20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题10.3 直线与圆的综合运用(原卷版)

直线与圆的综合运用
【套路秘籍】---千里之行始于足下
(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d<r相交；d＝r相切；d>r相离.
(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0相交；Δ＝0相切；Δ<0相离.
【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始
考向一直线与圆的位置关系
【例1】（1）4．圆(x−1)2+(y+2)2=6与直线2x+y−5=0的位置关系是（）
A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．相交过圆心 D．相离
（2）在△ABC中，若a sin A＋b sin B－c sin C＝0，则圆C：x2＋y2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0的位置关系是________．
（3）若直线3x＋4y－m＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0始终有公共点，则实数m的取值范围是________．
【举一反三】
1．若直线2x +y −2=0与圆(x -1)2+(y −a)2=1相切，则a =______．
2．若曲线y =√1−x 2与直线y =x +b 始终有公共点，则实数b 的取值范围是（ ） A ．[−1,√2] B ．[−1,√2) C ．[−√2,√2] D ．[1,√2]
3．已知圆C 过点P (2,1)，圆心为C (5,−3)． （1）求圆C 的标准方程；
（2）如果过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C 没有公共点，求实数k 的取值范围．
【套路总结】
直线与圆位置关系（或交点个数）的解题思路
（1）把圆化成圆的标准方程222
00()()x x y y r -+-=找出圆心()00,x y 和半径r
（2）利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离002
2
Ax By C
d A B
++=
+
（3）d 与r 比较大小d r d r d r >⎧⎪
=⎨⎪<⎩
相离，没有交点相切，一个交点相交，两个交点
考向二 直线与圆的弦长
【例2】（1）直线x ＋3y －2＝0与圆x 2
＋y 2
＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________． （2）已知直线mx +y −3=0与圆O:x 2+y 2=3交于A,B 两点（O 为坐标原点），且|AB |=√3，则m = 。

【举一反三】
1．圆C ：x 2+y 2−2x =0被直线y =√3x 截得的线段长为（ ） A ．2 B ．√3 C ．1 D ．√2
2.圆C ：x 2+y 2−2x =0被直线y =x 截得的线段长为（ ） A ．2 B ．√3 C ．1 D ．√2
3．直线(m +1)x −my +3m +2=0被圆C:x 2+y 2=16所截的弦长的最小值为（ ） A ．2√5
B ．6
C ．2√11
D ．8
【套路总结】
直线与圆弦长解题思路---垂定定理
（1）把圆化成圆的标准方程222
00()()x x y y r -+-=找出圆心()00,x y 和半径r
（2）利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离002
2
Ax By C
d A B
++=
+
（3）利用弦长公式22
2l r d =-
考向三切线问题
【例3】已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程．
(1)与直线l1：x＋y－4＝0平行；
(2)与直线l2：x－2y＋4＝0垂直；
(3)过切点A(4，－1)．
【举一反三】
1. 已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是________．
2．已知圆的方程为x2+y2=1，则在y轴上截距为√2的圆的切线方程为（）
A．y=x+√2B．y=−x+√2
C．y=x+√2或y=−x+√2D．x=1或y=x+√2
3．已知圆：x2+(y−1)2=2，则过点（1，2）作该圆的切线方程为（）
A．x+4y-4=0 B．2x+y-5=0 C．x=2 D．x+y-3=0
考向四圆上的点到直线距离最值
【例4】圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－8＝0的最大距离与最小距离的差是________．
【举一反三】
1．设A 为圆x 2+y 2−4x −4y −10=0上一动点，则A 到直线x +y −14=0的最大距离为________________．
1．“33
k =
”是“直线)2(:+=x k y l 与圆22
1x y +=相切”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
2．直线xcosθ+ysinθ=1与圆(x −1)2+(y −1)2=9的位置关系是（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．不能确定
3．若直线y =√33
x +2与圆C:x 2+y 2=4相交于A,B 两点，则线段AB 中点的坐标为
A ．(−
√32,32
) B ．(−
√3
2,−32
) C ．(√32,3
2)
D ．(√32,−3
2)
4．直线l 与双曲线2
2
12y x -=交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆C 的方程为
22240x y x y m ++++=，则m =（ ）
【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行
【套路总结】
圆上的点到直接距离最值的解题思路
（1）把圆化成圆的标准方程222
00()()x x y y r -+-=找出圆心()00,x y 和半径r
（2）利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离002
2
Ax By C
d A B
++=
+
（3）判断位置关系max min max min max min 200d d r
d r d d r d d r r d r d d d r d r d ⎧=+⎧>⎨⎪=-⎩⎪
⎪=+=⎧⎪
=⎨⎨
=⎩⎪
⎪=+⎧⎪<⎨=⎪⎩⎩
相离，
相切，相交，
A．-3 B．3 C．522
D．2
2
5．已知直线l:x−√3y=0与圆C:x2+(y−1)2=1相交于O,A两点，O为坐标原点，则ΔCOA的面积为（）
A．√3
4B．√3
2
C．√3D．2√3
6．已知圆C:(x−3)2+(y−1)2=3及直线l:ax+y−2a−2=0，当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为________.
