江苏省常州市“教学研究合作联盟”2019_2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)

江苏省常州市“教学研究合作联盟”2019-2020学年高二数学上学期
期中试题（含解析）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.命题“∀x∈R，x2≥0”的否定为（）
A. ,
B. ,
C. ,
D. ,
2.已知函数f（x）=x+（x＜0），则下列结论正确的是（）
A. 有最小值4
B. 有最大值4
C. 有最小值
D. 有最大值
3.已知数列{a n}的首项a1=1，且满足a n+1=，则此数列的第三项是（）
A. 1
B.
C.
D.
4.已知a，b为实数，M：，N：a＜b，则M是N的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分又不必要条件
5.关于x的不等式≥0的解集是（）
A. B.
C. D. 或
6.已知a，b为非零实数，且a-b≥0，则下列结论一定成立的是（）
A. B. C. D.
7.已知数列{a n}，其任意连续的四项之和为20，且a1=8，a2=7，a3=2，则a2020=（）
A. 2
B. 3
C. 7
D. 8
8.“∃x∈[1，2]，ax2+1≤0”为真命题的充分必要条件是（）
A. B. C. D.
9.已知实数x1，x2，m，n满足x1＜x2，m＜n，且（m-x1）（n-x1）＜0，（m-x2）（n-x2）
＜0，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
10.已知数列{a n}、{b n}均为等差数列，其前n项和分别记为A n、B n，满足=，则的值为（）
A. B. C. D.
11.设正实数x，y满足x+2y=1，则的最小值为（）
A. 4
B. 6
C. 7
D. 8
12.已知数列{a n}的通项a n=，且存在正整数T，S使得a T≤a n≤a S对任意的n∈N*恒成立，则
T+S的值为（）
A. 15
B. 17
C. 19
D. 21
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a4a6a8a10=16，则的值为______．
14.函数f（x）=x2+（x＞1）的最小值为______．
15.已知数列{a n}满足a1=，n（n+1）（a n+1-a n）=a n+1a n，则该数列{a n}的通项公式a n=______．
16.已知关于x的不等式（4x-3）2≤4ax2的解集中的整数解恰好有三个，则实数a的取值范
围是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知数列{a n}是一个公差为d（d≠0）的等差数列，前n项和为S n，a2、a4、a5成等比数
列，且S5=-15．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）求数列{}的前10项和．
18.已知p：x2-2x-35≤0，q：x2-3mx+（2m-1）（m+1）≤0．（其中实数m＞2）．
（1）分别求出p，q中关于x的不等式的解集M和N；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
19.已知函数f（x）=-x2+a|x-3|+9．
（1）a=2时，解关于x的不等式f（x）≥0；
（2）若不等式f（x）≤0对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
20.已知数列{a n}中，a1=4，（n+1）•a n+1-（n+2）•a n=（n2+3n+2）•2n．
（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；
（2）求数列{a n}的前n项和S n．
21.已知某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示），要
求从圆形铁片上进行裁剪，部件由三个全等的矩形和一
个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为AD=x，CD=y
（单位：cm），且要求yx，部件的面积是cm2．
（1）求y关于x的函数表达式，并求定义域；
（2）为了节省材料，请问x取何值时，所用到的圆形铁
片面积最小，并求出最小值．
22.已知数列{a n}，a1=1，前n项和为S n，对任意的正整数n，都有2S n=（n+1）a n恒成立．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）已知关于n的不等式…对一切n≥3，n∈N*恒成立，求实数a的取值范围；
（3）已知c n=（）2，数列{c n}的前n项和为T n，试比较T n与的大小并证明．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题“∀∈R，x2≥0”的否定是∃x∈R，x2＜0．
故选：D．
直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
本题考查命题的否定同学明天与全称命题的否定关系，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：∵x＜0，
∴-x＞0，
∴f（x）=x+=-[（-x）+]≤-2=-4，当且仅当（-x）=，即x=-2时取等号，
∴f（x）有最大值-4，
故选：D．
根据基本不等式即可求出．
