2019高考数学二轮复习三、大题分层,规范特训(一)基础得分,天天练规范练2理

亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……
规范练(二)
(时间：45分钟 满分：46分)
1．(12分)设函数f (x )＝sin x (3cos x ＋sin x )－1
2.
(1)求函数f (x )的递增区间；
(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若f (B )＝1，b ＝2，且b (2－cos A )＝a (cos B ＋1)，求△ABC 的面积．
[规范解答及评分标准] (1)函数f (x )＝sin x (3cos x ＋sin x )－12＝3
2sin2x ＋
1－cos2x 2－12＝32sin2x －12cos2x ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6.(3分)
由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π6≤x ≤k π＋π
3(k ∈Z )．
所以函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(6分)
(2)因为f (B )＝1，即sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2B －π6＝1， 所以2B －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，所以B ＝k π＋π
3(k ∈Z )．
因为B 是三角形的内角，所以B ＝π
3.(8分)
又因为b (2－cos A )＝a (cos B ＋1)，
所以由正弦定理，得sin B (2－cos A )＝sin A (cos B ＋1)，
所以2sin B ＝sin A ＋sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋sin C ，所以2b ＝a ＋c .
因为b ＝2，B ＝π3，所以由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2
－ac ，
所以b 2
＝(a ＋c )2
－3ac ，所以ac ＝b 2
＝4.(10分) 所以S ＝12ac sin B ＝12×4×sin π3＝2×3
2＝ 3.
故△ABC 的面积为 3.(12分)
2．(12分)某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东、西部各5个城市，得到观看该节目的人数的统计数据(单位：千人)，并画出如下茎叶图，其中一个数字被污损．
(1)求东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众的平均人数的概率；
(2)该节目的播出极大地激发了观众对成语知识学习积累的热情，现从观看节目的观众中随机统计了4位观众学习成语知识的周均时间(单位：小时)与年龄(单位：岁)，并制作了如下对照表：
根据表中数据，试求线性回归方程y ＝b x ＋a ，并预测年龄为50岁的观众周均学习成语知识的时间．
参考公式：b ^
＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x － y
－
∑i ＝1
n
x 2
i －n x －
2
，a ^＝y －－b ^x －
. [规范解答及评分标准] (1)设被污损的数字为a ，则a 有10种情况． 由88＋89＋90＋91＋92>83＋83＋87＋90＋a ＋99，得a <8，(2分)
∴有8种情况使得东部各城市观看该节目的观众的平均人数超过西部各城市观看该节目的观众的平均人数，
所求概率为810＝4
5
.(4分)
(2)由表中数据，计算得x －＝35，y －
＝3.5，(6分)
b ^
＝
∑i ＝1
4
x i y i －4x － y
－
∑i ＝1
4
x 2
i －4x －
2
＝525－4×35×3.55400－4×352
＝7100
， a ^
＝y －－b ^x －
＝3.5－
7100×35＝21
20
.(8分)
∴y ^＝7
100x ＋2120.(10分)
当x ＝50时，y ^
＝4.55.
即预测年龄为50岁的观众周均学习成语知识的时间为4.55小时．(12分)
3．(12分)在如图所示的多面体中，四边形ABCD 是平行四边形，四边形BDEF 是矩形，
DE ⊥平面ABCD ，∠ABD ＝π6
，AB ＝2AD .
(1)求证：平面BDEF ⊥平面ADE ；
(2)若ED ＝BD ，求AF 与平面AEC 所成角的正弦值．
[规范解答及评分标准] (1)证明：在△ABD 中，∠ABD ＝π
6
，AB ＝2AD ，
由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD
sin ∠ABD ，∴sin ∠ADB ＝
AB ·sin
π6
AD
＝1，
∴∠ADB ＝π
2
，即BD ⊥AD .(2分)
∵DE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥BD .(4分) 又AD ∩DE ＝D ，∴BD ⊥平面ADE .
∵BD ⊂平面BDEF ，∴平面BDEF ⊥平面ADE .(6分)
(2)由(1)可知，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝π
3，BD ＝3AD .
设AD ＝1，则BD ＝ED ＝ 3.
以D 为坐标原点，DA ，DB ，DE 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则A (1,0,0)，C (－1，3，0)，E (0,0，3)，F (0，3，3)，∴AE →
＝(－1,0，3)，AC →
＝(－2，3，0)，AF →
＝(－1，3，3)．(8分)
设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·AE →＝0，
n ·AC →＝0，
得⎩⎨
⎧
－x ＋3z ＝0，
－2x ＋3y ＝0.
令z ＝1，则x ＝3，y ＝2.
∴平面AEC 的一个法向量为n ＝(3，2,1)．(9分) ∴|cos 〈n ，AF →
〉|＝|n ·AF →||n |·|AF →|＝4214.(11分)
∴直线AF 与平面AEC 所成角的正弦值为
42
14
.(12分) 选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．
4．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝t ，
y ＝2t (t 为参数)．以坐标原点为极点，
x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＋2ρsin θ－3＝0.
(1)求直线l 的极坐标方程；
(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |的值．
[规范解答及评分标准] (1)由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝t ，
y ＝2t ，消去t 得y ＝2x .
把⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝2x ，得ρsin θ＝2ρcos θ，
∴直线l 的极坐标方程为sin θ＝2cos θ.(5分) (2)∵ρ2
＝x 2
＋y 2
，y ＝ρsin θ，
∴曲线C 的方程可化为x 2
＋y 2
＋2y －3＝0，即x 2
＋(y ＋1)2
＝4. ∴圆C 的圆心C (0，－1)到直线l 的距离d ＝5
5
. ∴|AB |＝24－d 2＝2955.(10分)
5．[选修4－5：不等式选讲](10分) 已知函数f (x )＝|ax －1|－(a －2)x . (1)当a ＝3时，求不等式f (x )>0的解集；
(2)若函数f (x )的图象与x 轴没有交点，求实数a 的取值范围．
[规范解答及评分标准] (1)当a ＝3时，不等式可化为|3x －1|－x >0，即|3x －1|>x ， ∴3x －1<－x 或3x －1>x ， 解得x <14或x >1
2
.(4分)
(2)当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x －1，x ≥1
a
，－a x ＋1，x <1
a
，
要使函数f (x )的图象与x 轴没有交点，只需⎩
⎪⎨⎪⎧ 2a
－1>0，
－a ，
即1≤a <2.
当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1，函数f (x )的图象与x 轴有交点．
当a <0时，f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪
⎧
2x －1，x ≤1a
，
－a
x ＋1，x >1
a
.
要使函数f (x )的图象与x 轴没有交点，只需⎩
⎪⎨⎪⎧
2a
－1<0，
－a ，
此时a 无解．
综上所述，当1≤a <2时，函数f (x )的图象与x 轴没有交点．(10分)“。