人教版九年级数学下导学案相似三角形应用举例教学案[教案教学设计教学案同步练习课时作业试卷含答案解析

相似三角形应用举例（第1课时）
【目标导航】
1．应用相似三角形的判定、性质等知识去解决不能直接测量物体的长度和高度类问题； 2．培养学生把实际问题转化为数学问题，建立相似三角形模型，解决实际问题的能力．
【要点梳理】
例1 据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图，如果木杆EF 长2m ，它的影长FD 为3m ，测得OA 为201m ，求金字塔的高度BO ．
例2 如图，为了估测河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P 、Q 、S 共线且直线PS 与河垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，确定PT 与过点Q 且垂直PS 的直线b 的交点R ．如果测得QS ＝45m ，ST ＝90m ， QR ＝60m ，求河的宽度PQ ．
例3 已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB ＝8m 和CD ＝12m ，两树的根部的距离BD ＝5m ．一个身高1.6m 的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l 从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C ？
【课堂操练】
B O D
E (
F )A
1．如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2m ，长臂长为8m ，当短臂端点下降0.6m 时，长臂端点 升高 （ ） A. 2m B. 4m C. 6m D. 5.8m
2．小明在打网球时，为使球恰好能过网（网高为0.8m ），且落在对方区域离网5m 的位置上，已知他击球的高度是2.4m ，则她应站在离网的 （ ） A. 15m 处 B. 10m 处 C. 8m 处 D. 7.5m 处
3．为了测量水塘边A 、B 两点之间的距离，在可以看到A 、B 的E 处，取AE 、BE 延长线上的C 、D 两点，
使CD ∥AB ，如果测量得CD ＝5米，AD ＝15米，ED ＝3米，你能求出AB 两点之间的距离吗？
4． 马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱AB 的高度为1.2米．
（1）若吊环高度为2米，支点A 为跷跷板PQ 的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？ （2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A 移到跷跷板PQ 的什么位置时，
狮子刚好能将公鸡送到吊环上？
【课后盘点】
1．在同一时刻物高与影长成比例，小华量得综合楼的影长为6米，同一时刻她量得身高1.6米的同学的影长为0.6米，则可知综合楼高为 米．
2．如图是一束平行的阳光从感教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成角∠AMC ＝30°，在教室地
P A
B
Q
C
M A B C N 面的影长MN ＝23米．若窗户的下檐到教室地面的距离BC ＝1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC 为 米．
3．如图，是用杠杆撬石头的示意图，C 是支点，当用力压杠杆的A 端时，杠杆绕C 点转动，另一
端B 向上翘起，石头就被撬动.现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B 端必须向上翘起10cm ，已知杠杆的动力臂AC 与阻力臂BC 之比为5:1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A 端下压 cm ．
4．斜拉桥是利用一组组钢索，把桥面重力传递到耸立在两侧高塔上的桥梁，它不需要建造桥墩，（如图所示），其中A 1B 1、A 2B 2、A 3B 3、A 4B 4是斜拉桥上互相平行的钢索，若最长的钢索A 1B 1＝80m ，最短的钢索A 4B 4＝20m ，那么钢索A 2B 2＝ m ，A 3B 3＝ m ．
5．如图，一束光线从y 轴上点A （0，1）发出，经过x 轴上点C 反射后，经过点B （6，2），求光线从A 点到B 点经过的路线的长度．（精确到0.01）
6．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为10cm ，AC 被分为60等份.如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处，且DE ∥AB ，那么小玻璃管口径DE 是多大?
7．我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住．若此时眼睛到食指的距离约为40cm ，食指的长约为8cm ，你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？请说出你的思路．
B
A C
8．如图是日食的示意图，如果已知地球表面到太阳中心的距离ES约为1.496×108km，太阳的半径SR约
为6.96×105km，月球的半径LM约为1738km，此时月球中心距地球表面有多远（即图中EM为多少）？9．如图，为了测量一栋大楼的高度，王青同学在她的脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜
子中看到大楼的顶部.这时∠LMK等于∠SMT吗?如果王青身高1.55m，她估计自己眼睛离地面1.50m，同时量得LM＝30cm，MS＝25m，这栋大楼有多高?
