湖南省醴陵二中、醴陵四中2018-2019学年高一上学期期末联考数学试题 Word版含解析

湖南省醴陵二中、醴陵四中2018-2019学年高一上学期期末联考数学试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.直线与直线垂直，则等于（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：由于直线y=2x+1的斜率为2，所以直线y=kx的斜率存在，两条直线垂直，利用斜率之积为-1，直接求出k的值．
解答：解：直线y=kx与直线y=2x+1垂直，由于直线y=2x+1的斜率为2，
所以两条直线的斜率之积为-1，
所以k=
故选C．
点评：本题考查两条直线垂直的斜率关系，考查计算能力，是基础题．
2.已知空间两点，，则、两点间的距离是（）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
∵空间两点P(－1,2，－3)，Q(3，－2，－1)
∴
故选：A
B1C1D1为正方体，异面直线AD与CB1所成的角是（）
3.如图，ABCD-A
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由AD∥BC，知∠BCB1是异面直线AD与CB1所成的角，由此能求出异面直线AD与CB1所成的角的大小．
【详解】
解：ABCD-A1B1C1D1为正方体中，
∵AD∥BC，
∴∠BCB1是异面直线AD与CB1所成的角，
∵∠BCB1=45°，
∴异面直线AD与CB1所成的角为45°．
故选：B．
【点睛】本题考查异面直线所成角，考查空间想象能力，属基础题．
4.若M（x0，y0）为圆x2+y2=r2（r＞0）上一点，则直线x0x+y0y=r2与该圆的位置关系为（）
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 相切或相交
【答案】A
【解析】
【分析】
先求圆心到直线距离，再与半径比较大小作判断.
【详解】因为M（x0，y0）为圆x2+y2=r2（r＞0）上一点，所以
因此圆心O到直线x0x+y0y=r2距离为，即直线x0x+y0y=r2与该圆相切，选A. 【点睛】本题考查直线与圆位置关系，考查基本分析判断能力，属基础题.
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-D1C1-C的大小等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由题意找出二面角A-D1C1-C的平面角，即可求结果．
【详解】
解：如图，连接AD1，BC1，
∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，D1C1⊥平面BCC1B1，
∴D1C1⊥C1C，D1C1⊥C1B，
则∠BC1C为二面角A-D1C1-C的平面角，等于45°．
故选：B．
【点睛】本题考查二面角的平面角，挖掘题中隐含垂直关系是解题关键，属基础题．
6.设a，b，c是空间的三条直线，给出以下三个命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
②若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面；
③若a∥b，b∥c，则a∥c．
其中正确命题的个数是（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
由线线的垂直的性质判①断；由线线的位置关系判断②；③若，则，由平行的传递性判断.
【详解】①若，则，垂直于同一直线的两条直线相交、平行、异面皆有可能，故命题不正确.
②若和共面和共面，则和也共面，线线间共面关系不具有传递性，与相交，则，
可以是异面关系，故命题不正确.
③若，则，此时空间两直线平行公理，是正确命题，故选B.
【点睛】空间直线、平面等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.
7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）
A. 10
B. 12
C. 14
D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】
由三视图可得直观图，再根据梯形的面积公式计算即可
【详解】由三视图可画出直观图，如图，
所以该几何体中只有两个相同的梯形，
∴这些梯形的面积之和为×2×（2+4）×2=12，
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题．
8.圆上的动点到直线的最小距离为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意得，圆心为（2,2），半径r=1，由圆心到直线的最小距离公式可得，所以圆上动点到直线的最小距离为．
考点：考查圆上动点到直线的最小距离.
9.直线的方程为：，若直线不经过第二象限，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直线斜率与截距讨论不经过第二象限时所满足的条件，解得结果.
【详解】若直线斜率不存在，即不经过第二象限，
若直线斜率存在，即，所以，
综上实数的取值范围为，选C.
【点睛】本题考查直线方程，考查空基本分析与求解能力，属于中档题．
10.已知H是球O的直径AB上的一点，AH：HB=1：2，AH⊥平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设球的半径为R，根据题意知截面与球心距离为R，而截面圆的半径可求得为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形求出该球的半径，进而求出球的表面积．
【详解】解：设球的半径为R，∵AH：HB=1：2，∴平面α与球心的距离为R，
∵截球O所得截面的面积为π，
∴截面圆的半径r=1，
故R2=12+（R）2，∴R2=
∴球的表面积S=4πR2=．
故选：B．
【点睛】本题考查球的表面积公式以及球截面，考查基本分析求解能力，属基础题．
11.过点的直线与圆交于两点，为圆心，当最小时，直线的方程是 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由圆的几何性质知，圆心角最小时，弦的长度最短，此时应有，
直线方程为，即，故选D．
点晴：本题主要考查圆的几何性质及解析几何求最值，属于难题.解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题利用圆的几何性质得到圆心角最小时，弦的长度最短，从而得到结果的.
