第三章第六讲曲率求法与方程求解
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MN s ds ,
2 MT (dx)2 (dy)2 1 y dx ,
NT y dy 0,
故 ds 1 y 2 dx .
s s( x )为单调增函数,
2019/1/19
故 ds 1 y 2 dx .
4
泰山医学院信息工程学院 刘照军
二、曲率及其计算公式
10 0.671,
0.670 0.671. 即 0.670 作为根的不足近似值 ,
0.671 作为根的过剩近似值 , 其误差都小于10 3.
2019/1/19 泰山医学院信息工程学院 刘照军 23
三、切线法
设 f ( x ) 在 [a , b] 上具有二阶导数， f (a ) f (b) 0， 且 f ( x ) 及 f ( x ) 在 [a , b] 上保持定号． 则方程 f ( x )＝０在 (a , b) 内有唯一个的实根， [a , b] 是根的一个隔离区间．
y 0.8 x, y 0.8 y
x 0
0, y
x 0
0.8
所以，K=0.8
1 1.25 因而，求得抛物线顶点处的曲率半径 K
泰山医学院信息工程学院 刘照军 12
2019/1/19
四、小节
本讲主要讲述了函数图形的描绘、注意做题步 骤、曲线的曲率与曲率半径的定义。会用公式 求解。
一、问题的提出
问题：高次代数方程或其他类型的方程求精确 根一般比较困难,希望寻求方程近似根的有效计 算方法．
求近似实根的步骤： １．确定根的大致范围——根的隔离．
确定一个区间[a , b] 使所求的根是位于这个 区间内的唯一实根．区 间 [a , b] 称为所求实 根的隔离区间．
2019/1/19 泰山医学院信息工程学院 刘照军 16
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线 弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
2019/1/19 泰山医学院信息工程学院 刘照军 11
2、应用 例2 设工件内表面的截线为抛物线 y 0.4 x.现在要用 砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才比较合适？
2
解 为了在磨削时不使砂轮与工件接触处附近的那部 分工件磨去太多，砂轮的半径应不大于抛物线上各点处 曲率半径中的最小值.由本节例1可知，抛物线在其顶点 处的曲率半径最小。因此
故 f ( x ) 在 ( ,) 内单调增加 ,
f ( x ) 0 至多有一个实根．
2019/1/19 泰山医学院信息工程学院 刘照军 21
f 0 在 [0,1]内有唯一的实根 .
取 a 0, b 1, [0,1] 即是一个隔离区间 .
的实根的近似值 , 使误差不超过10 3.
解 令 f ( x ) x 3 1.1 x 2 0.9 x 1.4,
显然 f ( x ) 在 ( ,) 内连续.
f ( x ) 3 x 2 2.2 x 0.9,
1.49 0, f ( x ) 0. 如图
计算得:
1 0.5,
f (1 ) 0.55 0, 故 a1 0.5, b1 1; f ( 2 ) 0.32 0, 故 a2 0.5, b2 0.75;
f ( 3 ) 0.16 0, 故 a3 0.625, b2 0.75;
2 0.75,
.
( t ) ( t ) ( t ) ( t )
[ 2 ( t ) 2 ( t )]
3 2
2019/1/19
2004-4-10
泰山医学院信息工程学院 刘照军
8
3、应用
例1 解
抛物线 y ax2 bx c 上哪一点的曲率最大 ?
y 2ax b,
如此重复 n 次, 可求得 an bn 且 1 bn an n (b a ). 2 如果以 an 或 bn 作为 的近似值，那末其误差
1 小于 n (b a )． 2 2019/1/19 泰山医学院信息工程学院 刘照军
20
例１ 用二分法求方程 x 3 1.1 x 2 0.9 x 1.4 0
3 0.625,
4 0.687,
2019/1/19
f ( 4 ) 0.062 0, 故 a4 0.625, b4 0.687;
泰山医学院信息工程学院 刘照军 22
5 0.656,
6 0.672,
7 0.664,
f ( 5 ) 0.054 0, 故 a5 0.656, b5 0.687; f ( 6 ) 0.005 0, 故 a6 0.656, b6 0.672;
x
D 曲率中心,
2019/1/19
曲率半径.
