一模理含答案 高考数学模拟试题集

智才艺州攀枝花市创界学校2021
年高三年级第一次调研
考试
数学〔理科〕2021．3
本套试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部．第一卷为第1页至第2页，第二卷为第3页至第6页．总分值是150分，考试时间是是120分钟．
第一卷(选择题，一共40分)
本卷须知：
小答题卡上．同时，用黑模拟答题卡上．
2．每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把模拟答题卡上对应题目之答案标号涂黑；最后，需要用2B 铅笔将模拟答题卡上之答案转涂到小答题卡上，不能答在试题卷上． 3．在在考试完毕之后以后，将模拟答题卡和小答题卡一起交回．
参考公式：
1
S 3
V h 锥体＝S -锥体的底面积h -锥体的高
24R V π球面＝R -球的半径
一．选择题：本大题一一共8个小题；每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四
个选项里面，有且只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的． 1．()i i bi a ⋅-=+1(,,a R b R i ∈∈为虚数单位),那么a 、b 的值分别是
A ．i i -,
B ．1,1
C ．1,1-
D ．1,-i 2．函数2
1
cos cos sin 32-
+=x x x y 的最小正周期是 A ．
4πB ．2
π
C ．π
D ．π2 3.:14p x +≤,2
:56q x x <-,那么p 是q 的
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
4．直线l 、m ,平面βα、
A ．假设βα//，α⊂l ,那么β//l ；
B ．假设βα//，α⊥l ,那么β⊥l ；
C ．假设α//l ，α⊂m ,那么m l //；
D ．假设βα⊥，l =⋂βα,α⊂m ,l m ⊥,那么β⊥m .
5．函数()x f 是定义域为R 的偶函数,且()()x f x f =+2,假设()x f 在[]0,1-上是减函数,那么()x f 在[]3,2上是
A ．增函数
B ．减函数
C ．先增后减的函数
D ．先减后增的函数
6.以椭圆
19
252
2=+y x 的长轴的两个端点为焦点，准线过椭圆焦点的双曲线的渐近线的斜率为
A ．21±
B ．3
4
±C ．2± D ．43±
7.{(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+≤≥≥，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =≤≥-≥，假设向区域Ω上随机投一点P ，那么点P 落入区域A 的概率为 A ．
31 B ．32 C ．9
1
D ．92 8．一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形,俯视图是直径为2的圆,那么此几何体的外接球的外表积为 A ．π3
4 B ．π38 C ．
π3
16 D ．
π3
32
第二卷(非选择题一共110分)
本卷须知:
第二卷全部是非选择题，必须在答题卡非选择题答题区域内，用黑色钢笔或者签字笔答题，不能答在试卷上，否那么答案无效．
二．填空题：本大题一一共9个小题,分必做题和选做题，每一小题5分，一共30分．
必做题：考生必须答题第9至第12题．
9．(ax －
x
1)8
的展开式中2
x 的系数为70，那么a 的值是
；
10.下面是一个算法的程序框图，当输入的值是x 5时，那么其输出的结果是；
11．在直角坐标平面内，由直线1,0,0x x y ===和抛物线2
2y x =-+所围成的平面
区域的面积是；
12．如以下列图，第〔1〕个多边形是由正三角形“扩展“而来，第〔2〕个多边形是由
正四边形“扩展〞而来，……n 边形“扩展〞而来的多边形的边数为n a ， 那么6a =；
34599
1111a a a a +++⋅⋅⋅+＝.
13．实数x y z 、、满足132=++z y x ，那么2
2
2
z y x ++的最小值为； 14．在极坐标系中，点A 〔1，43π〕和B )4
,2(π
,那么A 、B 两点间的间隔是；
15．如图，AB 是半圆O 的直径，C 在半圆上，CD AB ⊥于D ，
且DB AD 3=，设COD θ∠=，那么2tan 2
θ
＝.
三．解答题：本大题6小题，一共80分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤． 16．〔此题总分值是12分〕
A 、
B 、
C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c .
假设m ＝()C B sin ,cos ，n ＝()B C sin ,cos -，且2
1=⋅n m ． 〔Ⅰ〕求A ；
〔Ⅱ〕假设a ＝32，三角形面积S ＝3，求c b +的值.
