2019-2020学年高中人教A版数学必修1精练：1-3-1-1 函数的单调性a Word版含解析

A 级：基础巩固练
一、选择题
1．对于函数y ＝f (x )，在给定区间上有两个数x 1，x 2，且x 1<x 2，使f (x 1)<f (x 2)成立，则y ＝f (x )( )
A ．一定是增函数
B ．一定是减函数
C ．可能是常数函数
D ．单调性不能确定
答案 D
解析 由单调性定义可知，不能用特殊值代替一般值． 2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－x C ．y ＝1
x D ．y ＝－x 2＋4
答案 A
解析 B 在R 上为减函数；C 在(－∞，0)上和(0，＋∞)上为减函数；D 在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．
3．若y ＝f (x )是R 上的减函数，对于x 1<0，x 2>0，则( ) A ．f (－x 1)>f (－x 2) B ．f (－x 1)<f (－x 2) C ．f (－x 1)＝f (－x 2) D ．无法确定
答案 B
解析 因为x 1<0，x 2>0，所以－x 1>－x 2，又y ＝f (x )是R 上的减函数，所以f (－x 1)<f (－x 2)．
4．函数y ＝x 2＋x ＋1(x ∈R )的递减区间是( )
A.⎣
⎢⎡⎭
⎪⎫－12，＋∞ B ．[－1，＋∞) C.⎝ ⎛
⎦⎥⎤－∞，－12 D ．(－∞，＋∞)
答案 C
解析 y ＝x 2
＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋122＋34，其对称轴为x ＝－1
2，在对称轴
左侧单调递减，∴当x ≤－1
2时单调递减．
5．已知f (x )在(－∞，＋∞)内是减函数，a ，b ∈R ，且a ＋b ≤0，则有( )
A ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )
B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )
C ．f (a )＋f (b )≤－f (a )－f (b )
D ．f (a )＋f (b )≥－f (a )－f (b ) 答案 A
解析 因为f (x )在(－∞，＋∞)内是减函数，a ，b ∈R, 且a ＋b ≤0，所以a ≤－b ，b ≤－a ，所以f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，所以f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．
二、填空题
6．若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．
答案 a ≤－3
解析 因为函数f (x )在区间(－∞，4]上单调递减，且函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝1－a ，所以1－a ≥4，即a ≤－3.
7．设函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈R 都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则f (－3)与f (－π)的大小关系是______．
答案 f (－3)>f (－π)
解析 由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，可知函数f (x )为增函数．又－3>－π，所以f (－3)>f (－π)．
8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
(a －3)x ＋5，x ≤1，2a
x ，x >1
是R 上的减函数，则
实数a 的取值范围是________．
答案 (0,2]
解析
依题意得实数a 应满足⎩⎪⎨⎪
⎧
a －3<0，2a >0，
(a －3)＋5≥2a ，
解得0<a ≤2. 三、解答题
9．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
3－x 2
，x ∈[－1，2]，
x －3，x ∈(2，5]，
(1)画出f (x )的图象；
(2)写出f (x )的单调递增区间及值域． 解 (1)f (x )的图象如下图．
(2)函数f (x )在[－1,0]及[2,5]上为增函数，在(0,2)上为减函数，所以单调递增区间为[－1,0]和[2,5]．
由图象知值域为[－1,3]．
B 级：能力提升练
10．函数f (x )对任意a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x >0时，f (x )>1.
(1)求证：f (x )是R 上的增函数；
(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x y ＝f (x )－f (y )，f (2)＝1，解不等式f (x )－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x －3≤2. 解 (1)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2， 则x 2－x 1>0，即f (x 2－x 1)>1.
所以f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0，
所以f (x 1)<f (x 2)，
所以f (x )是R 上的增函数．
(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x y ＝f (x )－f (y )，
所以f (y )＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x y ＝f (x )．
在上式中取x ＝4，y ＝2，则有f (2)＋f (2)＝f (4)， 因为f (2)＝1，所以f (4)＝2.
于是不等式f (x )－f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1x －3≤2可变形为f [x (x －3)]≤f (4)．
又由(1)，知f (x )是R 上的增函数，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
x (x －3)≤4，
x －3≠0，
解得－1≤x <3或3<x ≤4，
所以原不等式的解集为[－1,3)∪(3,4]．。