江西省吉安市吉水县第二中学2020届高三数学上学期11月月考试题理

江西省吉安市吉水县第二中学2020届高三数学上学期11月月考试题
理
一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.设集合{}0,2,4,6,8,10A ={}4,8B =，则
B=( ) A.{}4,8
B.{}0,2,6
C.{}0,2,6,10
D.{}0,2,4,6,8,10
2.设函数()21,12,1x x f x x x
⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则()()3f f =( ) A.15 B.3 C.23 D.139
3..已知()()f x g x ，分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则(1)(1)f g +=( )
A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．3
4.已知()()314,1{log ,1
a a x a x f x x x -+<=≥是(),-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是( ) A. ()0,1 B. 10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 11[,)73 D.
1,17⎛⎫ ⎪⎝⎭
5.执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( )
A.2
B.4
C.8
D.16
6.设,R a b ∈,则“()20a b a -⋅<”是“a b <”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.甲、乙、丙三名同学选修课程,在4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有( )
A.36种
B.48种
C.96种
D.192种
8.为了得到函数π
sin(2)3y x =-的图象,只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )
A.向左平移π
3个单位长度 B.向右平移π
3个单位长度
C.向左平移π6个单位长度
D.向右平移π
6个单位长度
9.已知向量(1,2),(2,4),5a b c ==--=,若5
()2a b c +⋅=,则a 与c 的夹角为()
A.30︒
B.60︒
C.120︒
D.150︒
10.已知函数()f x 的导函数为'()f x ,且满足()2'(1)ln f x xf x =+,则'(1)f =( )
A.e -
B.-1
C.1
D.e
11.设0.32a =、20.3b =、2log 0.3c =则,,a b c 的大小关系为( )
A. a b c <<
B. b a c <<
C. c a b <<
D. c b a <<
12.设变量,x y 满足约束条件3
11
x y x y y +≤
-≥-≥⎧⎪⎨⎪⎩,则目标函数42z x y =+的最大值为( )
A.12
B.10
C.8
D.2
二、填空题
13.若函数()1
21x f x a =-+为奇函数,则实数a =__________
14.已知,R,i a b ∈是虚数单位,若(1i)(1i)b a +-=,则a
b 的值为__________.
15定积分 .
16.已知两个正数,x y 满足4x y +=,则使不等式
14m x y
+≥恒成立的实数m 的范围是__________
三、解答题 17.（10分）已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-．
(1)若A B A =，求实数m 的取值范围；
(2)当Z x ∈时，求A 的非空真子集的个数；
18.（12分）设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知2sin a b A =.
(1)求B 的大小;
(1)若a =5c =,求b 的值.
19. （12分）某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有编号分别为1,2,3,4,5的五个小球.小球除编号不同外，其余均相同.活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽到的小球编号为3，则获得奖金100元；若抽到的小球编号为偶数，则获得奖金50元；若抽到其余编号的小球，则不中奖.现某顾客依次有放回的抽奖两次.
1.求该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率；
2.求该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率.
20. （12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知233n n S =+.
1.求数列{}n a 的通项公式;
2.若数列{}n b 满足3log n n n a b a =,求数列{}n b 的前n 项和n T .
21. （12分）设函数()b f x ax x
=-,曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=. (1)求()f x 的解析式;
(2)证明:曲线()y f x =上任意一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值,并求此定值.
22. （12分）已知函数()()
24log 23f x ax x =++. (1)若()11f =,求()f x 的单调区间;
(2)是否存在实数a ,使()f x 的最小值为0?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.
参考答案
一、选择题
1.答案：C 解析：由补集定义知
B={}0,2,6,10,故选C.
2.答案：D
解析：由题意得()233f =，从而()()2221331339f f f ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 3.答案：C
解析：∵()()32+1f x g x x x -=+,∴()()321f x g x x x ---=-++.又()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()321f x g x x x +=-++，∴()()1+11f g =.
4.答案：C
解析：
∵()()log 1a f x x x =≥是减函数,
∴01a << 且()10f =.
∵()()()f 3141x a x a x =-+<为减函数,
∴310a -<,∴13
a < 又∵()()314,1{log ,1
a a x a x f x x x -+<=≥是(),-∞+∞上的减函数, ∴()31140a a -⨯+≥,∴17
a ≥
∴11[,)73a ∈ 5.答案：C
解析：0,1k S ==;
循环
1122,2S k =⋅==;
循环
2228,3S k =⋅==; 停止,输出8S =,所以答案为C.
6.答案：A
解析：若()20a b a -⋅<,则0a ≠,且a b <,所以充分性成立;若a b <,则0a b -<,当0a =时, ()20a b a -⋅=,所以必要性不成立.故“()20a b a -⋅<”是“a b <”的充分而不必要条件.
7.答案：C
解析：甲选修2门,有246C =种选法,乙、丙各选修3门,各有344C =种选法,由分步乘法计数
原理得,共有64496⨯⨯=种选法.
8.答案：D 解析：因为ππsin(2)sin[2()]36
y x x =-=-,所以只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点向右平移π6
个单位长度即可.故选D. 9.答案：C 解析：依题意，得(1,2),5a b a +=--=.
设(,),c x y a =与c 的夹角为θ，而5()2
a b c +⋅=
， 所以522x y +=-.又2a c x y ⋅=+， 所以512cos 525a c a c θ-
⋅====-⨯⋅. 所以a 与c 的夹角为120︒.