A
O
D B
C
17．〔本小题总分值是13分〕
某小组有7个同学，其中4个同学从来没有参加过数学研究性学习活动，3个同学曾经参加过数学研究性学习活动.
〔Ⅰ〕现从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率；
〔Ⅱ〕假设从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，活动完毕以后，该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学个数ξ是一个随机变量，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ.
18．〔本小题总分值是14分〕
如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ，
2==AB PA ，4=BC .E 是PD 的中点.
〔Ⅰ〕求证：平面PDC ⊥平面PAD ；
〔Ⅱ〕求二面角D AC E --所成平面角的余弦值； 〔Ⅲ〕求B 点到平面EAC 的间隔.
19．〔本小题总分值是13分〕
P
B
E
D
C
A
函数()log a f x x =和()2log (22),(0,1,)a g x x t a a t R =+->≠∈的图象在
2x =处的切线互相平行.
(Ⅰ)求t 的值；
〔Ⅱ〕设)()()(x f x g x F -=，当[]1,4x ∈时，()2F x ≥恒成立，求a 的取值范围.
20．〔此题总分值是14分〕
数列{}n a 、{}n b 、{}n c 的通项公式满足n n n a a b -=+1，n n n b b c -=+1〔*
∈N n 〕，
假设数列{}n b 是一个非零常数列，那么称数列{}n a 是一阶等差数列；假设数列{}n c 是一个非零常数列，那么称数列{}n a 是二阶等差数列.
(Ⅰ)试写出满足条件11=a 、11=b 、1=n c 的二阶等差数列{}n a 的前五项； 〔Ⅱ〕求满足条件〔1〕的二阶等差数列{}n a 的通项公式n a ；
〔Ⅲ〕假设数列{}n a 首项21=a ，且满足)(2311*
++∈-=+-N n a b c n n n n ，求数
列{}n a 的通项公式.
21．〔此题总分值是14分〕
点H 〔－3，0〕，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足0HP PM ⋅=，3
2
PM =-
MQ . 〔Ⅰ〕当点P 在y 轴上挪动时，求点M 的轨迹C ；
〔Ⅱ〕过定点(,0)(0)D m m >作直线l 交轨迹C 于A 、B 两点，E 是D 点关于坐标原
∠=∠；
点O的对称点，求证：AED BED
〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕中，是否存在垂直于x轴的直线l'被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值？假设存在求出l'的方程；假设不存在，请说明理由.
2021年高三年级第一次调研考试
理科数学答案及评分HY
说明：
一、本解答给出了一种或者几种解法供参考，假设考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考察内容比照评分HY制订相应的评分细那么．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，假设假设后续局部的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．
一、选择题：本大题每一小题5分，总分值是40分．
二、填空题：本大题每一小题5分(第12题前空2分，后空3分)，总分值是30分． 9．1±；10．2；11．
53；12．__42,97300
;
13.
1141
3
. 三、解答题
16．〔本小题总分值是12分〕
A 、
B 、
C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c .
假设m ＝()C B sin ,cos ，n ＝()B C sin ,cos -，且2
1
=⋅n m ． 〔Ⅰ〕求A ；
〔Ⅱ〕假设a ＝32，三角形面积S ＝3，求c b +的值.
解：〔Ⅰ〕∵m ＝()C B sin ,cos ，n ＝()B C sin ,cos -，且2
1=
⋅n m ∴2
1
sin sin cos cos =⋅-⋅C B C B ……………………………………2分 ∴()21
cos =
+C B ……………………………………3分 即()21
cos =-A π……………………………………4分
即－21cos =A ，又()π,0∈A ，∴π32
=A …………………………6分
〔Ⅱ〕33
2
sin 21sin 21=⋅=⋅=∆πbc A bc S ABC ，∴4=bc …………………8分
又由余弦定理得：bc c b bc c b a ++=-+=2
20222120cos 2……………10分
∴16＝()2
c b +，故4=+c b ………………………12分
17．〔本小题总分值是13分〕
某小组有7个同学，其中4个同学从来没有参加过数学研究性学习活动，3个同学曾经参加过数学研究性学习活动.
〔Ⅰ〕现从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率；
〔Ⅱ〕假设从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，活动完毕以后，此时该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学个数ξ是一个随机变量，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ.