本题考查最值的求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：数列{a n}的首项a1=1，且满足a n+1=，
可得a2=a1+=+=，
a3=a2+=×+=，
故选：D．
由已知数列的递推式，分别令n=1，n=2，计算可得所求值．
本题考查数列递推式的运用：求其中的某一项，考查运算能力，是一道基础题．
4.【答案】A
【解析】解：∵a，b为实数，∴由，能够得到a＜b，
反之，由a＜b，不一定有，如-3＜-2，而无意义．
∴M是N的充分不必要条件．
故选：A．
由不等式的性质结合充分必要条件的判定得答案．
本题考查充分必要条件的判定，考查不等式的性质，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由≥0可得，，
∴，
解可得，{x|-3＜x≤1}
故选：C．
由≥0可得，，结合二次不等式的求法即可求解．
本题主要考查了分式不等式的求解，解题的关键是转化为二次不等式的求解．
6.【答案】C
【解析】解：a，b为非零实数，且a-b≥0，
所以a≥b，a2-b2=（a-b）（a+b），
，
ab2-ba2=ab（b-a），
无法判断正负，
而成立，
故选：C．
作差法判断不等式是否成立即可．
本题利用作差法判断不等式问题，基础题．
7.【答案】B
【解析】解：数列{a n}，其任意连续的四项之和为20，且a1=8，a2=7，a3=2，所以a4=3，a5=8，a3=7，…
数列是周期数列，数列的周期为：4，
a2020=a504×4+4=a4=3．
故选：B．
判断数列的周期性，然后转化求解a2020．
本题考查数列的周期性，递推关系式的应用，考查计算能力，是基本知识的考查．
8.【答案】B
【解析】解：“∃x∈[1，2]，使ax2+1≤0”为真命题，等价于当x∈[1，2]时，a≤（-）max，
x∈[1，2]时，g（x）=的值域为[-1，-]，
∴（-）
=-．
max
∴“∃x∈[1，2]，ax2+1≤0”为真命题的充分必要条件是a≤．
故选：B．
“∃x∈[1，2]，ax2+1≤0”为真命题⇔当x∈[1，2]时，a≤（-）max，求出在[1，2]上的最大值，则答案可求．
本题考查充分必要条件的应用，考查特称命题的应用，考查数学转化思想方法，注意存在性命题和任意性命题的区别，属于中档题．
9.【答案】A
【解析】解：∵（m-x1）（n-x1）＜0，（m-x2）（n-x2）＜0，
m＜x1＜n，m＜x2＜n，
∵x1＜x2，m＜n，
∴m＜x1＜x2＜n
故选：A．
结合二次不等式的求解分别求出不等式（m-x1）（n-x1）＜0，（m-x2）（n-x2）＜0，的解集，然后即可进行比较．
本题主要考查了二次不等式的求解，属于基础试题．
10.【答案】B
【解析】解：依题意，设A n=kn（4n+1），B n=kn（2n+3），k≠0，
则a5=S5-S4=5k（20+1）-4k（16+1）=105k-68k=37k，
b7=S7-S6=7k（14+3）-6k（12+3）=119k-90k=29k，
所以==，
故选：B．
A n、
B n，满足=，不妨设A n=kn（4n+1），B n=kn（2n+3），即可得到的值．
本题考查了等差数列的前n项和，考查了前n项和与二次函数的关系，考查推理能力和运算能力，属于基础题．
11.【答案】B
【解析】解：由正实数x，y满足x+2y=1，
则=+=2++≥2+2=6当且仅当=，即x=，y=时取等号，
故的最小值为6，
故选：B．
运用基本不等式即可得到所求最小值．
本题考查最值的求法，注意运用“1”的代换法和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．12.【答案】D
【解析】解：a n==，210＜2021＜211，
当n≤10时，数列递减；且a n＜1，最小值为第10项，
当n＞10，数列递减，且a n＞1，最大值为第11项，
故整个数列的最大项为a11，最小项为第10项，
使得a T≤a n≤a S对任意的n∈N*恒成立，所以T+S=10+11=21．
故选：D．
对a n=变形，考虑数列的单调性，利用单调性求出故整个数列的最大项为a11，最小项为第10项，得出结论．
考查数列的单调性判断和单调性的应用，存在性问题，中档题．
13.【答案】2
【解析】解：∵在各项均为正数的等比数列{a n}中，a4a6a8a10=16，
∴a4a6a8a10==16，解得a7=2，
∴===a7=2．
故答案为：2．
推导出a4a6a8a10==16，解得a7=2，再由===a7，能求出结果．
本题考查等比数列的两项比值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】3
【解析】解：由x＞1，得x2＞1，x2-1＞0；
所以函数f（x）=x2+=（x2-1）++1≥2•+1=3，
当且仅当x2-1=1，即x=时取“=”，
所以函数f（x）的最小值为3．
故答案为：3．
由题意，利用基本不等式求出函数f（x）的最小值．
本题考查了利用基本不等式求最值的问题，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：∵n（n+1）（a n+1-a n）=a n+1a n，
∴两边同时除以a n+1a n得：，
化简得：n（n+1）（）=1，
∴两边同时除以n（n+1）得：=，
∴，
，
……
，
上式累加得：，
即：2-，∴，
∴．
故答案为：．
根据数列的递推关系，利用累加法求出数列的通项公式．
本题主要考查数列通项公式的求解，利用累加法是解决本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：由题知，a≥0 则
（4x-3）2≤4ax2，
（4x-3）2-4ax2≤0，
（4x-3+2x）（4x-3-2x）≤0，