10.答案：B
解析：1'()2'(1)f x f x =+
,令1x =,得'(1)2'(1)1f f =+,解得'(1)1f =-,故选B. 11.答案：D
解析：∵0.302
21a =>=,200.30.31b =<=,22log 0.3log 10c =<=,∴ .a b c >> 12.答案：B
解析：画出可域如图中阴影部分所示,目标函数42z x y =+可转化为22
z y x =-+,
作出直线2y x =-并平移,显然当其过点A 时纵截距最大.解
方程组31x y y +=⎧⎨=⎩
得()2,1A ﹣,∴10max z =. 二、填空题
13.答案：
12 解析：
因为函数()f x 是奇函数,所以()00,f = 即01021a -=+,解得12
a = 答案:
12 14.答案：2
解析：因为(1i)(1i)1(1)i b b b a +-=++-=.又,R a b ∈,所以1b a +=且10b -=,得2,1a b ==,所以2a b
=.
答案：
解析： 本题考查有关多项式函数,三角函数定积分的应用.
.
16.答案：94
m ≤ 解析：由题意知两个正数,x y 满足4x y +=, 则14559 144444
x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+=, 当4y x x y =时取等号;∴14x y +的最小值是94,
∵不等式14m x y +≥恒成立,∴94
m ≤. 故答案为: 94m ≤
. 三、解答题
17.答案：(1)因为A B A =，所以B A ⊆，当B =∅时，121m m +>-，则2m <；
当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得21112215m m m m -≥+⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩
，解得23m ≤≤. 综上可得，实数m 的取值范围是(],3-∞．
(2)当Z x ∈时，{}{}252,1,0,1,2,3,4,5A x x =-≤≤=--，共有8个元素，所以A 的非空真子集的个数为822254-=.
(3) 当B =∅时，由(1)题知2m <；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得211212m m m -≥+⎧⎨-≤-⎩，或21115m m m -≥+⎧⎨+>⎩
，解得4m >. 综上可得，实数m 的取值范围是()
(),24,-∞+∞． 解析：
18.答案：(1)根据正弦定理,得:
sin 2sin sin A B A =⋅,
∵sin0
A≠,∴
1 sin
2
B=.
∴ABC
△为锐角三角形,∴
π
6
B=.
(2)根据余弦定理,得:
2222cos2725257
b a
c ac B
=+-=+-⨯=,
∴b
解析：
19.答案：1.由题意得，该顾客有放回的抽奖两次的所有可能结果为：
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)
共有25种情况．
设“该顾客两次抽奖后都没有中奖”为事件A，则事件A包含的结果为(1,1),(1,5),(5,1),(5,5)，共4种，
所以
4 ()
25 P A=．
即该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率为4 25
．
2.两次抽奖奖金之和为100元包括三种情况：
①第一次奖金为100元，第二次没有获奖，其包含的情况为(3,1),(3,5)，概率为12 25
P=；
②第一次没中奖，第二次奖金为100元，其包含的情况为(1,3),(5,3)，概率为22 25
P=；
③两次各获奖金50元，包含的情况有(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)，概率为34 25
P=．
由互斥事件有一个发生的概率公式可得所求概率为1238
25P P P P =++=， 即该顾客两次抽奖后获得奖金之和为元的概率为8
25．
解析：
20.答案：1.由233n
n S =+,得()111
3332a S ==+=,
()()()1
1
11133333222n n n n n n a S S n ---=-=+-+=≥.
而11133a -=≠,则13,1
{3,1n n n a n -==>
2.由3log n n n a b a =及13,1
{3,1n n n
a n -==>. 可得311
,1
log 3
{
1,1
3n n n n n a b n a n -===->,
2311
1
231
...33333n n n T --=+++++①
223411
112321
...3333333n n n n n T ---=++++++②
①-②得
22312
1
1
11111
...33333333n n n n T --=+-++++-
22311111111
...3333333n n n --⎛⎫=-+++++- ⎪⎝⎭
1
1
21
33193
13
n n n --
=+-- 2
1
31
92233n n n -=+--⋅
13
21
1823n n +=-⋅.
11321
1243n n n T -+=-⋅.
解析：
21.答案：(1)2'()b
f x a x =+.
∵点(2,(2))f 在切线74120x y --=上, ∴2712
1
(2)42f ⨯-==.
又曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为74120x y --=, ∴77
'(2)1444113
(2)2222
b f a a b b f a ⎧
⎧=+=⎪⎪=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=⎩⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩, ∴3
()f x x x =-.
(2)设000
3
(,)x x x -为曲线()y f x =上任意一点, 则曲线在该点处的切线的斜率20
3
1k x =+, 切线方程为00200
3
3
()(1)()y x x x x x --=+-,
令0x =,得0
6
y x =-. 由0020033
()(1)()y x x x x x y x ⎧
--=+-⎪⎨⎪=⎩,得0
22x x y x =⎧⎨=⎩,
∴曲线()y f x =上任意一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积00
1
6
2162S x x =-=,为定值.
解析：
22.答案：(1)∵()()24log 23f x ax x =++且()11f =, ∴()24log 12131541a a a ⋅+⨯+=⇒+=⇒=-.
可得函数()()2
4log 23f x x x =-++.
∵真数为223013x x x -++>⇒-<<,
∴函数定义域为(1,3)-.
令()222314?t x x x =-++=--+可得:
当()1,1x ∈-时,t 为关于x 的增函数;
当()1,3x ∈时,t 为关于x 的减函数.
∵底数为41>
∴函数()()24log 23f x x x =-++的单调增区间为()1,1-,单调减区间为()1,3.
(2)设存在实数a ,使()f x 的最小值为0,由于底数为41>,
可得真数2231t ax x =++≥恒成立,且真数t 的最小值恰好是1, 即a 为正数,且当1
x a =-时,t 值为1. 所以200
1
111220
231a a a a a a a >⎧>⎧⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎛⎫⎛⎫-+=-+-+=⎪ ⎪ ⎪⎪⎩⎝⎭⎝⎭⎩, 所以1
2a =,使()f x 的最小值为0.
解析：。