七年级下册数学期中试卷(带答案)doc人教

七年级下册数学期中试卷(带答案)doc 人教
一、选择题
1．9的算术平方根是（）
A ．81
B ．3
C ．3-
D ．4
2．下列四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．在平面直角坐标系中，点(2,0.01)P -位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 4．给出下列命题：①等边三角形是等腰三角形；②三角形的重心是三角形三条中线的交点；③三角形的外角等于两个内角的和；④三角形的角平分线是射线；⑤三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；⑥三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外．其中正确命题的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．将一副三角板按如图放置，如果230∠=︒，则有4∠是（ ）
A ．15°
B ．30°
C ．45°
D ．60°
6．如果32.37≈1.333，323.7≈2.872，那么32370约等于（ ）
A ．28.72
B ．0.2872
C ．13.3
D ．0.1333 7．如图所示，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a ，b 上，已知∠2=35°，则∠1的度数为（ ）
A ．45°
B ．125°
C ．55°
D ．35°
8．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，按向上．向右．向下．向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到()10,1A ，()21,1A ，()31,0A ，()42,0A ，…那么点2021A 的坐标为（ ）
A ．()505,0
B ．()505,1
C ．()1010,0
D ．()1010,1
二、填空题
9．已知x y 、是实数，且()2
230x y -+-=，则xy 的值是_______.
10．平面直角坐标系中，点(3,1)--关于y 轴的对称点的坐标为________．
11．如图，AD 、AE 分别是△ABC 的角平分线和高，∠B ＝50°，∠C ＝70°，则∠DAE ＝_____________°．
12．如图，//AB EF ，设90C ∠=︒，那么x ，y ，z 的关系式______．
13．如图，将一张长方形纸片沿EF 折叠后，点A ，B 分别落在A ′，B ′的位置．如果∠1＝59°，那么∠2的度数是_____．
14．对于有理数a ，b ，规定一种新运算：a ※b=ab+b ，如2※3=2×3+3=9．下列结论：①（﹣3）※4=﹣8；②若a ※b=b ※a ，则a=b ；③方程（x ﹣4）※3=6的解为x=5；④（a ※b ）※c=a ※（b ※c ）．其中正确的是_____（把所有正确的序号都填上）． 15．点31,25()P m m +-到两坐标轴的距离相等，则m =________．
16．如图，在平面直角坐标系中，三角形123A A A ，三角形345A A A ，三角形567A A A 都是斜边在x 轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若三角形123A A A 的顶点坐标
分别为()12,0A ，()21,1A ，()30,0A ，则按图中规律，点9A 的坐标为______．
三、解答题
17．计算（每小题4分）
（1）323(3)29（）-+--
（2）2335+-．
（3）20203|2|8(1)-+-+-．
（4）4+|﹣2 | + ( -1 )2017
18．求下列各式中x 的值：
（1）()2
4264x -=；
（2）3338x -=． 19．推理填空：如图，已知∠B ＝∠CGF ，∠DGF ＝∠F ；求证：∠B +∠F ＝180°． 请在括号内填写出证明依据．
证明：∵∠B ＝∠CGF （已知），
∴AB ∥CD （ ）．
∵∠DGF ＝∠F （已知），
∴ //EF （ ）．
∴AB //EF （ ）．
∴∠B +∠F ＝180°（ ）．
20．在下图的直角坐标系中，将ABC 平移后得到A B C '''，它们的各顶点坐标如下表所示：
ABC
(),0A a ()3,0B ()5,5C A B C ''' ()4,2A ' ()7,B b ' (),C c d '
）观察表中各对应点坐标的变化，并填空：ABC 向________度，再向_______平移________个单位长度可以得到A B C '''；
'''；
（2）在坐标系中画出ABC及平移后的A B C
'''的面积．
（3）求出A B C
21．数学活动课上，王老师说：“2是无理数，无理数就是无限不循环小数，同学们，你能把2的小数部分全部写出来吗？”大家议论纷纷，小明同学说：“要把它的小数部分全部写出来是非常难的，但我们可以用2﹣1表示它的小数部分．”王老师说：“小明同学的说法是正确的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，”请你解答：