解：〔Ⅰ〕记“恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学〞为事件的A ,那么其概率为
.74
)(2
7
1
314==C C C A P …………………………………………5分 〔Ⅱ〕随机变量4,3,2=ξ
;72
)2(2724===C C P ξ……………………7分
;74
)3(2
7
1314===C C C P ξ…………………………9分 ;7
1
)4(2723===C C P ξ………………………………11分
∴随机变量ξ的分布列为
∴.7
20
714743722=⨯+⨯+⨯=ξE …………………………13分
18.〔本小题总分值是14分〕
如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ，
2==AB PA ，4=BC .E 是PD 的中点，
〔Ⅰ〕求证：平面PDC ⊥平面PAD ；
〔Ⅱ〕求二面角D AC E --所成平面角的余弦值； 〔Ⅲ〕求B 点到平面EAC 的间隔.
解法一：〔Ⅰ〕ABCD PA 平面⊥ ABC CD 平面⊂CD PA ⊥∴…………2分
是矩形ABCD CD AD ⊥∴
P
B E
D C A
而A AD PA =⋂PAD CD 平面⊥∴……………4分PDC CD 平面⊂
PDC PAD ∴⊥平面平面………………………5分
〔Ⅱ〕连结AC 、EC ，取AD 中点O ，连结EO ，那么PA EO //, ∵⊥PA 平面ABCD ，∴⊥EO 平面ABCD ， 过O 作AC OF ⊥交AC 于F ，连结EF ，
那么EFO ∠就是二面角D AC E --所成平面角.………………………7分 由2=PA ，那么1=EO .
在ADC Rt ∆中，h AC CD AD ⨯=⨯解得=
h 5
5
4 因为O 是AD 的中点，所以5
5
2=
OF ………………………8分 而1=EO ，由勾股定理可得5
5
3=
EO ………………………9分 32
5
5
355
2cos =
==∠EF OF EFO ………………………10分
〔Ⅲ〕连结BE ，在三棱锥AEC B -中，4422
1
21=⨯⨯=⨯=
∆BC AB S ABC 35
5
3522121=⨯⨯=⨯=
∆EO AC S AEC ……………………12分 点E 到底面BAC 的间隔1=EO ，
那么由ABC E AEC B V V --=，即
EO S h S ABC B AEC ⨯=∆∆3
1
31………13分
1431331⨯⨯=⨯⨯B h 求得3
4=B h 所以B 点到平面EAC 的间隔是
3
4
.………………………14分 解法二：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴
建立空间直角坐标系，那么A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，4，0)，D (0，4，0)，
E (0，2，1)，P (0，0，2).………………………2分
∴AB ＝(2，0，0)，AD ＝(0，4，0)，AP ＝(0，0，2)，CD ＝(－2，0，0)，
AE ＝(0，2，1)，AC ＝(2，4，0)，………………………3分
〔Ⅰ〕0=⋅AD CD AD CD ⊥∴
又0=⋅AP CD AP CD ⊥∴………………………5分
A AD AP =⋂
PAD CD 平面⊥∴而PDC CD 平面⊂
∴平面PDC ⊥平面PAD .………………………7分 〔Ⅱ〕设平面AEC 的法向量(,,)n x y z =
由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AC n AE n 即()()()()⎪⎩
⎪
⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=+⇒⎩⎨⎧=⋅=⋅21104201200,4,21,,01,2,01,,y x y x y y x y x
∴n =⎪⎭
⎫
⎝⎛
-
1,21,1.………………………9分 平面ABC 的法向量AP ＝(0，0，2)，
3
222
32,cos =
⨯=
=
〉〈AP n AP n
所以二面角D AC E --所成平面角的余弦值是3
2
.……………………11分
〔Ⅲ〕设点B 到平面AEC 的间隔为h ，
AB ＝(2，0，0)，n =⎪⎭
⎫
⎝⎛-1,21,1.………………………12分
那么h
342
32==
所以B 点到平面EAC 的间隔是
3
4
.………………………14分 19.〔本小题总分值是13分〕
函数()log a f x x =和()2log (22),(0,1,)a g x x t a a t R =+->≠∈的图象在2x =处的切线互相平行.
