正态分布高二上学期数学北师大版(2019)选择性必修第一册

2．已知三条正态曲线fi(x)＝
所示，则下列判断正确的是(
A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3
B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3
D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3
1
2πσ
e
−
x−
2σ2
2
(x∈R，i＝1，2，3)如图
)
答案：D
解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称，知μ1<μ2＝μ3；σ的大小决定曲线的形状，
−
x 80 2
1
数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)＝
10 2π
e
－
200
，则下列
命题中正确的是(
)
A．这次考试的数学平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．这次考试的数学成绩的标准差为10
答案：ACD
所以μ＝20，
1
1
＝ ，解得σ＝
2π·σ 2 π
2，
因此总体随机变量的均值μ＝20，方差σ2＝( 2)2＝2.
1
，
2 π
题型二 正态分布的概率计算
例2 (1)已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X<4)＝0.84，则
P(X≤0)＝(
)
A．0.16
B．0.32
C．0.68
D．0.84
答案：A
所以P(0<ξ<4)＝0.6，
所以P(0<ξ<2)＝0.3.故选C.
(2)已知随机变量X～N(1，σ2)，若P(0<x<3)＝0.5，P(0<X<1)＝0.2，
则P(X<3)＝(
)
A．0.4
B．0.6
C．0.7
D．0.8
答案：D
解析：由题意可得P(1<x<3)＝0.5－0.2＝0.3.∵随机变量X～N(1，σ2)，∴P(X<3)
集中
要点三 正态分布随机变量X在三个特殊区间取值的概率
P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 6，
P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 4，
P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 4.
在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取区
间(μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，并称之为________．
不可能事件，从而P(X<a)＝P(X≤a)是成立的，这与离散型随机变量
不同．
要点二 正态曲线的性质
(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交．
x＝μ
(2)曲线是单峰的，关于直线________对称．
x＝μ
(3)曲线的最高点位于________处．
下降
(4)当x<μ时，曲线________；当x>μ时，曲线________；并且当曲线
解答这类问题的关键是：第一，能够根据正态分布的参数，判别出
所提供区间与特殊区间的关系；第二，熟记正态变量的取值位于区间
(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]上的概率值，同时又
要根据已知的正态分布确定给定区间属于上述三个区间中的哪一个．
训练3 某厂生产的圆柱形零件的外直径ξ(单位：cm)服从正态分布
②参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均
值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标
准差去估计．
(2)服从正态分布的随机变量X的概率特点
若随机变量X服从正态分布，则X在一点上的取值概率为0，即P(X
＝a)＝0，而{X＝a}并不是不可能事件，所以概率为0的事件不一定是
3σ原则
对小概率事件(一般情况下，指发生的概率小于0.27%的事件)要有一
个正确的理解：
(1)这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试
验次数多了，该事件当然是很有可能发生的；
(2)当我们运用“小概率事件几乎不可能发生”的原理进行推断时，
也有0.27%的犯错的可能．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(3)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．
2．对于μ＝0的正态分布，求X落在某区间的概率时常利用如下两个
公式：
(1)P(X<－x0)＝1－P(X≤x0)；
(2)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．
3．当条件中无已知概率时，则要将区间转化为三个特殊区间：P(μ
－ σ<X≤μ ＋ σ)≈0.682 6 ， P(μ － 2σ<X≤μ ＋ 2σ)≈0.954 4 ， P(μ －
∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，
于是尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.26%.
(2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，
99.74%−95.44%
∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是
＝2.15%.因此尺
2
寸在24～26 mm间的零件大约有5 000×2.15%≈108(个)．
D．0<σ1<σ2＝1<σ3
答案：D
解析：利用正态曲线的性质求解，当μ＝0，σ＝1时，正态密度曲线f(x)＝
1
e
2π
x2
−2
，在x＝0时，取最大值
1
，故σ2＝1.由正态密度曲线的性质，当μ一定时，
2π
曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”；σ越大，曲线越“矮胖”，于是
有0<σ1<σ2＝1<σ3.故选D.
解析：由X～N(2，σ2)可知，其正态曲线如图所示，对
称轴为直线x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1
－0.84＝0.16.故选A.
(2)若随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则
P(|ξ|<1.96)＝(
)
A．0.025
B．0.050
C．0.950
简称正态曲线．
如果随机变量X服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数μ，
μ
σ(σ>0) 确 定 ， 记 为 X ～ N(μ ， σ2) ． 其 中 EX ＝ ________
， DX ＝
________．
σ2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)对参数μ，σ的理解
①正态分布由参数μ、σ唯一确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．
解析：由正态分布密度函数知这次考试的数学平均成绩为80分，标准差为10，
故A，D正确．因为函数图象关于直线x＝80对称，故分数在110分以上的人数与
分数在50分以下的人数相同，C正确．
(2)如图是一个正态曲线，总体随机变量的均值μ＝________，方差σ2
＝________．
答案：20
2
解析：从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是
1
1
2σ<X≤μ－σ)＝ [P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)]＝ ×(0.954 4－0.682 6)＝
2
2
0.135 9. 故 随 机 抽 取 的 10 000 个 零 件 中 尺 寸 在 (99.8 ， 99.9] 内 的 个 数 约 为 10
000×0.135 9＝1 359.
