陇东学院《线性代数》试题及答案 (6)

试卷说明：在本卷中，T
A 表示矩阵A 的转置矩阵，*
A 表示矩阵A 的伴随矩阵，()R A 表示
矩阵A 的秩，A 表示A 的行列式，E 表示单位矩阵。

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号
内。

错选、多选或未选均无分。

1、若三阶矩阵A 的行列式2A =，则2A -=______ ( A )
A 、-16；
B 、8；
C 、16；
D 、-8；
2、设,A B 为n 阶方阵，则下列等式中肯定正确的是( A )
A 、A
B A B =； B 、A B A B +=+；
C 、A B A B -=-；
D 、A B A B =；
3、设A 为n 阶实矩阵，则A 为正交矩阵的充分必要条件是( C )
A 、1AA E
-=；B 、T A A =；C 、1
T A A -=； D 、1A =；
4、已知齐次方程组0Ax =的系数矩阵A 为43⨯矩阵，且()2R A =，则该方程组基础解系所含解向量的个数为( A )
A 、1；
B 、2；
C 、3；
D 、4；
5、设1234,,,αααα是一组n 维向量，其中123,,ααα线性相关，则有 （D ） A 、123,,
ααα中必有零向量 B 、12,αα必然线性相关
C 、23,αα必然线性无关
D 、1234,,,αααα必然线性相关
二、填空题（本大题共5小题，每空3分，共15分）
请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

1、设1132A -⎛⎫=
⎪
⎝⎭
,则1
A -=_______2/51/53/51/5⎛⎫ ⎪-⎝⎭___________； 2、设矩阵A 有一个特征值为2，则矩阵2
1
42A A E -+-肯定有一个特征值___4___ 3、已知三维向量11
(,
,)22
T
x α=是单位向量，则x =_2____； 4、设A 是
43⨯矩阵，()2R A =，若B 是可逆的三阶方阵，则()R AB =__ 2 _；
5、二次型()222
12312313,,2f x x x x x x x x =+++对应的矩阵是___101010101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
________。

三、计算题（本题共6小题，合计62分）
1、 求行列式113
2
11123
--的值 （8分） 解：原式=11
3
150
3
--=1530-=15
2、 计算行列式11111
1
n x x D x =
的值；（10分）
解：原式=
(1)
11(1)1(1)
1x n x n x x n x
+-+-+-
11111[(1)]
1
1
x x n x
=+-
1
00110[(1)]
1
1
x x n x -=+--1[(1)](1)n x n x -=+--
3、 设矩阵110101121,021101210A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，求23BA B -及T T
A B 的
值（10分）
解：101110211021121343210101341BA ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪ ⎪
== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2111011212323433021623341210052BA B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
T T A B =()T BA 233144131⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
4、 设n 阶方阵A 满足2
2A A E O --=，求证A 及2A E +可逆，并求
1A -和()1
2A E -+。

（10分）
解：由
2A A E O --=，可以有()2A A E E -=，所以有：()20A A
E E -=≠，故有
0A ≠，因此，A 可逆。

而2A E A
E -=，所以：12
A E
A --= 又因为2
2A E A +=，所以220A E A +=≠，所以2A E +可逆，
而且：()1
12
2()A E A --+=2
()4
A E -=
5、设线性方程组1231231
231331x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪++=-⎩
（1）求出该非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组的通解；（2）判断该非齐次线性方程组是否有解，并说明理由；（3）如果该非齐次线性方程组有解，求出它的通解；（12分） 解：方程组的增广矩阵
3221
23112(2)111111111012111302020101131102020000r r r r r r r r r +-÷---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-−−−→-−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
1） 对应的齐次方程组可化为1320
x x x +=⎧⎨
=⎩，选定3x 做为自由未知量，所以齐次方程组的基
础解系是101ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其通解是10,()1k k R -⎛⎫ ⎪
∈ ⎪ ⎪⎝⎭
2） 因为系数矩阵的秩与增广矩阵的秩都等于2，所以，非齐次方程组有解。

3） 对应的非齐次方程组可化为1322
1
x x x +=⎧⎨
=-⎩，所以，可以求的非齐次方程组的一个特解
210η⎛⎫ ⎪
=- ⎪
⎪
⎝⎭
，所以其通解可写成1201,()10k k R -⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪+-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 6、设二次型22
123121223(,,)244f x x x x x x x x x =+--（12分）
（1）写出二次型f 的矩阵A ；（2）求出矩阵A 的特征值与特征向量；（3）求一个正交变换化上述二次型为标准形；
解：1）二次型的矩阵220212020A -⎛⎫
⎪
=-- ⎪ ⎪-⎝⎭
；
2）32220
2
123680
2
A E λ
λλλλλλ
---=---=-++---=(1)(4)(2)λλλ=---+ 所以特征值取1232,1,4λλλ=-==
当12λ=-时，解方程组(2)0A E x +=，420101/22232~01
1022000A E --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
+=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
解得基础解系1122ξ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪
⎝⎭，所以12λ=-对应的所有特征向量是11112(,0)2k k R k ⎛⎫
⎪∈≠ ⎪ ⎪⎝⎭
当21λ=时，解方程组()0A E x -=，解得基础解系2212ξ-⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以21λ=对应的所有特
征向量是22221(,0)2k k R k -⎛⎫ ⎪
-∈≠ ⎪ ⎪⎝⎭
当34λ=时，解方程组(4)0A E x -=，解得基础解系3221ξ⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以34λ=对应的所有
特征向量是33322(,0)1k k R k ⎛⎫ ⎪
-∈≠ ⎪ ⎪⎝⎭
3)将123,,ξξξ分别单位化，得到123,,p p p ，取矩阵()123,,P p p p ==12212123221-⎛⎫ ⎪
-- ⎪ ⎪⎝⎭
，
则P 是一个正交矩阵，原二次型在正交变换x Py =下变成标准形12324f y y y =-++ 四、证明题（本题8分） 证明：向量组12:,n A ααα和它的任何一个极大线性无关组等价。

证明：不妨设向量组A 的秩是r ，而向量组120:,r
t t t A ααα是其任意一个极大线性无关组；
首先：因为向量组0A 是向量组A 的部分组，部分组一定可以被整体组线性表示，所以，向量组0A 可被向量组A 线性表示。

设α是向量组A 的任意向量，由于向量组0A 是极大无关组，所以向量组12,,r
t t t αααα一
定线性相关，因此，α一定可以由向量组0A 线性表示，由α的任意性，所以，向量组A 可
以被向量组0A 线性表示。

因此，两个向量组可以互相线性表示，它们等价。