(Ⅰ)求t 的值；
〔Ⅱ〕设)()()(x f x g x F -=，当[]1,4x ∈时，()2F x ≥恒成立，求a 的取值范围. 解：(Ⅰ)
14()log ,()log 22
a a f x e g x e x x t ''=
=+-………………………3分 ∵函数()f x 和()g x 的图象在2x =处的切线互相平行
(2)(2)f g ''∴=…………………………………………………5分
14
log log 22
a a e e t ∴=+ 6t ∴=………………………………………………………………6分
〔Ⅱ〕
6t =
()()()F x g x f x ∴=-2log (24)log a a x x =+－
[]2
(24)log ,1,4a x x x +=∈…………………………………………7分
令[]2(24)16
()416,1,4x h x x x x x
+=
=++∈ []22164(2)(2)()4,1,4x x h x x x x
-+'=-
=∈ ∴当12x ≤<时，()0h x '<,当24x <≤时，()0h x '>.
∴)(x h 在[)1,2是单调减函数，在(]2,4是单调增函数.…………………………9分
min ()(2)32h x h ∴==，()(1)(4)36max h x h h ∴===
∴当10<<a 时，有min ()log 36a F x =，当1>a 时，有min ()log 32a F x =. ∵当[]1,4x ∈时，()2F x ≥恒成立,∴min ()2F x ≥…………………………11分 ∴满足条件的a 的值满足以下不等式组
01,log 362;a a <<⎧⎨
≥⎩①，或者1,log 32 2.a
a >⎧⎨≥⎩②
不等式组①的解集为空集，解不等式组②得1a <≤综上所述，满足条件的a
的取值范围是：1a <≤……………………13分 20．〔本小题总分值是13分〕
数列{}n a 、{}n b 、{}n c 的通项公式满足n n n a a b -=+1，n n n b b c -=+1〔*∈N n 〕，
假设数列{}n b 是一个非零常数列，那么称数列{}n a 是一阶等差数列；假设数列{}n c 是一个非零常数列，那么称数列{}n a 是二阶等差数列。

(Ⅰ)试写出满足条件11=a 、11=b 、1=n c 的二阶等差数列{}n a 的前五项；
〔Ⅱ〕求满足条件〔1〕的二阶等差数列{}n a 的通项公式n a ；
〔Ⅲ〕假设数列{}n a 首项21=a ，且满足)(2311*
++∈-=+-N n a b c n n n n ，求数列
{}n a 的通项公式.
解：(Ⅰ)11=a ，22=a ，43=a ，74=a ，115=a ………………4分 〔Ⅱ〕依题意 ,3,2,1,11===-+n c b b n n n 所以
11232211)()()()(b b b b b b b b b b n n n n n n n +-++-+-+-=-----
.1111n =+⋅⋅⋅++++=……………………6分
又 ,3,2,1,1===-+n n b a a n n n 所以
11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----
112)2()1(++++-+-= n n 2
2
12)1(2+-=+-=
n n n n ………………8分
〔Ⅲ〕由1
123++-=+-n n n n a b c ，可得
11123+++-=+--n n n n n a b b b ，
即1
23+=-n n n a b ，
∴1
124+++=n n n a a ……………10分
解法一：整理得:)2(42
1
1n n n n a a +=+++,……………12分 因此数列{}
n
n a 2+是首项为421=+a ,公比为4的等比数列,
∴n n n n a 44
421
=⋅=+-, 即n
n n a 24-=……………14分
解法二：在等式1
124+++=n n n a a 两边同时除以12+n 得：
12
2211+⋅=++n
n
n n a a ……………11分 令n
n
n a k 2=
，那么121+=+n n k k ,即)1(211+=++n n k k . 故数列{}1+n k 是首项为2,公比为2的等比数列.……………12分
所以n n n k 22
211
=⋅=+-，即12-=n n k ∴n
n n n n n n k a 24)12(22-=-==……………14分
解法三：∵21=a ，
∴)12(212222-⨯==a ，)12(256333-⨯==a ，)12(2324
44-⨯==a … 猜想：n
n n n n a 24)12(2-=-=……………12分
下面用数学归纳法证明如下：
〔ⅰ〕当1=n 时，2421-==a ，猜想成立；
〔ⅱ〕假设k n =时，猜想成立，即k
k k a 24-=
那么当1+=k n 时，
()11111242)24(424+++++-=+-=+=k k k k k k k k a a ，结论也成立
∴由(ⅰ)、(ⅱ〕可知，n
n n a 24-=……………14分
21.〔本小题总分值是14分〕
点H 〔－3，0〕，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满足
0HP PM ⋅=，3
2
PM =-
MQ . 〔Ⅰ〕当点P 在y 轴上挪动时，求点M 的轨迹C ；
〔Ⅱ〕过定点(,0)(0)D m m >作直线l 交轨迹C 于A 、B 两点，E 是D 点关于坐标原点O 的对称点，求证：AED BED ∠=∠；
〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕中，是否存在垂直于x 轴的直线l '
为定值？假设存在求出l '
解：〔Ⅰ〕设(,),(0,),(,0)(0)M x y P y Q x x '''>
3
,2
PM MQ =-0.HP PM ⋅=
3
(,)(,)2
x y y x x y ''∴-=---且(3,)(,)0y x y y ''⋅-=…………………2分
211
,,30.32x x y y x yy y ''''∴==-+-=…………………3分
24(0)y x x ∴=>………………………………………………4分
∴动点M 的轨迹C 是以O 〔0，0〕为顶点，以〔1，0〕为焦点的抛物线〔除去原点〕.
