2017届高考数学一轮复习备课手册：选修第1课空间向量的有关概念与线性运算

选修第1课 空间向量的有关概念与线性运算
一、教学目标
1．了解空间向量、共线向量、共面向量等概念；
2．理解空间向量的线性运算及其性质.。

二、基础知识回顾与梳理
1、空间向量：在空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量；
2、空间向量相关概念
概念辨析练习
1．下列命题中是否正确
（1）分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 （2）若||=||，则b a ,的长度相等且方向相同或相反
（3）若两个非零向量与满足AB +=0，则∥
【教学建议】本题主要是帮助学生复习、了解空间向量的有关概念。

教学时，教师可让学生说明理由或举出反例。

结合本题，强调定义中的关键词：大小和方向，。

2.下列命题：
①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=u u u r u u u r u u u r u u u r r
; ②||-||=|+|是、共线的充要条件； ③若、共线，则与所在直线平行； ④对空间任意一点
O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r
（其中x 、y 、z∈R）,则P 、A 、B 、C 四点共面. 其中不正确命题的个数________
【教学建议】本题主要是复习空间向量基本定理及其应用
三、诊断练习
1、教学处理：课前要求学生阅读课本选修2-17873P P -完成教材习题378476273,,T P T P T P ，再完成诊断练习4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。

课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。

将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。

点评时要简洁，要点击要害。

2、诊断练习点评
题1：化简()()________AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r
．答案：0
【分析与点评】1.向量的加法、减法一般用三角形法则和平行四边形法则；
2.向量的加法、减法的三角形法则和平行四边形法则都需要共起点 ，首尾相接若干向量相加等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，可以认为是平面向量的加法的平行四边形法则在空间的推广。

【变式】：化简_______AF BF AC --=u u u r u u u r u u u r
． 答案：CB
题2．如图，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a r ，AD →＝b r ，
AA 1→＝c r ，则BM →
＝________.答案为：
1122
a b c -++r r r
【分析与点评】用,,a b c r r r 表示向量BM →，只需先将BM →
在某个三角形中利用三角形法则将之转化为能用,,a b c r r r
中的任意两个作为平面向量的基底表示的向量，实现由空间向量向平面向量
的转化，最终用平面向量的方法解决空间向量的问题.
【变式】：已知空间四边形ABCD 中，c b a CD c a AB 865,2-+=-=，对角线AC 、BD 的中点分别是P 、Q ，则_________=。

答案533-+= 【分析与点评】（1）用,表示,关键是将三向量平移到一个三角形中 （2） 由于P 、Q 是中点，利用中点平移向量CD AB ,．
题3．设12,e e u r u u r 是两个不共线的空间向量，若1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-u u u r u r u u r u u u r u r u u r u u u r u r u u r
,
且,,A B D 三点共线，则实数k 的值为
答案为：8-
【分析与点评】在空间三点共线依然可以转化为向量共线，向量共线依然有共线定理，利用
共线定理的线性关系列出关于k 的等式关系求解.
题4．已知,,A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外任意一点，若由
1253
OP OA OB OC λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r
确定的点P 在平面ABC 内，则λ= . 答案为：
2
.15
【分析与点评】类比平面向量的知识,本题中的系数之和为1,追问学生:这个结论具有一般
性吗?
3、要点归纳
（1）在掌握向量加减法时首先应掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等.
（2）向量的减法可以转化为向量的加法，注意向量的三角形法则和平行四边形法则要点.对于向量加法用平行四边形法则要求两向量共起点，运用三角形法则要求首尾顺次相接.对于向量减法要求两向量共起点.
（3）平面向量的运算仅限于在它所在的平面内进行，空间向量的运算常常将研究的向量进行平移，转化为平面向量问题解决.
（4）空间向量的线性运算方法和思想是由平面向量的线性运算推广而来，空间向量的性质、运算可以类比平面向量的运算、性质．
四、范例导析
例1、如图，在空间几何体1111ABCD A B C D -中，各面
为平行四边形，设1,,,,,AA AB AD M N P ===a b c u u u r u u u r u u u r
分别是111,,AA BC C D 的中点，试用,,αb c 表示以下 各向量：
（1）AP u u u r ； （2）1MP NC +u u u r u u u u r .
答案为： 解：(1)因为P 是11C D 的中点，所以
111111111
.222
AP AA A D D P A D D C AB =++=++=++=++a a c a b c u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u u r u u u u u r u u u r
（2）因为M 是1AA 的中点，所以
111111
.22222
MP MA AP A A AP =+=+=-a +(a +b +c)=a +b +c u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
又1111111
.222
NC NC CC BC AA AD AA =+=+=+=c +a u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
所以1111313()().222222
MP NC +=++++=++a b c a c a b c u u u r u u u u r
【教学处理】本题可让学生板演，然后交流讨论，教师可以板书。