泰山医学院信息工程学院 刘照军
10
注意: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互 为倒数.
1 1 即 ,k . k
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲 率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线 越弯曲).
1、曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
2
1
M2
M1
S 2
M3
M
S1
N
M
S1
S 2 N
弧段弯曲程度 越大转角越大
2019/1/19
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
5
泰山医学院信息工程学院 刘照军
y
设曲线C是光滑的，
M 0 是基点.
MM s ,
M0
2019/1/19
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13
五、作业 CT3-7
P177
3
4 8
2019/1/19
泰山医学院信息工程学院 刘照军
14
重点：本章基本内容及基本计算方法。 难点：基本计算方法及应用。 关键：微分中值定理的内容及灵活应用方法。
2019/1/19
泰山医学院信息工程学院 刘照军
15
C
M . S
M M 切线转角为 .
定义 o
S M .
)
x
弧段MM 的平均曲率为K
曲线C在点M处的曲率
. s
K lim s 0 s
d d . 在 lim 存在的条件下, K s 0 s ds ds
2019/1/19 泰山医学院信息工程学院 刘照军 6
定义 用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从 而求出方程实根的近似值，这种方法叫做切线 法（牛顿法）．
2019/1/19 泰山医学院信息工程学院 刘照军 24
如图，
在纵坐标与 f ( x ) 同号的 那个端点（此端点记作 ( x0 , f ( x0 ))) 作切线，这切 线与 x 轴的交点的横坐标 x1 比 x0 更接近方程的根．
设 f ( x ) 在区间 [a , b] 上连续，f (a ) f (b) 0， 且方程 f ( x )＝０在 (a , b) 内仅有一个实根，于是 [a , b] 即是这个根的一个隔离 区间．
作法：
ab 取 [a , b] 的中点 1 ，计算 f (1 ). 2 如果 f (1 ) 0，那末 1；
渐屈线
一、弧微分***
设函数 f ( x )在 区 间 (a , b) 内具有连续导数 .
y
N
基点: A( x0 , y0 ),
M ( x , y )为任意一点 ,
o
A
M
y
T
x
R
x0
x
x x
x
规定： (1) 曲线的正向与 x增大的方向一致 ;
( 2) AM s, 当AM的方 向与曲线 正向
如图，精确画出 y f ( x ) 的图形，然后从图上 定出它与 x 轴交点的大概位置．
２．以根的隔离区间的端点作为根的初始近似 值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得 满足精确度要求的近似实根． 常用方法——二分法和切线法（牛顿法）
2019/1/19 泰山医学院信息工程学院 刘照军 17
二、二分法
1 也有 a1 b1 及 b1 a1 (b a ); 2 总之， 1 当 １ 时，可求得 a1 b1 且 b1 a1 (b a ); 2
2019/1/19 泰山医学院信息工程学院 刘照军 19
以 [a1 , b1 ] 作为新的隔离区间，重 复上述做法， 1 当 2 (a1 b1 ) 时，可求得 a2 b2 且 2 1 b2 a2 2 (b a ); 2
f ( 7 ) 0.025 0, 故 a7 0.664, b7 0.672;
8 0.668, 9 0.670,
f ( 8 ) 0.010 0, 故 a8 0.668, b8 0.672; f ( 9 ) 0.002 0, 故 a9 0.670, b9 0.672; f (10 ) 0.001 0, 故 a10 0.670, b10 0.671.
定义
设曲线 y f ( x) 在点 M ( x, y ) 处的曲率为k (k 0). 在点 M 处的曲线的法线上 , 在凹的一侧取一点D, 使 DM 1 . 以 D 为圆心, 为半径 o k 作圆(如图), 称此圆为曲线在点M 处的曲率圆 .
y
D 1 k
M
y f ( x)
一致 时 , s取正 号 , 相反 时 , s取负 号 .