（1）填空题：3的整数部分是 ;小数部分是
（2）已知8+3＝x+y，其中x是一个整数，且0＜y＜1，求出2x+（y-3）2012的值．22．如图,8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形,
（1）每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?(要求列方程组进行解答)
（2）小明想用一块面积为7平方米的正方形桌布，沿着边的方向裁剪出一块新的长方形桌布，用来盖住这块长方形木桌，你帮小明算一算，他能剪出符合要求的桌布吗？
23．已知：如图（1）直线AB、CD被直线MN所截，∠1＝∠2．
（1）求证：AB//CD；
（2）如图（2），点E在AB，CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，则∠PEQ和∠PFQ之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；
（3）如图（3），在（2）的条件下，过P 点作PH //EQ 交CD 于点H ，连接PQ ，若PQ 平分∠EPH ，∠QPF ：∠EQF ＝1：5，求∠PHQ 的度数．
24．互动学习课堂上某小组同学对一个课题展开了探究．
小亮：已知，如图三角形ABC ，点D 是三角形ABC 内一点，连接BD ，CD ，试探究BDC ∠与A ∠，1∠，2∠之间的关系．
小明：可以用三角形内角和定理去解决．
小丽：用外角的相关结论也能解决．
（1）请你在横线上补全小明的探究过程：
∵180BDC DBC BCD ∠+∠+∠=︒，（______）
∴180BDC DBC BCD ∠=︒-∠-∠，（等式性质）
∵12180A DBC BCD ∠+∠+∠+∠+∠=︒，
∴12180A DBC BCD ∠+∠+∠=︒-∠-∠，
∴12BDC A ∠=∠+∠+∠．（______）
（2）请你按照小丽的思路完成探究过程；
（3）利用探究的结果，解决下列问题：
①如图①，在凹四边形ABCD 中，135BDC ∠=︒，25B C ∠=∠=︒，求A ∠=______； ②如图②，在凹四边形ABCD 中，ABD ∠与ACD ∠的角平分线交于点E ，60A ∠=︒，140BDC ∠=︒，则E ∠=______；
③如图③，ABD ∠，ACD ∠的十等分线相交于点、1F 、2F 、…、9F ，若120BDC ∠=︒，364BF C ∠=︒，则A ∠的度数为______；
④如图④，BAC ∠，BDC ∠的角平分线交于点E ，则B ，C ∠与E ∠之间的数量关系是______；
⑤如图⑤，ABD ∠，BAC ∠的角平分线交于点E ，40C ∠=︒，140BDC ∠=︒，求AEB ∠的度数．
【参考答案】
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a
【详解】
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了算术平方根的定义，解题时注意算术平方根与平方根的区别．
2．B
【分析】
根据图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小对各个选项进行逐一判断即可.
【详解】
A，C，D选项中的图案不能通过平移得到，
B选项中的图案通过平移后可以得到.
故选B.
解析：B
【分析】
根据图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小对各个选项进行逐一判断即可.
【详解】
A，C，D选项中的图案不能通过平移得到，
B选项中的图案通过平移后可以得到.
故选B.
【点睛】
本题考查了平移的性质和平移的应用等有关知识，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键. 3．B
【分析】
根据直角坐标系的性质分析，即可得到答案．
【详解】
P 位于第二象限
点(2,0.01)
故选：B．
【点睛】
本题考查了直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握象限、坐标的性质，从而完成求解．
4．B
【分析】
根据等边三角形的性质可以判断①，根据三角形重心的定义可判断②，根据三角形内角和定理可判断③，根据三角形角平分线的定义可以判断④，根据三角形的内角的定义可以判断⑤，根据三角形的高的定义以及直角三角形的高可以判断⑥．
【详解】
①等边三角形是等腰三角形，①正确；
②三角形的重心是三角形三条中线的交点，②正确；
③三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，故③不正确；
④三角形的角平分线是线段，故④不正确；
⑤三角形相邻两边组成的角且位于三角形内部的角，叫三角形的内角，⑤错误；
⑥三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以在三角形内或在三角形外或者在三角形的边上．
正确的有①②，共计2个，
故选B
【点睛】
本题考查了命题的判断，等边三角形的性质，三角形的重心，三角形的内角和定理，三角形的角平分线，三角形的内角的定义，三角形垂心的位置，掌握相关性质定理是解题的关键．
5．C
