第二节 一元二次不等式及其解法

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(4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0. ( ✕ ) (5)若二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口向下,则不等式ax2+bx+c<0的解集一 定不是空集. ( √ )
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2.不等式x2-3x+2<0的解集为 ( D )
A.(-∞,-2)∪(-1,+∞) B.(-2,-1)
C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(1,2)
3.若不等式mx2+2x+1>0的解集为(-∞,-2)∪
-
2 3,Βιβλιοθήκη ,则m=(C
)
A. 1
B. 7
C. 3
D. 5
2
12
4
6
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4.不等式 x-3≤0的解集为 ( C )
x-1
A.{x|x<1或x≥3} B.{x|1≤x≤3} C.{x|1<x≤3} D.{x|1<x<3} 5.若不等式x2+ax+4≤0的解集不是空集,则实数a的取值范围是
a=b ⑦ {x|x≠a} ⑩⌀
口诀:大于取两边,小于取中间.
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a>b ⑧ {x|x<b或x>a} {x|b<x<a}
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常用结论 1.一元二次不等式的恒成立问题 (1)一元二次不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔ba2-40a,c 0. (2)一元二次不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔ba2-40a,c 0.
a
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③当a<0时,原不等式化为
x-
2 a
(x+1)≤0.
当 2 >-1,即a<-2时,解得-1≤x≤ 2 ;
a
a
当 2 =-1,即a=-2时,解得x=-1;
a
当 2 <-1,即-2<a<0时,解得 2 ≤x≤-1.
a
a
综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1};
当a>0时,不等式的解集为
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第二节 一元二次不等式及其解 法
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1.“三个二次”的关系
判别式Δ=b2-4ac
Δ>0
二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集
ax2+bx+c<0(a>0)的解集
有两相异实根x1,x2(x1<x2)
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2.分式不等式的转化 (1) f (x) >0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).
g (x)
(2) f (x) ≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
g (x)
以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式.
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1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”). (1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0. ( √ ) (2)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个 根是x1和x2. ( √ ) (3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R. (✕)
① {x|x<x1或x>x2} ④ {x|x1<x<x2}
Δ=0
b
有两相等实根x1=x2=- 2a ② {x|x≠x1} ⑤⌀
Δ<0
没有实数根 ③R ⑥⌀
2.(x-a)(x-b)>0和(x-a)(x-b)<0型不等式的解集
不等式
解集
(x-a)(x-b)>0 (x-a)(x-b)<0
a<b {x|x<a或x>b} ⑨ {x|a<x<b}
解析 (1)因为x(2-x)<0,
所以x(x-2)>0,解得x>2或x<0,
所以不等式的解集是(-∞,0)∪(2,+∞). (2)化-2x2+x+3<0为2x2-x-3>0,
解方程2x2-x-3=0,得x1=-1,x2=
3 2
,
∴不等式2x2-x-3>0的解集为(-∞,-1)∪
3 2
,
,
即原不等式的解集为(-∞,-1)∪
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.
答案 (-∞,-4]∪[4,+∞)
6.不等式 2 <1的解集是
.
x 1
答案 {x|x>1或x<-1}
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考点一 一元二次不等式的解法
命题方向一 不含参数的一元二次不等式 典例1 (1)(2019牡丹江模拟)不等式x(2-x)<0的解集是 ( B ) A.(2,+∞) B.(-∞,2) C.(0,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞) (2)求不等式-2x2+x+3<0的解集.
x
|
-
1 2
x
-
1 3
,则不等式x2-bx-a≥0的
解集是
.
答案 {x|x≤2或x≥3}
解析
∵不等式ax2-bx-1>0的解集是
x
|
-
1 2
x
-
1 3
,
∴ax2-bx-1=0的解是x1=-
1 2
和x2=-
1 3
,且a<0.
∴-
12 -1 2
1 b, 3a
-
1 3
-
1 a
解得
,
a b
-6, 5.
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x
|
x
2 a
或x
-1;
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当-2<a<0时,不等式的解集为
x
|
2 a
x
-1;
当a=-2时,不等式的解集为{-1};
当a<-2时,不等式的解集为
x
|
-1
x
2 a
.
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命题方向三 已知一元二次不等式的解集求参数
典例3
已知不等式ax2-bx-1>0的解集是
3 2
,
.
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命题方向二 含参数的一元二次不等式
典例2 解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R).
解析 原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0.
①当a=0时,原不等式可化为x+1≤0,解得x≤-1.
②当a>0时,原不等式可化为
x-
2 a
(x+1)≥0,
解得x≥ 2 或x≤-1.
则不等式x2-bx-a≥0即为x2-5x+6≥0,解得x≤2或x≥3.
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方法技巧 一元二次不等式的解法 (1)对于系数为常数的一元二次不等式,可以用分解因式法或判别式法求解, 题目简单,情况单一. (2)含有参数的不等式的求解时,往往需要对参数进行分类讨论. ①若二次项系数为常数,则需先将二次项系数化为正数,再考虑分解因式,对 参数进行分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论; ②若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是不是零,以便确定不等式是 一次不等式还是二次不等式,再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集