12.如图，在正三棱锥P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=30°，PA=PB=PC=2，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将三棱锥的侧面展开，则所求最短距离可转化为求AA1的长度，利用勾股定理即可得到答案．
【详解】
解：将三棱锥由PA展开，则∠APA1=90°，所求最短距离为求AA1的长度
∵PA=2，
∴由勾股定理可得AA1=．
虫子爬行的最短距离．
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是多面体和旋转体表面上的最短距离问题，其中将三棱锥的侧面展开，将空间问题转化为平面上两点间距离问题，是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.如图所示正方形O'A'B'C'的边长为2cm，它是一个水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据原几何图形的面积与直观图的面积之比可快速的计算出答案．
【详解】解：由直观图可得：原几何图形的面积与直观图的面积之比为：1
又∵正方形O'A'B'C'的边长为2cm，
∴正方形O'A'B'C'的面积为4cm2，
原图形的面积S=cm2，
【点睛】本题考查平面图形的直观图，考查直观图面积和原图面积之间关系，属基础题．14.已知圆x2+y2=1与圆x2+y2-6x-8y+m=0相离，则m的取值范围______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，由圆与圆的位置关系可得不等式，解得m的取值范围．
【详解】解：根据题意，圆x2+y2=1的圆心为（0，0），半径r=1，
圆x2+y2-6x-8y+m=0，即（x-3）2+（y-4）2=25-m，圆心为（3，4），半径为，若圆x2+y2=1与圆x2+y2-6x-8y+m=0相离，
则两圆内含或外离，即或
解得：9＜m＜25或m＜-11
【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，注意分析圆的圆心与半径，属于基础题．
15.已正知方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是B1D1上一点，且PQ∥平面AB1D，则线段PQ长为______．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据线面平行性质定理得线线平行，进而确定点Q位置，最后根据中位线的性质求得PQ．【详解】解：
∵PQ∥平面AA1B1B，PQ平面AD1B1，AB1=平面AA1B1B平面AD1B1
∴PQ∥AB1，
∵点P是面AA1D1D的中心，
∴P是AD1的中点，∴Q是B1D1的中点
∴PQ=AB1=
【点睛】本题考查线面平行性质定理，考查推理论证求解能力，是中档题．
16.如图，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若x，y分别是M到直线
和的距离，则称有序非负实数对（x，y）是点M的“距离坐标”．已知常数p≥0，q≥0，给出下列三个命题：
①若p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且只有1个；
②若pq=0，且p+q≠0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且只有2个；
③若pq≠0则“距离坐标”为（p，q）的点有且只有4个．
上述命题中，正确命题的是______．（写出所有正确命题的序号）
【答案】①②③
【解析】
【分析】
根据题目中“距离坐标”定义，分别验证①②③是否成立．
【详解】解：①p=q=0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且只有1个，此点为点O．故①正确；
②因为pq=0，且p+q≠0，所以p，q中有且仅有一个为0，不妨设p为0，则坐标点在上，与直线相距为q（q≠0）的两条平行线与直线有且仅有两个交点；故②正确；
③因为pq≠0，所以p≠0,q≠0,此时与直线相距为p的两条平行线和与直线相距为q的两条平行线有且仅有四个交点交点；故③正确；
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查新定义与直线位置关系，考查基本分析判断能力，属中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知直线l：（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0．
（1）求证：不论m为何实数，直线恒过一定点；
（2）过点M（-1，-2）作一条直线，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线的方程．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用直线系列出方程组，即可得到直线恒过一定点；
（2）设出直线的方程，求出AB坐标以及中点坐标，即可求解直线方程．
【详解】解：（1）证明：∵m（x-2y-3）+2x+y+4=0
∴由得
∴直线恒过定点（-1，-2）．
（2）解：由题意所求直线斜率存在且不为零，设所求直线的方程为y+2=k（x+1），
则，B（0，k-2）．
∵AB的中点为M，
∴解得k=-2．
∴所求直线的方程为2x+y+4=0．
【点睛】本题考查直线方程过定点以及直线方程的求法，考查转化思想及计算能力，属中档题．