【分析】
根据一副三角板的特征先得到∠E=60°，∠C=45°，∠1+∠2=90°，再根据已知求出∠1=60°，从而可证得AC∥DE，再根据平行线的性质即可求出∠4的度数．
【详解】
解：根据题意可知：∠E=60°，∠C=45°，∠1+∠2=90°，
∠=︒，
∵230
∴∠1=60°，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，
∴∠4=∠C=45°．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质和余角、补角的概念，掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．
6．C
【分析】
根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可．
【详解】
解：∵，
∴
⨯≈，
10=13.3313.3
故选：C．
【点睛】
本题考查了立方根，如果一个数扩大1000倍，它的立方根就扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍．
7．C
【分析】
根据∠ACB=90°，∠2=35°求出∠3的度数，根据平行线的性质得出∠1=∠3，代入即可得出答案．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，∠2=35°，
∴∠3=180°-90°-35°=55°，
∵a∥b，
∴∠1=∠3=55°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和邻补角的定义，解此题的关键是求出∠3的度数和得出
∠1=∠3，题目比较典型，难度适中．
8．D
【分析】
根据图象移动的得出移动4次一个循环，得出结果即可；
【详解】
根据图象可得移动4次图象完成一个循环，
∵，
∴的坐标是；
故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了点的坐标规律题，准确计算
解析：D
【分析】
根据图象移动的得出移动4次一个循环，得出结果即可；
【详解】
根据图象可得移动4次图象完成一个循环，
÷=，
∵202145051
∴2021
A的坐标是()()
⨯=；
5052,11010,1
故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了点的坐标规律题，准确计算是解题的关键．
二、填空题
9．6
【解析】
【分析】
根据平方和算术平方根的非负性，求出x、y的值，代入计算得到答案．
【详解】
解：由题意得，x−2＝0，y-3＝0，
解得，x＝2，y＝3，
xy＝6，
故答案为：6．
【点睛
解析：6
【解析】
【分析】
根据平方和算术平方根的非负性，求出x、y的值，代入计算得到答案．
【详解】
解：由题意得，x−2＝0，y-3＝0，
解得，x＝2，y＝3，
xy＝6，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查的是非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．
10．（3，-1）
【分析】
让纵坐标不变，横坐标互为相反数可得所求点的坐标．
【详解】
解：∵-3的相反数为3，
∴所求点的横坐标为3，纵坐标为-1，
故答案为（3，-1）．
【点睛】
本题考查关于y轴
解析：（3，-1）
【分析】
让纵坐标不变，横坐标互为相反数可得所求点的坐标．
【详解】
解：∵-3的相反数为3，
∴所求点的横坐标为3，纵坐标为-1，
故答案为（3，-1）．
【点睛】
本题考查关于y轴对称的点特点；用到的知识点为：两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变．
11．10
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE，然后求解即可．
【详解】
解：∵∠B=50°，∠C=70°，
∴∠BAC=1
解析：10
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE，然后求解即可．
【详解】
解：∵∠B=50°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-70°=60°，
∵AD是角平分线，
∴∠BAD=1
2∠BAC=1
2
×60°=30°，
∵AE是高，
∴∠BAE=90°-∠B=90°-50°=40°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-30°=10°．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键．
12．【分析】
过作，过作，根据平行线的性质可知，然后根据平行线的性质即可求解；
【详解】
如图，过作，过作，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平
解析：90x y z +-=︒
【分析】
过C 作//CN AB ，过D 作//DM AB ，根据平行线的性质可知//////AB CN DM EF ，然后根据平行线的性质即可求解；