相似三角形应用举例（第2课时）
【目标导航】
1．应用相似三角形的判定、性质等知识去解决不能直接测量物体的长度和高度类问题；
2．培养学生把实际问题转化为数学问题，建立相似三角形模型，解决实际问题的能力．
【要点梳理】
例1如图，工地上两根电灯杆相距L米，分别在高为4米、6米的A、C处用铁丝将两杆
固定，求铁丝AD与铁丝BC的交点M处离地面的高MH.
C
例2如图，学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC＝16米，斜坡坡面上的影长CD＝10米，太阳光线AD与水平地面成30°角，斜坡CD与水平地面BC成30°的角，求旗杆AB的高度（精确到1米）．
A
D
B C
例3为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D处和F处树立标杆CD和EF，标杆的高都是3丈，D、F 两处相隔1000步（1步等于6尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC后退123步的G处，可以看到山峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆FE后退127步的H，可看到山峰A和标杆顶端E在一条直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？（提示：连接EC并延长交AB 于点K，用AK表示KC及KE．）
【课堂操练】
1．科学家研究表明，当人的下肢长与身高之比为黄金比时，看起来最美，某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为cm．（精确到0.1cm）
2．一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，则不同的截法有（ )
A.一种
B.两种
C.三种
D.四种
3．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE长1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝8.4m，楼高CD 是多少？
4．张明同学想利用树影测量校园内的树高.他在某一时刻测得小树高为1米时，其影长为0.9米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为2.7米，墙上影长为1.2米，求这棵大树高.
5．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6cm ，CA ＝8cm ，动点P 从点C 出发，以每秒2cm 的 速度沿CA 、AB 运动到点B ，则从C 点出发多少秒时，可使S △BCP ＝
4
1
S △ABC ？
【课后盘点】
1．如图，小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是8米，已知网高是0.8米，要使球恰好能打过网，且落在离网4米的位置，求球拍击球的高度.
2．一油桶高0.8米，桶内有油，一根木棒长1m ，从桶盖小口斜插入桶内，一端插到桶底， 另一端到小口，抽出木棒，量得棒上未浸油部分长0.2m ，试求桶内油面的高度．
解：在所画油桶纵剖面示意图中，已知h ＝ m ， ＝1m ， ＝0.2m ，需要求的是 ．（用数字或字母填空）
请在下面继续完成求解过程．
3. 如图，在一个长40米、宽30米的长方形小操场上，小刚从A点出发，沿着A—B—C的路线以2米/秒
的速度跑向C地. 当他出发3秒后，小明有东西需要交给他，就从A地出发沿小刚走的路线追赶. 当小明跑到距B地1.5米的D处时，他和小刚在点E处阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上. 此时，A处一根电线杆在阳光线的影子也恰好落在对角线AC上.
（1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米（DE的长）？
（2）求小明追小刚的速度是多少（精确到0.1米/秒）？
4. 如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB＝h，灯柱的高OP＝O′P′＝l，两灯柱之间的距离OO′＝m．
（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA＝a，求他影子AC的长．
（2）若李华在两路灯之间行走
．．．．．．．，则他前后的两个影子的长度之和（DA＋AC）是否是定植？
请说明理由．
（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以V1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度V2 ．
5. 在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8厘米，AC :BC ＝3:4，点P 从点B 出发，沿BC 向点C 以2厘米/秒的速度移动，点Q 从点C 出发，沿CA 向点A 以1厘米/秒的速度移动. 如果P 、Q 分别从B 、C 同时出发： （1）经过多少秒时△CPQ ∽△CBA ?
（2）经过多少秒时以C 、P 、Q 为顶点的三角形恰好与△ABC 相似？
参考答案
第1课时
【要点梳理】 例1：由题意，得
OA FD BO EF =，即201
3
2=
BO ，解得BO =134(m). 例2：∵RQ ⊥PS ，ST ⊥PA ，∴∠PQR =∠PST ，又∵∠P =∠P ，
∴△PQR ∽△PST ，∴PQ ：PS =QR ：ST ，即PQ ：(PQ +45)=60：90， 解得PQ=90.