点评或板书时，要示范解
题步骤、方法．
【引导分析与精讲建议】 先提出以下问题
问题1：AP u u u r
如何与基底取得联系？
问题2：能否先用一个向量表示1MP NC +u u u r u u u u r
?
问题3: 能否用平行四边形法则？或首尾相接的空间多边形？不同路径得到的结果是否相同？为什么？
例2：已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，用向量方法，求证：
(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH .
A
1
A P
M
D C
B 1
B 1
C 1
D N
证明: (1)连结BG ，
则EG u u u r ＝EB u u u r ＋BG u u u r
＝EB u u u r ＋12(BC u u u r ＋BD u u u r )
＝EB u u u r ＋BF u u u r ＋EH u u u r ＝EF u u u r ＋EH u u u r ，
由共面向量定理知：
E ，
F ，
G ，
H 四点共面．
(2)因为EH u u u r ＝AH u u u r －AE u u u r
＝12AD u u u r －12AB u u u r ＝12(AD u u u r －AB u u u r )＝12
BD u u u r ， 因为E ，H ，B ，D 四点不共线，所以EH ∥BD . 又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .
【教学处理】要求学生独立思考并解题，指名学生板演，老师巡视指导了 解学情；再结合板演情况进行点评。

也可在学生对解题方向遇到困难时，
教师适时介入与学生交流或进行讲解，并示范板书。

【引导分析与精讲建议】
1、引导学生从共面向量的概念和定理出发寻找思路。

强调并示范证明向量共面的一般方法和解题步骤；
2、本题在用向量证明后可以让学生尝试用平移的知识认识三条向量可以平移到同一平面.
【变式】：设,,A B C 及111,,C B A 分别是异面直线21,l l 上的三点，而,,,M N P Q 分别是线段
1111,,,CC BB BA AA 的中点.求证：,,,M N P Q 四点共面.
【点评】：变式题中给出四点共面问题可化为三向量共面问题解决.根据空间向量共面的基本定理几何，结合图形根据中点找到四点M,N,P,Q 构成的三向量PQ NP MN ,,之间的线性关系即可得证.
例 3 已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外的一点，M, N 分别为PC, PD 上的点，且
2,.PM MC PN ND ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r 求满足MN x AB y AD z AP =++u u u u r u u u r u u u r u u u r
的实数,,x y z 的值.
【教学处理】要求学生独立读题并画出图形，引导学生思考：怎样将空间向量MN u u u u r
转化到
1一个个平面上的向量去处理？
【引导分析与精讲建议】
1、容易表示出MN AN AM
=-
u u u u r u u u r u u u u r
，这里的基底,,
AP AD AB
u u u r u u u r u u u r
确定了三个平面，向量AN
u u u r
在
平面APD内，因而用平面向量基本定理可得
11
22
AN AP AD
=+
u u u r u u u r u u u r
; 向量AM
u u u u r
在平面APC中，12
33
AM AP AC
=+
u u u u r u u u r u u u r
, 向量AC
u u u r
在基底,
AD AB
u u u r u u u r
确定的平面ABD内，因而回路接通。

这里的
表示，要突出空间向量是如何转化到平面向量上去的．
2、对答案中提供的方法，可仿照上面的分析，引导学生作类似的转化．
1212
()()
2323
112211
()
223366
211
,,
366
MN PN PM PD PC PA AD PA AC
AP AD AP AB AD AB AD AP
x y z
=-=-=+-+
=-+--++=--+
∴=-=-=
u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
解：
【备用题】已知
1
1
1
1
D
C
B
A
ABCD-是平行六面体.
(1)在图上标出式子
3
2
2
1
1
+
+的结果；
(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面
1
1
B
BCC对角线
1
BC上
的
4
3
分点，设
1
MN AB AD AA
αβγ
=++
u u u u r u u u r u u u r u u u r
试求γ
β
α,
,的值。

【教学处理】第（1）题可以让学生板演，教师点评作图依据.第二题从式子的特征、向量1
,
,
,AA
AD
AB
MN位置关系入手弄清解题意图和解题方向，指导学生独立思考，指名回答，
教师点评并板书解题过程。

【引导分析与精讲建议】
可提出以下问题与学生交流：
问题1：式子
1
γ
β
α+
+
=表示什么含义？四个向量
1
,
,
,之间有什
么关系？
问题2：由γ
β
α,
,的值确定吗？为什么？
问题3：MN向量如何利用三角形、平行四边形或空间多边形转化到
1
,,
AB AD AA
u u u r u u u r u u u r
？
五、解题反思
1、用已知向量表示未知向量一定要结合图形。

以图形为依托指导解题是关键。

要熟练掌握
空间向量的运算、性质及基本定理是解决空间向量问题的基础，特别是共线向量定理、共面
向量定理、空间向量基本定理等；
2、要正确理解向量的加法、减法与数乘运算的几何意义，首尾相接的若干向量之和等于由
起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法
则。

3、在空间用选取的基底去表示向量，要突出向平面向量的转化，明晰转化的路线，以避免陷入回路的迷宫．。