2019/1/19 泰山医学院信息工程学院 刘照军 3
y
N
单调增函数
s s( x ).
o
设N ( x x , y y ),
MN MN MT NT 当x 0时,
2 2
A
M
y
T
x
R
x0
x
x x
x
y 2 2 MN ( x ) ( y ) 1 ( ) x 1 y dx , x
k 2a
y 2a ,
3 2 2
.
[1 ( 2ax b ) ]
显然, 当x
b 时, k最大 . 2a b b2 4ac 又 ( , )为抛物线的顶点 , 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率 最大.
2019/1/19 泰山医学院信息工程学院 刘照军 9
三、曲率圆与曲率半径
0
ds
2019/1/19
1 y dx .k
2
y
o
3 2 2
)
x
.
7
(1 y )
泰山医学院信息工程学院 刘照军
x ( t ), 设 二阶可导, y ( t ),
dy ( t ) , dx ( t )
k
d 2 y ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) . 2 3 dx (t )
注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径 越小曲率越大. 2、曲率的计算公式 y
M . S
设y f ( x )二阶可导 , tan y,
C
y dx,M S 有 arctan y, d 2 1 y .M
2019/1/19 泰山医学院信息工程学院 刘照军 18
如果 f (1 ) 与 f (a ) 同号，那末取a1 1 , b1 b,
由 f (a1 ) f (b1 ) 0，即知 a1 b1，且 1 b1 a1 (b a ); 2
如果 f (1 ) 与 f (b) 同号，那末取a1 a , b1 1 ,
一、复习提问 1、微分中值定理 2、洛必达法则 3、单调性与凹凸性的判定方法
4、极值于最值的判定方法
2019/1/19
泰山医学院信息工程学院 刘照军
1
第七节 曲率
一、弧微分 二、曲率及其计算公式
三、曲率圆与曲率半径
四、曲率中心的计算公式 与渐伸线
2019/1/19 泰山医学院信息工程学院 刘照军 2
y
y f ( x)
B
o
a x1
A
b x
令 x0 a,
f ( a ) 0, f ( b ) 0 f ( x ) 0, f ( x ) 0
2 MT (dx)2 (dy)2 1 y dx ,
NT y dy 0,
故 ds 1 y 2 dx .
s s( x )为单调增函数,
2019/1/19
故 ds 1 y 2 dx .
4
泰山医学院信息工程学院 刘照军
二、曲率及其计算公式
10 0.671,
0.670 0.671. 即 0.670 作为根的不足近似值 ,
0.671 作为根的过剩近似值 , 其误差都小于10 3.
2019/1/19 泰山医学院信息工程学院 刘照军 23
三、切线法
设 f ( x ) 在 [a , b] 上具有二阶导数， f (a ) f (b) 0， 且 f ( x ) 及 f ( x ) 在 [a , b] 上保持定号． 则方程 f ( x )＝０在 (a , b) 内有唯一个的实根， [a , b] 是根的一个隔离区间．
y 0.8 x, y 0.8 y
x 0
0, y
x 0
0.8
所以，K=0.8
1 1.25 因而，求得抛物线顶点处的曲率半径 K
泰山医学院信息工程学院 刘照军 12
2019/1/19
四、小节
本讲主要讲述了函数图形的描绘、注意做题步 骤、曲线的曲率与曲率半径的定义。会用公式 求解。
一、问题的提出
问题：高次代数方程或其他类型的方程求精确 根一般比较困难,希望寻求方程近似根的有效计 算方法．
求近似实根的步骤： １．确定根的大致范围——根的隔离．
确定一个区间[a , b] 使所求的根是位于这个 区间内的唯一实根．区 间 [a , b] 称为所求实 根的隔离区间．
2019/1/19 泰山医学院信息工程学院 刘照军 16
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线 弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
2019/1/19 泰山医学院信息工程学院 刘照军 11
2、应用 例2 设工件内表面的截线为抛物线 y 0.4 x.现在要用 砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才比较合适？
2
解 为了在磨削时不使砂轮与工件接触处附近的那部 分工件磨去太多，砂轮的半径应不大于抛物线上各点处 曲率半径中的最小值.由本节例1可知，抛物线在其顶点 处的曲率半径最小。因此
故 f ( x ) 在 ( ,) 内单调增加 ,
f ( x ) 0 至多有一个实根．
2019/1/19 泰山医学院信息工程学院 刘照军 21
f 0 在 [0,1]内有唯一的实根 .
