混合型随机微分方程的传输不等式

2021,41A (1):227-236数学物理学报
http: // a ct a
混合型随机微分方程的传输不等式
徐丽平李治*
*收稿日期：2019-12-24;修订日期：2020-10-25
E-mail: ****************
基金项目：国家自然科学基金(11901058, 62076039)
Supported by the NSFC(11901058, 62076039)
*通讯作者
(长江大学信息与数学学院湖北荆州434023)
摘要：该文探讨一类由Wiener 过程和Hurst 参数1/2 < H < 1分数布朗运动驱动的混合 型随机微分方程.通过使用一些变换技巧和逼近方法，这类方程的强解在d 2度量和一致度量 d *下的二次传输不等式被建立.
关键词：传输不等式；混合型随机微分方程；分数布朗运动；轨道积分.
MR(2010)主题分类：60H15; 60H05 中图分类号：0221 文献标识码：A
文章编号：1003-3998(2021)01-227-10
1引言
考虑如下的混合型随机微分方程
X (t ) = X o + / a (s,X (s ))d s + / b (s,X (s ))d W (s )
Jo Jo
c (s,X (s ))
d B H (s ),t G [0,T ],(1.1)
这里a : [0,T ] x 及b,c : [0,T ] x t R d x k 是一些适当的函数，我们将在后面详细讨论他们；W 是标准的Wiener 过程，B H 是Hurs t 参数1/2 <H < 1的分数布朗运动； 随机积分f (0 c (s,X (s ))d B H (s )是样本轨道意义下的Riemann-Stieltjes 积分，这就是说这种随 机积分是Young [22〕和Zahle [23-24〕在分数Sobolev 型空间中定义的积分.
考虑这种混合型随机微分方程的动机来自于金融数学.在模拟金融市场的随机性时，有 必要区分两种不同的主要随机性来源.噪音的第一个来源是证券交易所的数千个经纪人，这 类随机噪声可以被认为为白噪声，可以使用Wiener 过程来模拟.第二类噪声源于常常具有 长相依性和自相似性的财政和经济状况，这类噪声能够使用Hurst 参数1/2 < H < 1的分 数布朗运动来模拟.因此，利用Wiener 过程和分数布朗运动驱动的混合型随机微分方程描 述证券的价格行为更加合理.
最近，混合型随机微分方程吸引了广泛的关注•例如，Guerra 和Nualart 间及Kubilius [6] 考虑了混合型随机微分方程(1.1)强解的存在唯一性；Mishura 和Shevchenko [12]研究了方程
228数学物理学报Vol.41A
(1.1)解的存在唯一性及收敛性；Mishura等【回调查了混合时滞微分方程解的Euler逼近的 收敛性；Liu和Luo®〕使用修正的Euler方法讨论了方程(1.1)解的均方收敛率；Melnikov 等［11］研究了方程(1.1)的随机可行性和比较定理.
另一方面，关于各种随机过程的Talagrand-类型的传输不等式已有大量的研究结果.
文献［2,20-21］研究了底上的扩散过程，文献［17-18］研究了Riemannian流形上的扩散过程，文献［14］研究了多维半鞅，文献［19］研究了纯跳过程驱动的随机微分方程，文献［16］研究了分数布朗运动驱动的随机微分方程，文献［8］研究了Hurst参数1/2<H<1分数布朗运动驱动的随机时滞发展方程以及文献［1］研究了Hurst参数0<H<1/2分数布朗运动驱动的中立性随机时滞发展方程.TCIs是处理测量现象的集中问题的有效工具，TCIs在Tsirel'son-类型和Hoeffding-类型不等式t2'20-21!以及经验测度集中度血」9］等中的广泛应用使得它吸引了越来越多的关注.