例3：由题意，得△AFH ∽△CFK ，∴AH ：CK =FH ：FK ，即(8－1.6)：(12－1.6)=FH ：(FH +5)，解得x=8. 所以他与左边较低的树的距离小于8米时，就不能看到右边较高的树的顶端C . 【课堂操练】 1．B ；2．B
3．∵CD ∥AB ，∴∠A =∠D ,∠B =∠C ，∴△ABE ∽△DCE ，∴CD ：AB =ED ：AE ，即5：AB =3：(15－3)，解得AB =20. 4．（1）狮子能将公鸡送到吊环上．理由：如图1所示，当狮子将跷跷板P 端按到底时可得到Rt △PHQ ，
Q P C B
A
易知Rt △PQH ∽Rt △PAB ．所以
PQ PA QH AB =，即2
1
2.1=QH ．所以QH =2.4＞2（米）． （2）支点A 移到跷跷板PQ 的三分之一处（PA =3
1
PQ ），狮子刚好能将公鸡送到吊环上．理由：由△PAB ∽△PQH ，得
3
1＝＝PQ PA QH AB ．所以QH =3AB =3.6（米）．
【课后盘点】
1．2.25；2．3；3．50；4．60，40
5．设BD ⊥x 轴于点D ，∵∠AOC =∠BDC =90°，∠AOC =∠BCD ，∴△AOC ∽△BDC ，∴OA ：
BD =OC ：CD ，即1:2=OC ：(6－OC )，解得OC =2.∴CD =4，于是AC =541=+，
BC =52164=+，∴光线从A 点到B 点经过的路线的长度是53≈6.71． 6．∵DE ∥AB ，∴∠DEC =∠B ,∠EDC =∠A ，∴△DEC ∽△ABC ， ∴DE ：AB =CD ：AC ，即DE ：10=40：60，解得DE =
3
20. 7．如图所示，易知△ADF ∽△ABG ，∴DF ：BG =FA ：AG ，即DF ：0.04=200:0.4，解得DF =20，所以建筑物高40米.
8．由题意，知LM ⊥ER ，RS ⊥ER ，∴LM //RS ，∴△LME ∽△RSE ，故有LM ：RS =EM ：ES ，即1738：6.96×105= EM ：1.496×108，解得EM ≈373570(km). 9．根据物理学知识入射角等于反射角，所以∠LMK 等于∠SMT . 又∵∠KLM =∠TSM =90°，∴△KLM ∽△TSM ，∴KL ：TS =LM ：MS ，即1.5：TS =0.3：25，解得TS =125（m ）.
第2课时
【要点梳理】
例1：解法一：设MH =x 米，BH =m 米，DH =n 米，BD =l 米，则l =m +n 根据题意△BMH ∽△BCD ，△DMH ∽△DAB .∴MH :CD =BH :BD ，MH ：AB =DH ：DB .即
l m x =6，l n x =4.两式相加，得l
n
l m x x +=+46=1，解得x =2.
解法二：根据题意得△ABM ∽△DCM ，∴AB :CD =BM :MC =AM :MD ，AB :CD =4:6=2:3，所以AM :MD =2:3. 所以DM :DA =3:5.
又易知△ABD ∽△MHD ，∴DM :DA =MH :AB ，MH :AB =3:5，而AB =4，所以MH =5
12. 例2：如图，过点D 作DE ⊥BC 交BC 延长线于点E ，
A
B P Q H 图1
过点E 作EF ∥AD 交AB 于点F ，
在Rt △CDE 中，∠CED =90°,∠DCE =30°,CD =10. ∴DE =5, CE =35.∴BE =3516+.
∵太阳光线AD 与水平地面成30°角，∴∠FEB =30°. 在Rt △BFE 中，∠B =90°,∠FEB =30°,BE =3516+，
∴BF =BE ·tan ∠FEB =(
)333
516+=53316+.
∵AF =DE =5，∴AB =AF +BF =533165++
=103
3
16+=19.1≈19. 答旗杆AB 的高度为19米.
例3：由△ABG ∽△CDG ，得CD : AB =GD : (BD +DG )，即3:AB =(123×0.6):(BD +123×0.6)，∴73.8AB =3BD +221.4. ①
由△ABH ∽△EFH ，得EF : AB =HF : (BD +DH )，即3:AB =(127×0.6):(BD +1127×0.6)，∴76.2AB =3BD +2028.6. ②
由①、②解得AB =753丈，BD =18450丈. 【课堂操练】 1．2.6；2．B
3．∵∠ABE =∠ACD =90°，∠A =∠A ，∴△ABE ≌△ACD ，∴AB ：AC =BE ：CD ，即 1.6：(1.6+8.4)=1.2：CD ，解得CD =7.5 .