取 a 0, b 1, [0,1] 即是一个隔离区间 .
的实根的近似值 , 使误差不超过10 3.
解 令 f ( x ) x 3 1.1 x 2 0.9 x 1.4,
显然 f ( x ) 在 ( ,) 内连续.
f ( x ) 3 x 2 2.2 x 0.9,
1.49 0, f ( x ) 0. 如图
计算得:
1 0.5,
f (1 ) 0.55 0, 故 a1 0.5, b1 1; f ( 2 ) 0.32 0, 故 a2 0.5, b2 0.75;
f ( 3 ) 0.16 0, 故 a3 0.625, b2 0.75;
2 0.75,
.
( t ) ( t ) ( t ) ( t )
[ 2 ( t ) 2 ( t )]
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3、应用
例1 解
抛物线 y ax2 bx c 上哪一点的曲率最大 ?
y 2ax b,
如此重复 n 次, 可求得 an bn 且 1 bn an n (b a ). 2 如果以 an 或 bn 作为 的近似值，那末其误差
1 小于 n (b a )． 2 2019/1/19 泰山医学院信息工程学院 刘照军
20
例１ 用二分法求方程 x 3 1.1 x 2 0.9 x 1.4 0
3 0.625,
4 0.687,
2019/1/19
f ( 4 ) 0.062 0, 故 a4 0.625, b4 0.687;
泰山医学院信息工程学院 刘照军 22
5 0.656,
6 0.672,
7 0.664,
f ( 5 ) 0.054 0, 故 a5 0.656, b5 0.687; f ( 6 ) 0.005 0, 故 a6 0.656, b6 0.672;
x
D 曲率中心,
2019/1/19
曲率半径.
泰山医学院信息工程学院 刘照军
10
注意: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互 为倒数.
1 1 即 ,k . k
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲 率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线 越弯曲).
1、曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
2
1
M2
M1
S 2
M3
M
S1
N
M
S1
S 2 N
弧段弯曲程度 越大转角越大
2019/1/19
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
5
泰山医学院信息工程学院 刘照军
y
设曲线C是光滑的，
M 0 是基点.
MM s ,
M0
2019/1/19
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13
五、作业 CT3-7
P177
3
4 8
2019/1/19
泰山医学院信息工程学院 刘照军
14
重点：本章基本内容及基本计算方法。 难点：基本计算方法及应用。 关键：微分中值定理的内容及灵活应用方法。
2019/1/19
泰山医学院信息工程学院 刘照军
15
C
M . S
M M 切线转角为 .
定义 o
S M .
)
x
弧段MM 的平均曲率为K
曲线C在点M处的曲率
. s
K lim s 0 s
d d . 在 lim 存在的条件下, K s 0 s ds ds
2019/1/19 泰山医学院信息工程学院 刘照军 6
定义 用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从 而求出方程实根的近似值，这种方法叫做切线 法（牛顿法）．
2019/1/19 泰山医学院信息工程学院 刘照军 24
如图，
在纵坐标与 f ( x ) 同号的 那个端点（此端点记作 ( x0 , f ( x0 ))) 作切线，这切 线与 x 轴的交点的横坐标 x1 比 x0 更接近方程的根．
设 f ( x ) 在区间 [a , b] 上连续，f (a ) f (b) 0， 且方程 f ( x )＝０在 (a , b) 内仅有一个实根，于是 [a , b] 即是这个根的一个隔离 区间．
作法：
ab 取 [a , b] 的中点 1 ，计算 f (1 ). 2 如果 f (1 ) 0，那末 1；
渐屈线
一、弧微分***
设函数 f ( x )在 区 间 (a , b) 内具有连续导数 .