…………………………………………5分
〔Ⅱ〕解法一：〔1〕当直线l 垂直于x 轴时，根据抛物线的对称性，有AED BED ∠=∠；
……………6分
〔2〕当直线l 与x 轴不垂直时，依题意，可设直线l 的方程为()(0,0)y k x m k m =-≠>，
1122(,),(,)A x y B x y ，那么A ，B
2
()
4(0)
y k x m y x x =-⎧⎨=>⎩ 消去x
并整理，得
2440ky y km --=
12124
,4y y y y m k
∴+=
=-……………7分 设直线AE 和BE 的斜率分别为12k k 、，那么
12k k +＝1212y y x m x m +++122112()()()()y x m y x m x m x m +++=++221221121211()
44()()
y y y y m y y x m x m +++=++ 121212121
()()
4()()y y y y m y y x m x m +++=++12144(4)()4
0()()m m k k x m x m -+==++…………………9分 tan tan(180)0AED BED ∴∠+︒-∠=
tan tan AED BED ∴∠=∠ 02AED π<∠<，02
BED π
<∠<
AED BED ∴∠=∠.
综合〔1〕、〔2〕可知AED BED ∠=∠.…………………10分
解法二：依题意，设直线l 的方程为(0)x ty m m =+>，1122(,),(,)A x y B x y ，那么A ，B 两点的坐标满足方程组
2
4(0)
x ty m
y x x =+⎧⎨=>⎩
消去x 并整理，得
2440y ty m --=
12124,4y y t y y m ∴+==-……………7分
设直线AE 和BE 的斜率分别为12k k 、，那么
12k k +＝1212y y x m x m +++122112()()()()y x m y x m x m x m +++=++221221121211()
44()()
y y y y m y y x m x m +++=++ 121212121()()4()()y y y y m y y x m x m +++=++121(4)(4)440()()m t mt x m x m -+==++…………………9分
tan tan(180)0AED BED ∴∠+︒-∠=
tan tan AED BED ∴∠=∠ 02AED π<∠<，02
BED π
<∠<
AED BED ∴∠=∠.……………………………………………………10分
〔Ⅲ〕假设存在满足条件的直线l '，其方程为x a =，AD 的中点为O '，l '与AD 为直径的圆相交于点F 、G ，FG 的中点为H ，那么O H FG '⊥，O '点的坐标为11
(
,)22
x m y +
. 12
O F AD '=
== 111
222
x m O H a a x m +'=-
=-- 2
2
2
FH O F O H ''∴=-22
11111()4(2)44
x m x a x m ⎡⎤=
-+---⎣⎦ 1(1)()a m x a m a =-++-…………………………12分
[]2
21(2)4(1)()FG FH a m x a m a ∴==-++-
令10a m -+=，得1a m =- 此时，24(1)FG m =-
∴当10m ->，即1m >时，FG =
∴当1m >时，满足条件的直线l '存在，其方程为1x m =-；当01m <≤时，满足条件的直线l '不存在.…………………………14分。