【详解】
如图，过C 作//CN AB ，过D 作//DM AB ，
∴//////AB CN DM EF ，
∴1x =∠，23∠∠=，4z ∠=，
∵90BCD ∠=︒，
∴1290∠+∠=︒，
∴390x +∠=︒，
∴3490x z +∠+∠=︒+，
∴90x y z +=︒+，
∴90x y z +-=︒．
故答案为：90x y z +-=︒．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，正确理解平行线的性质是解题的关键；
13．62°
【分析】
根据折叠的性质求出∠EFB′＝∠1＝59°，∠B′FC ＝180°−∠1−∠EFB′＝62°，根据平行线的性质：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，
③两直线平行，同旁
解析：62°
【分析】
根据折叠的性质求出∠EFB′＝∠1＝59°，∠B′FC＝180°−∠1−∠EFB′＝62°，根据平行线的性质：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．:求出即可．
【详解】
解：∵将一张长方形纸片沿EF折叠后，
点A、B分别落在A′、B′的位置，∠1＝59°，
∴∠EFB′＝∠1＝59°，
∴∠B′FC＝180°−∠1−∠EFB′＝62°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠2＝∠B′FC＝62°，
故答案为：62°．
【点睛】
本题考查了对平行线的性质和折叠的性质的应用，解此题的关键是求出∠B′FC的度数，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
14．①③
【分析】
题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果，即可做出判断．
【详解】
(−3)※4=−3×4+4=−8，所以①正确；
a※b=ab+b，b※a=ab+a，若 a=b ，两式相等，若
解析：①③
【分析】
题目中各式利用已知的新定义公式计算得到结果，即可做出判断．
【详解】
(−3)※4=−3×4+4=−8，所以①正确；
a※b=ab+b，b※a=ab+a，若 a=b ，两式相等，若a≠b，则两式不相等，所以②错误；
方程(x−4) )※3=6化为3(x−4)+3=6，解得x=5，所以③正确；
左边=(a※b) ※c=(a×b+b) )※c=(a×b+b)·c+c=abc+bc+c
右边=a※（b※c）=a※(b×c+c)=a(b×c+c) +(b×c+c)=abc+ac+bc+c2
两式不相等，所以④错误．
综上所述，正确的说法有①③．
故答案为①③.
【点睛】
有理数的混合运算, 解一元一次方程，属于定义新运算专题，解决本题的关键突破口是准确理解新定义．本题主要考查学生综合分析能力、运算能力．
15．或．
【分析】
根据到两坐标轴的距离相等，可知横纵坐标的绝对值相等，列方程即可．
【详解】
解：∵点到两坐标轴的距离相等，
∴，
或，
解得，或，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了点到坐标轴的距
解析：6-或45
． 【分析】
根据到两坐标轴的距离相等，可知横纵坐标的绝对值相等，列方程即可．
【详解】
解：∵点31,25()P m m +-到两坐标轴的距离相等， ∴31=25m m +-，
31=25m m +-或31=(25)m m +--，
解得，=6m -或4=5
m ， 故答案为：6-或45
． 【点睛】
本题考查了点到坐标轴的距离，解题关键是明确到坐标轴的距离是坐标的绝对值． 16．【分析】
根据题意可以知道A7A8A9的斜边长为8 ，A3A4A5的斜边长为4，A5A6A7的斜边长为6，进行计算求解即可.
【详解】
解：由题意得 A7A8A9的斜边长为8 ，A3A4A5的斜边
解析：()6,0
【分析】
根据题意可以知道A 7A 8A 9的斜边长为8 ，A 3A 4A 5的斜边长为4，A 5A 6A 7的斜边长为6，进行计算求解即可.
【详解】
解：由题意得A7A8A9的斜边长为8，A3A4A5的斜边长为4，A5A6A7的斜边长为6
∴A7A9=8，A5A7=6，A3A5=4
∴A3A7= A5A7- A3A5=2
∴A3A7= A7A9- A3A7=6
又∵A3与原点重合
∴A9的坐标为（6，0）
故答案为：（6，0）.
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形的变化，解题的关键在于能够准确从图形中获取信息求解.
三、解答题
17．（1）0；（2）；（3）1；（4）3.
【分析】
（1）先算根号和平方，再根据实数的加减运算计算即可得出答案；
（2）先去绝对值，再根据实数的加减运算法则计算即可得出答案；
（3）先算绝对值、立方根
解析：（1）0；（23）1；（4）3.
【分析】
（1）先算根号和平方，再根据实数的加减运算计算即可得出答案；
（2）先去绝对值，再根据实数的加减运算法则计算即可得出答案；
（3）先算绝对值、立方根和乘方，再根据实数的加减运算法则计算即可得出答案；（4）先算根号、绝对值和乘方，再根据实数的加减运算法则计算即可得出答案.
