
DE⊥ AB． 5分
=，
又 PD DE D
∴AB⊥平面PDE 6分
PE平面PDE，
AB⊥PE ． 7分
〔Ⅲ〕 平面PAB⊥平面ABC，平面PAB 平面ABC=AB，PD ⊥ AB，PD⊥平面ABC．8分
如图，以D为原点建立空间直角坐标系
由图知，
121212
||1cos cos ,2
n n n n n n θ⋅=<>=
=
⋅，所以60,θ=︒即二面角的A PB E --大小为
60︒．12分
考点：1.直线与平面平行；2.直线与平面垂直的判定与性质；3.平面的二面角.
23．〔1〕23；〔2〕4；〔3〕3310
.
【解析】
试题分析：〔1〕依题意，这6个同学的将成绩从小到大依次为18,19,21,22,28,30，根据公式如
果有n 个数
123,,,n x x x x ⋅⋅⋅那么这n 个数的平均数
123n
x x x x x n +++⋅⋅⋅+=
求出样本均值；〔2〕
由于这6个同学的成绩高于样本均值的有2名，故估计该小组12名同学中优秀的人数为
2
1246⨯
=名；〔3〕从该小组12名同学中,任取2人有
2
1266C =种方法,而恰有1名优秀同学有11
10220C C = 种方法，
根据古典概型共是可求得仅有1人是来自随机抽取6人中优秀同学的概率.
试题解析：(1)由题意可知,样本均值181921222830
23
6x +++++=
= 4分
(2)
样本中成绩高于样本均值的同学共有2名,
∴可以估计该小组12名同学中优秀同学的人数为:
2
1246⨯
= 8分
(3)
从该小组12名同学中,任取2人有
2
1266
C =种方法,
而恰有1名优秀同学有
1110220C C = ∴所求的概率为:
111022
1220106633C C P C === 12分 考点：样本均值的求法，排列组合，古典概型. 24．ξ的分布列是
5.2)9(9)3(3)0(0==⨯+=⨯+=⨯=ξξξξP P P E
获得奖金期望值的大小与答题顺序无关． 【解析】
解：〔1〕按先A 后B 的次序答题，获得奖金数ξ的可能值是9,3,0．
21
211)0(=-
==ξP
31)311(21)3(=-=
=ξP ，613121)9(=⨯==ξP 。

所以ξ的分布列是
5.2)9(9)3(3)0(0==⨯+=⨯+=⨯=ξξξξP P P E
〔2〕按先B 后A 的次序答题，获得奖金数额η的可取值为9,6,0．
所以，
32311)0(=-
==ηP ，61)211(31)6(=-==ηP ，612131)9(=⨯==ηP
5.2)9(9)6(6)0(0==⨯+=⨯+=⨯=ηηηηP P P E
由于按先A 后B 或先B 后A 的 次序答题，获得奖金期望值的大小相等． 故获得奖金期望值的大小与答题顺序无关．
25．〔Ⅰ〕2
21
3x y +=；〔Ⅱ〕存在，(1,0)(0,1)k ∈-
【解析】
设直线l 的方程为y kx m =+，如此
由得
222(31)6330k x kmx m +++-= 因为2222364(31)(33)0k m k m ∆=-+->得
22310k m -+>① 设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 中点为00(,)P x y ，如此
1222
1226313331km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ 于是000
223,3131km m
x y kx m k k =-
=+=++
因为
AM AN
=，所以AP MN ⊥.
假设0m =，如此直线l 过原点，(0,0)P ，不合题意.
假设0m ≠，由0k ≠得，001
1
y k x +=-，整理得2231m k =+②
由①②知，2
1k <， 所以11k -<<
又0k ≠，所以(1,0)(0,1)k ∈-. 14分
考点：〔1〕椭圆的定义与简单几何性质〔2〕直线与圆锥曲线的位置关系的问题
26．〔1〕单调递增区间为30 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()2 +∞，，单调递减区间为3 22
⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 〔2〕ln 21a >-. 【解析】
试题分析：〔1〕首先依题意求得
2
3a =
，确定函数的解析式，
进一步求导数：272(23)(2)()333x x f x x x x --'=
-+=，求驻点，分区间讨论导数值的正负，确
定得到单调区间.
〔2〕将问题加以转化：假设要命题成立，只须当[]
0,2x ∈时，
max max ()()f x g x <.
由
()()22e x
g x x '=-可知， 当
(]
0,2x ∈时
max ()(0)(2)0g x g g ===,
所以只须
max ()0f x <.
问题进一步转化成确定()f x 的最大值，注意到
2(1)(2)
()(21)ax x f x ax a x x --'=-++
=，
分
12a >
时，1a ≥时，112a <<时，
1
2a ≤
时，分别讨论. 试题解析：〔1〕
21
()(21),(1)1,(3)3f x ax a f a f a x '''=-++=-+=-
， 由(1)(3)f f ''=得
23a =
，272(23)(2)
()333x x f x x x x --'=-+= 3分
所以()y f x =：单调递增区间为30 2⎛⎫
⎪⎝⎭，，()2 +∞，， 单调递减区间为3 22
⎛⎫
⎪⎝⎭，
. 6分 〔2〕假设要命题成立，只须当[]
0,2x ∈时，max max ()()f x g x <. 由
()()22e x
g x x '=-可知， 当
(]
0,2x ∈时
max ()(0)(2)0
g x g g ===,
所以只须
max ()0
f x <. 8分
对()f x 来说，
2(1)(2)
()(21)ax x f x ax a x x --'=-++
=，
①当
12a >
时，max 11
()()2ln 22f x f a a a ==---
当1a ≥时，显然
max ()0f x <，满足题意，
当11
2a <<时，令
()112ln 2122h x x x x ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭， ()221
02h x x x '=-+<，所以()h x 递减，所以()0h x <，满足题意，
所以
1
2a >
满足题意； 10分
②当
1
2a ≤
时，()f x 在(]0,2x ∈上单调递增，
所以
max ()(2)2ln 222f x f a ==--0<得
1
ln 212a -<≤
， 12分
综上所述，ln 21a >-. 13分
考点：导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性、最值.。