7．已知直线l:ax+by−3＝0与圆M：x2+y2+4x−1＝0相切于点P（−1，2），则直线l的方程为_____．
8．圆x2+y2=4与直线x+y−2=0相交于A，B两点，则弦|AB|=_______．
9．已知直线l与圆x2+y2−4y=0相交于A，B两点，且线段AB的中点P坐标为(−1,1)，则直线l的方程为________.
10. 若圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心C到直线l的距离为2，且l与直线3x＋4y－1＝0平行，则直线l的方程为________________．
11．已知直线l1过点P(3,0)，直线l1与l2关于x轴对称，且l2过圆C：x2+y2−2x−2y+1=0的圆心，则圆心C到直线l1的距离为__________．
12．过原点作圆x2+(y−6)2=9的两条切线，则两条切线所成的锐角_________.
13.过点(1，1)的直线l与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，当|AB|＝4时，直线l的方程为________.
14.在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝kx被圆x2＋y2－2mx－23my＋3m2－1＝0截得的弦长是
定值(与实数m 无关)，则实数k 的值为________．
15.已知圆O ：x 2
＋y 2
＝1，若直线y ＝kx ＋2上总存在点P ，使得过点P 的圆O 的两条切线互相垂直，则实数k 的最小值为________．
16在平面直角坐标系xOy 中，若过点P (－2,0)的直线与圆x 2
＋y 2
＝1相切于点T ，与圆(x －a )2
＋(y －3)2
＝3相交于点R ，S ，且PT ＝RS ，则正数a 的值为________．
17.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2
＋y 2
＝2，直线x ＋by －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|OA →＋OB →|≥3|OA →－OB →
|，则b 的取值范围是________________．
18．已知圆C 的方程为x 2
＋y 2
＝1，直线l 的方程为x ＋y ＝2，过圆C 上任意一点P 作与l 夹角为45°的直线交l 于点A ，则PA 的最小值为________．
19. 已知直线l ：kx －y －2k ＝0，圆C ：x 2
＋y 2
－2x －2y －2＝0. (1)求证：无论k 取何值，直线l 与圆C 都有两个交点； (2)若k ＝1，求直线l 被圆C 截得的弦长；
(3)是否存在实数k ，使以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点？若存在，求出实数k 的值；若不存在，请说明理由．
20．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.
(1)若点P运动到(1,3)处，求此时切线l的方程；
(2)求满足条件PM＝PO的点P的轨迹方程．
21．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
22．已知圆C:(x−3)2+(y−4)2=4，直线l1过定点A(1,0)．
（1）若l1与圆C相切，求l1的方程；
（2）若l1的倾斜角为π
，l1与圆C相交于P,Q两点，求线段PQ的中点M的坐标；
4
（3）若l1与圆C相交于P,Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时l1的直线方程
23．已知⊙C：x2+y2+Dx+Ey−12=0关于直线x+2y−4=0对称，且圆心在y轴上. （1）求⊙C的标准方程；
（2）已经动点M在直线y=10上，过点M引⊙C的两条切线MA、MB，切点分别为A,B.
①记四边形MACB的面积为S，求S的最小值；
②证明直线AB恒过定点.
24．已知圆C:x2+y2+2x−4y+1=0.
（1）若过点(1,1)的直线l被圆C截得的弦长为2√3，求直线l的方程；
（2）已知点P（x，y)为圆上的点，求z=√(x−2)2+(y+2)2的取值范围．
25．如图，圆M:(x−2)2+y2=1，点P(−1,t)为直线l:x=−1上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A、B．
（1）若t=1，求切线所在直线方程；
（2）求|AB|的最小值；
（3）若两条切线PA,PB与y轴分别交于S、T两点，求|ST|的最小值．
26．已知圆C:x2+y2−2x−4y−12=0和点A(3,0)，直线l过点A与圆交于P,Q两点．
(1)若以PQ为直径的圆的面积最大，求直线l的方程；
(2)若以PQ为直径的圆过原点，求直线l的方程．
27．已知圆O：x2+y2=2，直线．l：y=kx-2．
（1）若直线l与圆O相切，求k的值；
（2）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB为锐角时，求k的取值范围；
，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点为C，D，探究：直线（3）若k=1
2
CD是否过定点．。