假设(E,d)是。

-域B上使得距离d(；•)是-可测的度量空间.给定P>1和两个E上的概率测度“和v,定义Wasserstein距离如下
1/p
这里C(仏v)表示乘积空间E x E上所有边际为"和v的概率测度.概率测度v关于"的相对爛定义为
(几d v」
l^—dv,v《
H(v|”)=｛丿d"
［+2其他.
如果存在常数c>0使得对任意的概率测度v,有
W p(禺v)W2C H(v|“),
则称概率测度“满足(E,d)上的T p传输不等式，并记“G T p(C)表示这种关系.“p=1”和“p=2”特别令人感兴趣.T i(C)可以很好的描述测量现象的集中问题.T2(C)比T i(C)强且与Poincare不等式、对数Sobolev不等式及Hamilton-Jacobi方程紧密相连.
文献［2］引入的Girsanov变换方法是一类建立T?传输不等式的有效方法.使用分数布朗运动的Girsanov定理，在Wiener积分意义下，Li和Luo^〕与Boufoussi和Hajji［1〕分别对Hurst参数H G(1/2,1)和H G(0,1/2)分数布朗运动驱动的可加性随机发展方程建立了T?传输不等式.Saussereau"〕首先在上对可加分数噪声驱动的随机微分方程建立了T?传输不等式，随后利用常数变异公式［23］对乘积分数噪声驱动的时齐随机微分方程给出了T 传输不等式.
尽管如此，因为积分项人b(s,X(s))d W(s)的出现，使用对可加分数噪声驱动的随机微分方程建立的T2传输不等式及常数变异公式对混合型随机微分方程(1.1)获得T2传输不等式似乎是无效的.此外，如果我们想直接通过对分数布朗运动使用Girsanov定理获得混合型随机微分方程(1.1)解的T2传输不等式，那么我们将不得不估计
(c(s,X(s))-c(s,Y(s)))d B H(s)
通常我们将通过下一节的(2.4)式把估计|/：(c(s,X(s))-c(s,Y(s)))d B H(s)|转化为估计||c(s,X(s))-c(s,Y(s))||a入但是，为了获得T2传输不等式Gronwall's引理将不再有效.为
No.1徐丽平等：混合型随机微分方程的传输不等式229
了克服这些缺陷，我们将试图把(1.1)转变为Ito随机微分方程，构造一个Ito随机微分方程解序列X"使之依概率收敛到方程(1.1)的解X.进一步，我们通过对X”建立啓传输不等式对方程(1.1)的解X建立啓传输不等式.
本文结构如下：第2节给出一些必要的预备知识.第3节阐述并证明本文的主要结果. 2预备知识
假设(Q,F,P)是一个满足通常条件的过滤的完备的概率空间，也就是过滤是一个右连续递增族且F o包含了所有的P-零测集.设W={(W i(t),…,W m(t)),t>0}是标准的m-维F t-适应的Wiener过程，B H={(B f(t),•••,(t)),t>0}是r-维F t-适应的分数布朗运动.在R d上考虑下面的混合型随机微分方程
严严m
X(t)=X o+a(s,X(s))d s+Vb fc(s,X(s))d W k(s)
丿0丿0—
+(s,X(s))d B f(s),t G[0,T].(2.1)
为了方便，记
m
b(s,X(s))d W(s):=工b k(s,X(s))d W k(s),
k=1
r
c(s,X(s))d B H(s):="C j(s,X(s))d B H(s),
j=i
这里关于Wiener过程的积分是标准的ItO积分，关于分数布朗运动的积分是样本轨道的Riemann-Stieltjes积分
*
给定t G[0,T].记W a®([t,T];R d),0<a<1为所有使得
f lla,~；[t,T]:=套％(厅(s)|+/冒d r)<8
的连续函数/:[t,T]T构成的空间.对任意的入>0定义它的一个等价范数为
f H aA[t,T]：=膚陽厂“(|几s)|+d r)<2
对任意的0<“<1,记C"([t,T];R d)表示范数为
11/h;[t,T]:=f ll〜[t,T]+su P
t<s<r<T |/(s)—/(r) (s—r)M
这里f“;[t,T]：=sup|/(s)|的“-HOlder连续函数/:[t,T]t构成的空间.对所有的s e[t,T]
0<£<a有连续嵌入
C a+*([t,T];R d)c W a，g([t,T];R d)c C a-£([t,T];R d).