【详解】
解：（1）原式=-3+4-3
=-2
（2）原式=
（3）原式=2+(-2)+1
=1
（4）原式=2+2-1
=3
【点睛】
本题考查的是实数的运算，难度不大，需要熟练掌握实数的加减运算法则. 18．（1）或；（2）
【分析】
（1）根据平方根的性质求解即可；
（2）根据立方根的性质求解即可；
【详解】
（1），
，
，
或，
∴或；
（2），
，
；
【点睛】
本题主要考查了平方根的性质应用和
解析：（1）6x =或2x =-；（2）32
x =
【分析】
（1）根据平方根的性质求解即可；
（2）根据立方根的性质求解即可；
【详解】
（1）()24264x -=， ()2216x -=，
24x -=±，
24x -=或24-=-x ，
∴6x =或2x =-；
（2）3338
x -=， 3278x ， 32
x =； 【点睛】
本题主要考查了平方根的性质应用和立方根的性质应用，准确计算是解题的关键． 19．同位角相等，两直线平行；CD ；内错角相等，两直线平行；两条直线都与
第三条直线平行，这两条直线也互相平行；两直线平行，同旁内角互补
【分析】
根据平行线的判定得出AB ∥CD ，CD ∥EF ，求出AB ∥EF
解析：同位角相等，两直线平行；CD ；内错角相等，两直线平行；两条直线都与第三条直线平行，这两条直线也互相平行；两直线平行，同旁内角互补
【分析】
根据平行线的判定得出AB ∥CD ，CD ∥EF ，求出AB ∥EF ，根据平行线的性质得出即可．
【详解】
证明：∵∠B=∠CGF（已知），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
∵∠DGF=∠F（已知），
∴CD∥EF（内错角相等，两直线平行），
∴AB∥EF（两条直线都与第三条直线平行，这两条直线也互相平行），
∴∠B+∠F=180°（两直线平行，同旁内角互补），
故答案为：同位角相等，两直线平行；CD；内错角相等，两直线平行；两条直线都与第三条直线平行，这两条直线也互相平行；两直线平行，同旁内角互补．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．20．（1）上，2，右，4 ；（2）见解析；（3）7.5
【分析】
（1）利用根据A，B两点的坐标变化：A（a，0），A′（4，2）；B（3，0），B′（7，b），即可得出A，B向上平移2个单位长度，再
解析：（1）上，2，右，4 ；（2）见解析；（3）7.5
【分析】
（1）利用根据A，B两点的坐标变化：A（a，0），A′（4，2）；B（3，0），B′（7，b），即可得出A，B向上平移2个单位长度，再向右平移4 个单位长度，即可得出图形．（2）根据（1）中图象变化，得出△A′B′C′；
（3）利用S△ABC=S△A′B′C′=1
2
AB×y c得出即可．
【详解】
解：（1）根据A，B两点的坐标变化：A（a，0），A′（4，2）；B（3，0），B′（7，b）；
△ABC向上平移2个单位长度，再向右平移4 个单位长度可以得到△A′B′C′；
（2）如图所示：
（3）S△ABC=S△A′B′C′=1
2AB×y c=1
2
×3×5=7.5．
【点睛】
此题主要考查了图形的平移变换的性质与作法以及三角形面积求法，根据A，B两点坐标
变化得出图象平移变化位置是解题关键．
21．（1）1；-1（2）19
【分析】
(1)根据已知的条件就可以求出；
（2）先估算的范围，进一步确定8+的范围，即可求出x，y的值，即可解答．【详解】
解：（1）∵1＜＜2，
∴的整数部分是1；小
解析：（1）1（2）19
【分析】
(1)根据已知的条件就可以求出；
（2x，y的值，即可解答．【详解】
解：（1）∵12，
∴1；
（2）解：∵12，
∴9＜10，
∵x+y，且x是一个整数，0＜y＜1，
∴x＝9，y＝91，
∴2x+（
2012=2×9+2012=18+1=19．
【点睛】
22．(1) 长是1.5m,宽是0.5m.；（2）不能.
【解析】
【分析】
（1）设每块小长方形地砖的长为xm,宽为ym,列方程组求解即可；
（2）把正方形的边长与大长方形的长比较即可.
【详解】
解:
解析：(1) 长是1.5m,宽是0.5m.；（2）不能.
【解析】
【分析】
（1）设每块小长方形地砖的长为xm,宽为ym,列方程组求解即可；
（2）把正方形的边长与大长方形的长比较即可.