(1)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而
变化的．( × )
(2)正态曲线可以关于y轴对称．( √ )
(3)在正态分布中，参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，
可以用样本均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，
可以用样本标准差去估计．( √ )
(4)正态曲线的对称轴的位置由μ确定，曲线形状由σ确定．( √ )
5
正态分布
要点一 正态分布
由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象如图，对应的分
布密度函数解析式为φμ，σ(x)＝
1
−
e
2πσ
x−μ 2
2σ2
，x∈(－∞，＋∞)，其中
实数μ，σ(σ>0)为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态
分布密度(函数)，简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，
(2)[多选题]甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布
(1 ，12 )，(2 ，22 )，其正态分布密度曲线如图所示，则下列说
法正确的是(
)
A.甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
所以身高在(168，180]范围内的概率为0.954 4.
因为μ＝174，所以身高在(168，174]和(174，180]范围内的概率相等，均为
0.477 2.
故该市高二男生身高在(174，180]范围内的人数为3 000×0.477 2≈1 432.
求解正态分布的概率问题的思路
利用正态曲线的对称性求概率是正态分布的基本题型，也是高考考
(3)据调查统计，某市高二学生中男生的身高X(单位：cm)服从正态
分布N(174，9)．若该市共有高二男生3 000人，试估计该市高二男生
身高在(174，180]范围内的人数为________．
答案：1 432
解析：因为身高X～N(174，9)，所以μ＝174，σ＝3.
所以μ－2σ＝174－2×3＝168，μ＋2σ＝174＋2×3＝180，
上升
向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线．
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴
平移
________．
越大
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ________，曲线越“矮胖”，
表示总体的分布越________；σ________，曲线越“高瘦”，表示总
分散
越小
体的分布越________．
查的重点．解题的关键是利用对称轴x＝μ确定所求概率对应的随机变
量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时，可借助
图形判断，常用结论如下．
1．对于正态分布N(μ，σ2)，由直线x＝μ是正态曲线的对称轴知：
(1)对任意的实数a，P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；
(2)P(X<x0)＝1－P(X≥x0)；
答案：μ
解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称的特点可知c＝μ.
题型一 正态曲线及其性质
例1 (1)如图是当ξ取三个不同值ξ1，ξ2，ξ3时的三种正态分布密度曲
线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是(
)
A．σ1>1>σ2>σ3>0
B．0<σ1<σ2<1<σ3
C．σ1>σ2>1>σ3>0
σ越大，总体分布越分散，曲线越“矮胖”；σ越小，总体分布越集中，曲线越
“瘦高”，则σ1＝σ2<σ3.故选D.
3．正态曲线关于y轴对称，则它所对应的正态总体均值为(
A．1
B．－1
C．0
D．不确定
答案：C
解析：由正态曲线性质知EX＝0.故选C.
)
4．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤c)＝P(X>c)，则c＝________．
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99
答案：ABC
用正态曲线的性质可求参数μ，σ
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求
μ；
1
(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值
，由此性质结合图象可求σ；
σ 2π
(3)由σ的大小区分曲线的胖瘦．
训练1 (1)[多选题]某市组织一次高三调研考试，考试后统计的
题型三 正态分布的实际应用
例3 有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布，即X～
N(20，4)．若这批零件共有5 000个，试求：
(1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；
(2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合适，则这批零件中不合适
的零件大约有多少个？
解析：(1)∵X～N(20，4)，∴μ＝20，σ＝2.
＝0.3＋0.5＝0.8.故选D.
(3)某工厂制造的某种机器零件的尺寸X～N(100，0.01)，现从中随机
抽取10 000个零件，尺寸在(99.8，99.9]内的个数约为________．
答案：1 359
解析：∵X～N(100，0.01) ，∴μ＝100，σ ＝0.1，则P(99.8<X≤99.9) ＝P(μ－
N(4，0.52)．质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查1件，测得
它的外直径为5.7 cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？
解析：由于外直径ξ～N(4，0.52)，则ξ在(4－3×0.5，4＋3×0.5)之内取值的概率
3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 4.
训练2 (1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，
则P(0<ξ<2)＝(
)
A．0.6
B．0.4
C．0.3
D．0.2
答案：C
解析：因为随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，
所以μ＝2，对称轴是x＝2.
因为P(ξ<4)＝0.8，
所以P(ξ≥4)＝P(ξ<0)＝0.2，
D．0.975
答案：C
解析：由随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，得P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≥1.96)＝1－
P(ξ≤－1.96)，所以P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－
2P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ<－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.故选C.