230数学物理学报
Vol.41A
给定参数0 <a< 1/2 •记皿1-a ®([t,T ]; R d )为使得恂品…皆时：=|g (t )l + 0<;勢(d y) <的连续函数g : [t, T ] T R k 构成的空间.显然
C 1-a +e ([t,T ];R d ) c WW 1-a ，8([t,T ];R d ) c C 1-a ([t,T ];R d ), V e > 0.
记
这里
是Euler 函数以及
A a (g ;[t,T ]) ：= ~) sup |(D S -a g s -)(r )1,r (1 一 a ) 0<r<s<T
r(a ) = x a -1e -x d x
Jo (D 1-a g s -)(r )
e in (1-a )(g (r ) — g (s ) r(a ) \ s — r 1-a + (1 — a) /J r g (y ) — g (r ) (y — r )2-a
dy)弘)(r ).s 假设W a ，1([t,T ];R d )是使得
于是A a (g ;[t , T ]) < ^(1 一 a )r(a ) |g |^i —a ®([o,T ]；R d )・
很明显
A a (g ; [t, T ]) < A a (g ; [0, T ])(:= A a (g )).
f (s )
s — t )a f (s )- f (y )l a+1d y i s — y 」
d s < x t 的[t,T ]上的可测函数 f 构成的空间•显然 W a ，-([t,T ];R d ) c W a ，1([t,T ];R d )及 ||f ||a,1；[t,T ] < (T + )|f lla,^;[0,T ] •记
(。

”=宀(毎 + a] (2-)定义 2.1 假设 0 < a < 1/2.如果 / G W a ,1([t,T ];R d x k )和 g G IV 1-«,~([t,T ];R k ),那 么下面定义的积分
[几r )d g (r ) ：= (―1)a / (D 0+f )(r )(D S -a g s -)(r )d r
0 Jo (2.3)
对所有的s G [t,T ]存在，而且
/(r )d g (r )| <
sup |(D S -a g s -)(r )0<r<s<T |(D 0+f )(s )|d s
< A a (g ；[t,T ])f l|a,1;[0,T ].
(2.4)接下来，
我们考虑如下的假设.
No.1徐丽平等：混合型随机微分方程的传输不等式231 (H1)存在正数C i和一些0G(1-H,1]使得对所有的t,s G[0,T]及G便有
|a(t,x)|<C i(1+|x|),|a(t,x)一a(t,y)|<C i|x一y
及
|a(t,x)—a(s,x)|<C i|t—s|©.
(H2)对每一个k=1,•••和一些0G(1-H,1],存在正数C2使得对所有的t,s G[0,T]及x,y G有
|b k(t,x)|<C2(1+|x|),|b k(t,x)—b k(t,y)|<C2〔x—y
及
|b k(t,x)—b k(s,x)|<C2|t一屮-
(H3)对每一个j=1,•••,r,i=1,•••,d和一些0G(1-H,1],存在正数C3使得对所有的s,t G[0,T]及x,y G R d有
|c j(t,x)|<c3(1+|x|),
|c j(t,x)-c j(t,y)|<C3|x-y|,\d X i c j(t,x)-d X i c j(t,y)|<C3W-y
和
|c j(t,x)-c j(s,x)|<C3|t-s|0,|d x i c j(t,x)-d x i c j(s,x)|<C3|t-s|0.
下面的两个结果来自Mishura和Shevchenko[12].
