2021届好教育云平台泄露天机高考押题卷理科数学学生版

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2021年普通高等学校招生全国统一考试
理 科 数 学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合(){}
2
2
,2,,M x y x
y x y =+≤∈∈Z Z ，则集合M 的真子集的个数为（ ）
A ．9
21- B ．8
21- C ．5
2
D ．4
21+
2．已知复数2i
12i
m z -=-，若z 在复平面内对应的点位于第三象限，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(),6-∞-
B ．(),4-∞-
C ．()4,+∞
D ．()6,+∞
3．双曲线22
221(0,0)a b a b
y x -=>>
的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为（ ） A
B
C
D
4．已知向量()1,0=a
，=b ()⊥+a a b ，则2+=a b （ ） A ．2
B
C
D ．3
5．函数()()
22
21sin 12x x x
f x x x
+++=
-+的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知x ，y ∈R ，则“13x y +≤”是“
2
29
1x y +≤”的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要
D ．既不充分也不必要
7．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若m n ∥，n α⊂，则m α∥
B ．若m α⊂，n α⊂且//m β，βn//，则//αβ
C ．若m α⊥，βn//且//αβ，则m n ⊥
D ．若αγ⊥，βγ⊥，则αβ∥
8．已知直线y kx =与圆2
2
680x y x y +++=相交于两点，且这两点关于直线20x y b -+=对称，则,k b 的值分别为（ ） A ．2,5k b ==-
B ．2,5k b =-=-
C ．2,5k b =-=
D ．2,5k b ==
9．任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和或差的形式，若已知函数()2x
f x e =，若将()f x 表示成一个偶函数()
g x 和一个奇函数()
h x 的差，且()()2
1h x ag x +≥⎡⎤⎣⎦对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．[
)1,+∞ C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．1,4⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
10．在体积为8的正方体1111ABCD A B C D -内部任意取一点P ，能使四棱锥P ABCD -，
11P ABB A -，11P BB C C -，11P CC D D -，11P DD A A -，1111P A B C D -的体积大于
2
3
的概率为（ ） A ．13
B ．16
C ．
19
D ．18
11．已知函数34()sin cos 55f x x x ωω=
+（0π4x ≤≤）的值域为4,15⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，其中0ω>，则π
cos()4
ω的取值范围是（ ）
A ．73,255⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
B ．7,125⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
C ．71,25⎡⎤--
⎢⎥⎣⎦
D ．74,255⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
12．已知椭圆2
2
21(10)y x b b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，点M 是椭圆上一点，点A 是线段
12F F 上一点，且1212π23M F F F MA ∠=∠=
，3
2
MA =，则该椭圆的离心率为（ ） A
B ．
12 C
．
3
D
．
3
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．()41133x x x ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭的展开式中3
x 的系数为________． 14．若函数233x
x y e
e =-+的值域为[]1,7，试确定x 的取值范围是_________．
15．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()sin sin A C a -⋅=
()()sin sin b c B C +-，2b =，则ABC △的周长的最大值是_________．
16．已知函数(
))
lg
sin 2f x x x x =-++，若(22)0x f ax e -+<在(0,)x ∈+∞上恒成
立，则正实数a 的取值范围为________．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知{}n a 数列满足13a =，2
1393n n n a a ++-=．
（1）证明：数列3n n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为等差数列； （2）求数列{}
2n n a +的前n 项和n S ．
18．（12分）某市为提高市民的安全意识，组织了一场知识竞赛，已知比赛共有2000位市民报名
参加，其中男性1200人，现从参赛的市民当中采取分层抽样的方法随机抽取了100位市民进行调查，根据调查结果发现分数分布在450~950分之间，将结果绘制的市民分数频率分布直方图如图所示：
将分数不低于750分的得分者称为“高分选手”．
（1）求a 的值，并估计该市市民分数的平均数、中位数和众数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）现采用分层抽样的方式从分数落在[)550,650，[)750,850内的两组市民中抽取10
人，再从
这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名市民中属于“高分选手”的市民人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；
（3）若样本中属于“高分选手”的女性有15人，完成下列22⨯列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该市市民属于“高分选手”与“性别”有关？
（参考公式：()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，期中n a b c d =+++）
19．（12分）如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD
BC ，AD AB ⊥，222BC AB AD ===，四边形EDCF 为矩形，2CF =，平面EDCF ⊥平面ABCD ． （1）求证：BDF
⊥平面DCF ；
（2）求二面角A BE F --的余弦值．
20．（12分）椭圆C 的方程为()
22
2210x y a b a b
+=>>，过椭圆左焦点1F 且垂直于x 轴的直线在第
二象限与椭圆相交于点P ，椭圆的右焦点为2F ，已知21tan 12PF F ∠=，椭圆过点12A ⎫⎪⎭． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过椭圆C 的右焦点2F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若12MA AF λ=，22MB BF λ=，求证：12λλ+为定值．
21．（12分）已知函数()2ln x
f x a x
=
+． （1）试讨论函数()f x 的零点个数；
（2）设()()2
g x x f x =-，12,x x 为函数()g x 的两个零点，证明：121x x <．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C
的参数方程为2cos 12sin x y ϕ
ϕ
⎧=⎪⎨
=+⎪⎩（ϕ为参数），直线l
的方程为
122x t y ⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；
（2
）过点)
P ，倾斜角为π
3
的直线与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB -的值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数
()2622f x x x =-++．
（1）求不等式()12f x ≤的解集；
（2）若a ，b ，c 为正实数，函数()f x 的最小值为t
b c t ++=，求222a b c ++的最小值．
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