y
N
基点: A( x0 , y0 ),
M ( x , y )为任意一点 ,
o
A
M
y
T
x
R
x0
x
x x
x
规定： (1) 曲线的正向与 x增大的方向一致 ;
( 2) AM s, 当AM的方 向与曲线 正向
如图，精确画出 y f ( x ) 的图形，然后从图上 定出它与 x 轴交点的大概位置．
２．以根的隔离区间的端点作为根的初始近似 值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得 满足精确度要求的近似实根． 常用方法——二分法和切线法（牛顿法）
2019/1/19 泰山医学院信息工程学院 刘照军 17
二、二分法
1 也有 a1 b1 及 b1 a1 (b a ); 2 总之， 1 当 １ 时，可求得 a1 b1 且 b1 a1 (b a ); 2
2019/1/19 泰山医学院信息工程学院 刘照军 19
以 [a1 , b1 ] 作为新的隔离区间，重 复上述做法， 1 当 2 (a1 b1 ) 时，可求得 a2 b2 且 2 1 b2 a2 2 (b a ); 2
f ( 7 ) 0.025 0, 故 a7 0.664, b7 0.672;
8 0.668, 9 0.670,
f ( 8 ) 0.010 0, 故 a8 0.668, b8 0.672; f ( 9 ) 0.002 0, 故 a9 0.670, b9 0.672; f (10 ) 0.001 0, 故 a10 0.670, b10 0.671.
定义
设曲线 y f ( x) 在点 M ( x, y ) 处的曲率为k (k 0). 在点 M 处的曲线的法线上 , 在凹的一侧取一点D, 使 DM 1 . 以 D 为圆心, 为半径 o k 作圆(如图), 称此圆为曲线在点M 处的曲率圆 .
y
D 1 k
M
y f ( x)
一致 时 , s取正 号 , 相反 时 , s取负 号 .
2019/1/19 泰山医学院信息工程学院 刘照军 3
y
N
单调增函数
s s( x ).
o
设N ( x x , y y ),
MN MN MT NT 当x 0时,
2 2
A
M
y
T
x
R
x0
x
x x
x
y 2 2 MN ( x ) ( y ) 1 ( ) x 1 y dx , x
k 2a
y 2a ,
3 2 2
.
[1 ( 2ax b ) ]
显然, 当x
b 时, k最大 . 2a b b2 4ac 又 ( , )为抛物线的顶点 , 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率 最大.
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三、曲率圆与曲率半径
0
ds
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1 y dx .k
2
y
o
3 2 2
)
x
.
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(1 y )
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x ( t ), 设 二阶可导, y ( t ),
dy ( t ) , dx ( t )
k
d 2 y ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) . 2 3 dx (t )
注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径 越小曲率越大. 2、曲率的计算公式 y
M . S
设y f ( x )二阶可导 , tan y,
C
y dx,M S 有 arctan y, d 2 1 y .M
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如果 f (1 ) 与 f (a ) 同号，那末取a1 1 , b1 b,
由 f (a1 ) f (b1 ) 0，即知 a1 b1，且 1 b1 a1 (b a ); 2
如果 f (1 ) 与 f (b) 同号，那末取a1 a , b1 1 ,
一、复习提问 1、微分中值定理 2、洛必达法则 3、单调性与凹凸性的判定方法
4、极值于最值的判定方法
2019/1/19
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1
第七节 曲率
一、弧微分 二、曲率及其计算公式
三、曲率圆与曲率半径
四、曲率中心的计算公式 与渐伸线
2019/1/19 泰山医学院信息工程学院 刘照军 2
y
y f ( x)
B
o
a x1
A
b x
令 x0 a,
f ( a ) 0, f ( b ) 0 f ( x ) 0, f ( x ) 0