定理2.1在假设(H1)-(H3)下，方程(2.1)存在唯一解，而且
ll X llg;[0,T〕<g
考虑下面的方程序列
X n(t)=X o+[a(s,X n(s))d s+[b(s,X n(s))d W(s)
丿0丿o
+f c(s,X n(s))d B H(s),t G[0,T],(2.5)
丿0
这里{B H,n>1}一列Hurst参数为H的分数布朗运动.
定理2.2如果||B h-B H||0,〜[0,t]依概率收敛到0,那么X n(t)对t一致的依概率收敛到X(t).
3主要结果
在这一节，我们将使用逼近方法讨论方程(2.1)解的传输不等式.为此，对x G R d,n>1记k n(x)=|X|(|x|A n)及
B H(t)=n「k”(B H(s))d s.(3.1)
V(t-1/n)V0
由文献[12,引理2.1]知对a G(1-H,1/2)有
||BH-k n(B H)||0g[0,T]<CK h(k n(B H))n1-H-a(3.2)
232数学物理学报Vol.41A
这里K h(g)=sup气匕閒1是g的HOlder连续常数.显然
0<s<t<T'丿
II B H—B H H0,8；[O,T]<|B H—k n(B H)|〔0,8；[O,T]+IIB H—k”(B H)||0,8；[O,T].
注意到B H是连续的，于是它是有界的.因此
||B H—k n(B H)|〔0,8；[O,T]t0,n T
结合(3.2)式和不等式K h(k n(B H))<K h(B h)<8知
II B f—B H H0,8；[O,T]T0,n T8.
定理3.1假设条件(H1)-(H3)成立，是方程(2.1)解过程X(•,X o)的概率测度.那么概率测度在度量空间C([0,T];R d)上满足如下的T2(C)
(a)如果
仏(九丁2)：=sup|y i-Y2|,71,72G C([0,T];R d),
O<t<T
那么C=3TC4e12C2+3T(6+C3)2.
(b)如果
/f T\1/2
d2(Y i,Y2)=|?i(t)—72(t)|2dd,71,72G C([0,T];R d),
那么C=3T2C4e12C2+3T(6+C3匚
这里C4=(M+C2)(1+T)+|b(0,X o)|,M是X的HOlder连续常数.
证定理的证明分为三步.
第一步构造序列X"逼近X.对任意的n>1,假设B f如(3.1)式定义.考虑下面的随机微分方程
X n(t)=X o+[a(s,X n(s))d s+[b(s,X n(s))d W(s)
7o7o
+fc(s,X n(s))d B H(s),t G[0,T].(3.3)
Jo
由定理2.1和定理2.2知对任意的n>1,方程(3.3)存在唯一的解X n(t)，且X n(t)对t G[0,T]依概率一致收敛到X(t),当n t8.进一步,X n(t)是0-阶Holder连续的.
利用(3.1)式，我们知道(3.3)式能变为下面的ItO随机微分方程
X n(t)=X o+/a n(s,X n(s))d s+/b(s,X n(s))d W(s),t G[0,T],
Jo Jo
这里
r
a n(t,x)=a(t,x)+C j(t,x)B H n,j(t)
j=1
r
=a(t,x)+"C j(t,x)n(k n,j(B H(t))—k n,j(B H((t—1/n)V0))),(3.4)
j=1
No.1徐丽平等：混合型随机微分方程的传输不等式233
k nj(X)是k n(x)的第j个分量”
第二步对每一个n>1,假设是方程(3.3)解过程X n(.,X°)的概率测度，Q是R d上使得Q《的任意的概率测度.对每一个n>1,定义
〜dQ
Q n：=忒(X(•,^))P(3.5)是(忆F)上的概率测度•回忆爛的定义、使用测度变换方法利用(3.5)式知
H(Q…|P)^Jn d◎”=〃n(联(X(小)))带(X(^,X0))d p
=/l屛黑)器d P X
厶<d P Xj d P X0Xo
=H(Q|P X o).