【详解】
解:（1）设每块小长方形地砖的长为xm,宽为ym,由题意得:
32x y x y =⎧⎨+=⎩
, 解得: 1.50.5x y =⎧⎨=⎩
, ∴长是1.5m,宽是0.5m.
（2）∵正方形的面积为7平方米，
∴正方形的边长是7米，
∵7<3,
∴他不能剪出符合要求的桌布.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，算术平方根的应用，找出等量关系列出方程组是解（1）的关键，求出正方形的边长是解（2）的关键.
23．（1）见解析；（2）∠PEQ+2∠PFQ ＝360°；（3）30°
【分析】
（1）首先证明∠1＝∠3，易证得AB//CD ；
（2）如图2中，∠PEQ+2∠PFQ ＝360°．作EH//AB ．理由平行线
解析：（1）见解析；（2）∠PEQ +2∠PFQ ＝360°；（3）30°
【分析】
（1）首先证明∠1＝∠3，易证得AB //CD ；
（2）如图2中，∠PEQ +2∠PFQ ＝360°．作EH //AB ．理由平行线的性质即可证明；
（3）如图3中，设∠QPF ＝y ，∠PHQ ＝x ．∠EPQ ＝z ，则∠EQF ＝∠FQH ＝5y ，想办法构建方程即可解决问题；
【详解】
（1）如图1中，
∵∠2＝∠3，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AB //CD ．
（2）结论：如图2中，∠PEQ +2∠PFQ ＝360°．
理由：作EH //AB ．
∵AB//CD，EH//AB，
∴EH//CD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2+∠3＝∠1+∠4，
∴∠PEQ＝∠1+∠4，
同法可证：∠PFQ＝∠BPF+∠FQD，
∵∠BPE＝2∠BPF，∠EQD＝2∠FQD，∠1+∠BPE＝180°，∠4+∠EQD＝180°，∴∠1+∠4+∠EQD+∠BPE＝2×180°，
即∠PEQ+2(∠FQD+∠BPF)=360°，
∴∠PEQ+2∠PFQ＝360°．
（3）如图3中，设∠QPF＝y，∠PHQ＝x．∠EPQ＝z，则∠EQF＝∠FQH＝5y，
∵EQ//PH，
∴∠EQC＝∠PHQ＝x，
∴x+10y＝180°，
∵AB//CD，
∴∠BPH＝∠PHQ＝x，
∵PF平分∠BPE，
∴∠EPQ+∠FPQ＝∠FPH+∠BPH，
∴∠FPH＝y+z﹣x，
∵PQ平分∠EPH，
∴Z＝y+y+z﹣x，
∴x＝2y，
∴12y＝180°，
∴y＝15°，
∴x＝30°，
∴∠PHQ＝30°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识．（2）中能正确作出辅助线是解题的关键；（3）中能熟练掌握相关性质，找到角度之间的关系是解题的关键． 24．（1）三角形内角和180°；等量代换；（2）见解析；（3）①；②；③；④；⑤
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理即可判断，根据等量代换的概念即可判断； （2）想要利用外角的性质求解，就需要构造外
解析：（1）三角形内角和180°；等量代换；（2）见解析；（3）①85A ∠=︒；②100E ∠=︒；③40A ∠=︒；④2B C E ∠-∠=∠；⑤130︒
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理即可判断，根据等量代换的概念即可判断；
（2）想要利用外角的性质求解，就需要构造外角，因此延长BD 交AC 于E ，然后根据外角的性质确定1BEC A ∠=∠+∠，2BDC BEC ∠=∠+∠，即可判断BDC ∠与A ∠，1∠，2∠之间的关系；
（3）①连接BC ，然后根据（1）中结论，代入已知条件即可求解；
②连接BC ，然后根据（1）中结论，求得ABD ACD ∠+∠的和，进而得到DBC DCB ∠+∠的和，然后根据角平分线求得EBD ECD ∠+∠的和，进而求得80EBC ECB ∠+∠=︒，然后利用三角形内角和定理180E EBC ECB ∠+∠+∠=︒，即可求解；