18.如图是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图和三视图．（单位：cm）
（1）求该多面体的体积；
（2）在所给直观图中连结BC′，证明：BC′∥平面EFG．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据长方体体积减去正三棱锥体积得结果．
（2）根据线面平行判定定理证结论．
【详解】（1）解：由题意可得，所求多面体体积：
V=V长方体-V正三棱锥==；
（2）证明：在长方体ABCD-A'B'C'D'中，
连结AD'，则AD'∥BC'．
因为E，G分别为AA'，A'D'中点，
所以AD'∥EG，
从而EG∥BC'．又BC'平面EFG，EG平面EFG，
所以BC'∥面EFG．
【点睛】本题主要考查三视图以及线面平行判定定理，考查基本分析论证与求解能力，属基础题．
19.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．
求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；
(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
试题分析：（1）要证，只需证、，只需证
、，而四边形、四边形皆为平行四边形，所以得证；（2）要证，只需证，只需证、，其中易知可得，△A1B1C1为正三角形可得，从而得证．
试题解析：（1）连接，在三棱柱中，由为棱的中点，所以
，四边形是平行四边形,所以,又
,则.又在矩形中可得,且,，则,而，
且，所以．
（2）因为，，所以，又因为△A1B1C1为正三角形，的中点，所以，又，所以，因为
，所以．
考点：（1）面面平行的判定；（2）面面垂直的判定．
20.已知圆的圆心在直线上，半径为，且圆经过点和点．
①求圆的方程．
②过点的直线截图所得弦长为，求直线的方程．
【答案】①.②. 或．
【解析】
试题分析：
①.由题意设出圆心坐标，结合圆经过的点得到方程组，求解方程组计算可得圆的方程为．
②.分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况可得直线的方程为或
．
试题解析：
①由题意可知，
设圆心为．
则圆为：，
∵圆过点和点，
∴，
则．
即圆的方程为．
②设直线的方程为即，
∵过点的直线截图所得弦长为，
∴，则．
当直线的斜率不存在时，直线为，
此时弦长为符合题意，
即直线的方程为或．
21.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．
（1）证明：平面EAC⊥平面PBD；
（2）若PD∥平面EAC，求三棱锥P-EAD的体积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）由线线垂直得线面垂直AC⊥平面PBD，再根据面面垂直判定定理得结果．
（2）根据等体积法得，再根据锥体体积公式得结果. 【详解】(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD．
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．
而AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．
（2）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，
∴PD∥OE，
∵O是BD中点，∴E是PB中点．
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴三角形ABD为正三角形．
∵PD⊥平面ABCD，
∴
==．
【点睛】本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
22.已知圆心在x轴正半轴上的圆C与直线5x+12y+21=0相切，与y轴交于M，N两点，且
∠MCN=120°．
（1）求圆C的标准方程；
（2）过点P（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点D，E，若时，求直线l的方程；
（3）已知Q是圆C上任意一点，问：在x轴上是否存在两定点A，B，使得？若存在，求出A，B两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（I）；（II）或；（III）存在，或，满足题意.
【解析】
【分析】
设圆C的方程为，利用点C到直线的距离为
，求出a，即可求圆C的标准方程；
Ⅱ设直线l的方程为即，则由题意可知，圆心C到直线l的距离，即可求出k的值，
Ⅲ方法一：假设在x轴上存在两定点，，设是圆C上任意一点，由题意可得则，即可求出a，b的值，
方法二：设是圆C上任意一点，由得，对照圆C的标准方程
即，可得，解得即可．
【详解】解：Ⅰ由题意知圆心，且，
由知中，，，则，
于是可设圆C的方程为
又点C到直线的距离为，
所以或舍，
故圆C的方程为，
Ⅱ设直线l的方程为即，则由题意可知，圆心C到直线l的距离，故，解得，
又当时满足题意，
因此所求的直线方程为或，
Ⅲ方法一：假设在x轴上存在两定点，，设是圆C上任意一点，则
即，
则，
令，
解得或，
因此存在，，或，满足题意，
方法二：设是圆C上任意一点，
由得，
化简可得，
对照圆C的标准方程即，
可得，
解得解得或，
因此存在，或，满足题意．
【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，考查了运算能力和转化能力，以及分析解决问题的能力，属于中档题．。