4．解法一：如图1，延长AD ，BE 相交于点C ，则CE 就是树影长的一部分，
9
.01
=
EC DE ，即 9
.01
2.1=
EC .所以CE =1.08m.于是BC =BE +EC =2.7+1.08=3.78（m ）. 同理，有9.01=BC AB ，即9
.01
78.3=
AB ，解得AB =4.2（m ）. 解法二：如图2，过点E 作EF ∥AD ， 交AB 于F .有9.01=BE BF ，即9.017.2=BF ， 解得BF =3m. AB =AF +BF =3+1.2=4.2（m ）.
5．由勾股定理，解得AB==+643610(cm)；S △ABC ＝
AC BC ⋅21=2
1
×6×8=24(cm 2). ∴S △BCP ＝41S △ABC =4
1
×24=6(cm 2).当点P 在线段AC 上时，则有PC BC ⋅21=6，解得PC=2，此时点P 从
点C 出发的时间为2÷2=1秒；当点P 在线段AB 上时，设PM ⊥BC 于点M ，则PM BC ⋅2
1
=6，解得PM =2，
易知△PBM ∽△BAC ，得PM ：AC =BP ：AB ，解得PB =2.5，∴AP=7.5,从而AC +AP =15.5，此时点P 从点C 出发的时间为15.5÷2=7.75秒.
A
B C E D 2.7 1.2
图1
A B
F E
D 2.7
1.2 图2
海陵中学初三数学教学案 班级 姓名 第二十七章《相似》 11 综上可知，当动点P 从点C 出发2秒或7.75秒时，可使S △BCP ＝
41S △ABC . 【课后盘点】
1．2.4；2．0.8，AB ，AC ，h ′；由三角形相似，得AB AC h h h ='-，即1
2.08.08.0='-h ，解得h ′=0.64 . 3．（1）根据题意可知DE ∥AC ，∴△ACB ∽△DEB ，∴DE ：AC=BD ：BA .在Rt △ABC 中，∵AB =40m ，
BC =30m ，BD =322m ，∴AC =50m ，∴DE ：50=322：40，解得DE =3
10. （2）根据题意得∴DE 2=BD 2+BE 2，∴BE =2m ，s 王=AB +BE =42m ，∴t 王=42÷3=14s ， ∴t 张=t 王-4=10s ，∴s 张=AD =AB -BD =40-322= 3112m ，v 张=3
112÷10≈3.7m/s ． 4．（1）由已知：AB ∥OP ，∴△ABC ∽△OPC ．∵AC ：OC =AB ：OP ，∴AC ：(a +AC )=h ：l ，解得AC =
h l ah -. （2）∵AB ∥OP ，∴△ABC ∽△OPC ．∴l h OC AC OP AB ==，即h l h AC OC AC -=-，h
l h OA AC -=，∴AC =OA h l h ⋅-.同理，可得DA =A O h l h '⋅-.∴DA + AC =h
l hm A O OA h l h -='+⋅-)(是定值. （3）根据题意，设李华由A 到A ′，身高为A ′B ′，A ′C ′代表其影长（如下图），由（1）可知OP
AB OC AC =,即OC AC l h =,∴l h l OC AC OC OC OA -=-=，同理可得l h l C O A O -=''，∴C O A O AC OA '
'=,由等比性质，得l
h l OC C O OA A O C C A A -=-'-'=''，当李华从A 到A ′的时候，他的影子也从C 到C ′，因此速度与路程成正比，∴l h l v v C C A A -==''21，所以人影顶端在地面上移动的速度为h
l lv v -=12.
5．（1）设经过t 秒后△CPQ ∽△CBA ，则有QC ：PC =AC ：BC ＝3：4，即t ：( 8-2t )=3：4，解得t =2.4秒；
（2）设经过x 秒后以C 、P 、Q 为顶点的三角形恰与△ABC 相似，则
（1）当△CPQ ∽△CAB 时，因为AC ：BC =3：4，所以PC ：QC =3：4，即（8-2x ）：x =3：4，解得x =
11
32； 当△CPQ ∽△CBA 时，因为AC ：BC =3：4，所以QC ：PC =3：4，x ：（8-2x ）=3：4，解得
x =2.4 .。