③连接BC ，首先求得18060DBC DCB BDC ∠+∠=︒-∠=︒，然后根据十等分线和三角形内角和的性质得到333180=116CBF BC F F B C =︒-∠︒∠+∠，然后得到ABD ACD ∠+∠的和，最后根据（1）中结论即可求解；
④设BD 与AE 的交点为点O ，首先利用根据外角的性质将∠BOE 用两种形式表示出来，然后得到BAE ABD E BDE ∠+∠=∠+∠，然后根据角平分线的性质，移项整理即可判断； ⑤根据（1）问结论，得到BAC ABD ∠+∠的和，然后根据角平分线的性质得到
BAE ABE ∠+∠的和，然后利用三角形内角和性质即可求解．
【详解】
（1）∵180BDC DBC BCD ∠+∠+∠=︒，（三角形内角和180°）
∴180BDC DBC BCD ∠=︒-∠-∠，（等式性质）
∵12180A DBC BCD ∠+∠+∠+∠+∠=︒，
∴12180A DBC BCD ∠+∠+∠=︒-∠-∠，
∴12BDC A ∠=∠+∠+∠．（等量代换）
故答案为：三角形内角和180°；等量代换．
（2）如图，延长BD 交AC 于E ，
由三角形外角性质可知，
1BEC A ∠=∠+∠，2BDC BEC ∠=∠+∠，
∴12BDC A ∠=∠+∠+∠．
（3）①如图①所示，连接BC ，
，
根据（1）中结论，得BDC A ABD ACD ∠=∠+∠+∠，
∴=135252585A BDC ABD ACD ∠=∠-∠-∠︒-︒-︒=︒，
∴85A ∠=︒；
②如图②所示，连接BC ，
，
根据（1）中结论，得BDC A ABD ACD ∠=∠+∠+∠，
∴=1406080ABD ACD BDC A ∠+∠=∠-∠︒-︒=︒，
∵ABD ∠与ACD ∠的角平分线交于点E ， ∴12
EBD ABD ∠=∠，12ECD ACD ∠=∠, ∴()11140222
EBD ECD ABD ACD ABD ACD ∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒， ∵140BDC ∠=︒，180BDC DBC DCB ∠+∠+∠=︒，
∴18040DBC DCB BDC ∠+∠=︒-∠=︒，
∴80EBC ECB ∠+∠=︒，
∵180E EBC ECB ∠+∠+∠=︒，
∴100E ∠=︒；
③如图③所示，连接BC ，
，
根据（1）中结论，得BDC A ABD ACD ∠=∠+∠+∠，
∵120BDC ∠=︒，180BDC DBC DCB ∠+∠+∠=︒，
∴18060DBC DCB BDC ∠+∠=︒-∠=︒，
∵ABD ∠与ACD ∠的十等分线交于点3F ， ∴3710DBF ABD ∠=∠，3710
DCF ACD ∠=∠, ∴()33777101010DBF DCF ABD ACD ABD ACD ∠+∠=
∠+∠=∠+∠， ∴()3333710
60CBF BCF EBF ECF A DBC D A CB BD CD ∠+∠=
+︒∠+∠=∠+∠+∠+∠， ∵333180CBF BCF BF C +∠=︒∠+∠，
∴333180=116CBF BC F F B C =︒-∠︒∠+∠，
∴80ABD ACD ︒∠+∠=，
∴()1208040A BDC ABD ACD ∠=∠-∠+∠=︒-︒=︒，
∴40A ∠=︒；
④如图④所示，设BD 与AE 的交点为点O ，
∵AE 平分BAC ∠，BD 平分BDC ∠， ∴12
BAE BAC ∠=∠，12BDE BDC ∠=∠， ∵BOE BAE ABD ∠=∠+∠，BOE E BDE ∠=∠+∠，
∴BAE ABD E BDE ∠+∠=∠+∠, ∴()11+22
BAC ABD E BAC ABD ACD ∠+∠=∠+∠+∠∠, ∴()1
111+2222E BAC ABD ACD BAC ABD ABD ACD ∠=∠+∠∠-∠-∠=∠-∠，
即2B C E ∠-∠=∠；
⑤∵ABD ∠，BAC ∠的角平分线交于点E ， ∴()1502
BAE ABE BAC ABD ∠+∠=∠+∠=︒， ∴()180********AEB BAE ABE ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定量，外角的性质，以及辅助线的做法，重点是观察题干中的解题思路，然后注意角平分线的性质，逐渐推到即可求解．。