[（4+2）x-3][（4-2）x-3]≤0，
当a=2时，不等式为-24x+9≤0，解集为x，不是恰好有三个整数解．
当a≠2时，不等式为含x的一元二次不等式，此时
若时，即a=0时，不等式的解为x=不是恰好有三个整数解．
若0时，即0＜a＜4且a≠2时，不等式的解集为{x|}
又∵，∴如果恰有三个整数解，只能是 1，2，3．
∴解得：．
若时，即a＞4时，不等式的解集为{x|x或}不会恰好有三个整数解．
综上所述，a的取值范围是[，）．
故答案为：[，）．
由题意，原不等式转化为，[（4+2）x-3][（4-2）x-3]≤0，由解集中的整数恰有3个，且为1，2，3，得到a的不等式，解不等式可得a的范围．
本题考查学生解含参一元二次不等式的能力，运用一元二次不等式解决数学问题的能力．属于中档题．
17.【答案】解：（1）由a2、a4、a5成等比数列得：，即5d2=-a1d，
又∵d≠0，∴a1=-5d；
而，∴d=1；
∴a n=a1+（n-1）d=n-6，∴{a n}的通项公式为a n=n-6．
（2）∵，∴，
令，则为常数，∴{c n}是首项为-5，公差为的等差数列，
∴的前10项和为．
【解析】（1）利用已知条件列出方程，求出公差，然后求解通项公式．
（2）推出，令，说明{c n}是首项为-5，公差为的等差数列，然后求解数列的和即可．
本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列求和的方法，考查计算能力．
18.【答案】解：（1）由x2-2x-35=（x-7）（x+5）≤0，得M=[-5，7]；
由x2-3mx+（2m-1）（m+1）=[x-（2m-1）][x-（m+1）]≤0，
∵m＞2，∴2m-1＞m+1，得N=[m+1，2m-1]；
（2）∵p是q的必要不充分条件，N⫋M，
∴，且等号不同时取，
解得-6≤m≤4，
又m＞2，∴2＜m≤4．
【解析】（1）分别求解一元二次不等式即可得到集合M与N；
（2）由p是q的必要不充分条件，得N⫋M，再由两集合端点值间的关系列不等式组求解．本题考查一元二次不等式的解法，考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，是基础题．
19.【答案】解：（1）a=2时，-x2+2|x-3|+9≥0，x≥3时，（x-3）（x+1）≤0，
∴-1≤x≤3，∴x=3；x＜3时，（x-3）（x+5）≤0，∴-5≤x≤3，∴-5≤x＜3；
综上所述，不等式的解集为[-5，3]．
（2）f（x）≤0恒成立时，x2-9-a|x-3|≥0恒成立，
①x=3时，不等式恒成立，∴a∈R；
②x＞3时，（x-3）（x+3-a）≥0恒成立，∴x+3-a≥0恒成立，∴a≤6；
③x＜3时，（x-3）（x+3+a）≥0恒成立，∴x+3+a≤0恒成立，∴a≤-6；
综上所述，a的取值范围是（-∞，-6]．
【解析】（1）化简不等式，通过x与3的大小比较，去掉绝对值求解即可．
（2）f（x）≤0恒成立时，x2-9-a|x-3|≥0恒成立，通过①x=3时，②x＞3时，③x＜3时，转化求解即可．
本题考查函数恒成立，绝对值不等式的解法，考查转化思想以及分类讨论思想的应用，是中档题．
20.【答案】解：（1）∵，等式两边同时除以（n+1）（n+2）得：，即；
∴n≥2时，有，
…．
累加得，又，∴n≥2时，．
又n=1时，b1=2也满足上式，∴n∈N*时，．
（2）由（1）可得，
∴，
∴$2{S_n}=\begin{array}{l}{\begin{array}{l}{}&{}\end{array}}\end{array}2•{2^2}+ 3•{2^3}+4•{2^4}+…+（{n+1}）•{2^{n+1}}$，
∴
=，
∴．
【解析】（1）已知条件化为，推出；利用累加法转化求解即可．
（2）由（1）可得，利用错位相减法求解数列的和即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
21.【答案】解：（1）∵，∴，
由得，∴函数的定义域为．
（2）设圆形铁片半径为R，则面积S=πR2，
过圆心O作CD的垂线，垂足为E，交AB于点F，连结OD，则，
∴
=，
∵x2＞0，由基本不等式得：∴，
当且仅当，即时，取“=”．
∴圆形铁片的最小面积为（cm2），
答：当x=2时，所用圆形贴片的面积最小，最小面积为（cm2）．
【解析】（1）利用已知条件求出，然后求解函数的定义域即可．
（2）设圆形铁片半径为R，则面积S=πR2，过圆心O作CD的垂线，垂足为E，交AB于点F，连结OD，则，求出R的表达式，然后利用基本不等式求解最小值即可．
本题考查函数的实际应用，列出函数的解析式，通过基本不等式求解最小值是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
22.【答案】解：（1）∵2S n=（n+1）a n，∴n≥2时，2S n-1=na n-1，
∴2a n=（n+1）a n-na n-1，即（n-1）a n=na n-1（n≥2），
又a1=1≠0，∴a n≠0，∴，
∴，
累乘得n≥2时，，
n=1时，a1=1也满足上式，∴a n=n．（或构造常数列）
（2）设，
则
=
=，
∴f（n）在n≥3，n∈N*上单调递减，
∴，∴．
（3），
∴T n=c1+c2+c3+…+c n
=
=．
∴．
【解析】（1）利用数列的递推关系式化简，通过累积法转化求解数列的通项公式．
（2）设，利用后一项与前一项的差的符号，判断数列的单调性即可．
（3）通过放缩法，利用裂项消项法求解数列的和T n=c1+c2+c3+…+c n然后推出结果．
本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力，是难题．。