由文献[3]知，存在可料过程h…(t)0<t<T G R满足f T||Ms)『d s<g P-a.s.及
〜1r T
H(Q n|P)=H(Q|P X o)=2E q”/|h…(t)|2d t.
由Girsanov定理知对每一个n>1,过程(W”(t))©0,T]
W n(t)=W(t)-/\…(s)d s
丿0
是概率空间(Q,F,Q n)上关于{F t}t>0的布朗运动•于是对每一个n>1,在概率测度Q n下{X n(t,X0)}©0,T]满足
X n(t)=X0+f a n(s,X n(s))d s+f b(s,X n(s))h”(s)d s+/^(s’X n(s))d W”(s).(3.6)丿0丿0丿0
现在对每一个n>1,考虑下面的方程在Q n下的解Y n
Y n(t)=X0+f a n(s,Y n(s))d s+f b(s,Y n(s))d W”(s).(3.7)
丿0丿0
因为k…(B H)有界，所以a n对x是^pschitz连续和线性增长的.于是，对每二个n>1,(3.7)式程Q n下有唯一的解Y n,而且在Q n下Y n(.)的分布就是P X0.因此，在Q n下(X n,Y n)是(Q n,P X0)的一对耦合，于是我们知
<E q”(|d2(X n,Y n)|2)=E q”(/T|X n(t)-Y n(t)|2d t
[W加(Q,P X o)]2<E q”(|d*(X n,Y n)|2)=E q”gup」X n(t)-Y n(t)|2
接下来我们估计X"和Y n关于d2和d g的距离.
由(3.6)和(3.7)式知
X n(t)-Y n(t)=/[a n(s,X n(s))-a n(s,Y n(s))]d s+f b(s,X n(s))h”(s)d s
J0丿0
+f[b(s,X n(s))-b(s,Y n(s))]d W n(s)
J0
:=厶(t)+^2(t)+Z a(t)-(3・8)
234数学物理学报Vol.41A 注意到a n 的Lipschitz 常数与"无关•实际上，利用一些简单的计算我们知a n 的Lipschitz 常数为C 1 + C 3•从而，使用Holder's 不等式得到
岭” o <u <o |I 1(s )|2 = E Q ” 0冥0< t (C 1 + C 3)2E q ”[[a n (u,X n (u )) — a "(u,Y n (u ))]d u 『
[sup |X n (u) — Y n (u )|2d s.
O O <u <s (3.9)
根据假设(H2)和X "的Holder 连续性，对任意的t G [0, T ]有
|b (t,X n (t ))| < |b (t,X n (t )) — b (0,X o )| + |b (0,X o )
< |b (t, X n (t )) — b (t, X o )| + |b (t, X o ) — b (0, X o )| + |b (0, X o )
< C 2|X n (t )) — X (0)| + C 2护 + |b (0, X o )
< (C 2M + C 2)护 + |b (0,X o )
< (M + C 2)(1 + T ) + |b (0,X o )| := C 4,
这里M 是X n 的Holder 常数，并且与C 1, C 2, C 3, T, X °,H 及0无关”
因此，对每一个n > 1知
fT E q n sup |/2(s )|2 < C 4T E q / |h n (t )|2d t.
"O<s <0 " Jo 根据假设(H2)和Burkhold-Davis-Gundy 's 不等式知
E q sup |l 3(s )|2 < 4E q f|b (s,X n (s )) — b (s,Y n (s ))|2d s
O <s <0 % J O
< 4C 2E q / sup |X n (u ) — Y n (u )|2d s.
n JO O <u <s (3.10)
(3.11)
从而，联合(3.9)—(3.11)式，得到
E q sup |X n (s ) — Y n (s )|2 < 3E q sup |I 1(s )|2 + 3E q sup |/2(s )|2 + 3E q
sO <s <0 O <s <0 O <s <0[E q ” sup
o O <u <s < I12C 2 + 3T (C 1 + C 3)2sup O <s <0|l 3(s )|2
|X n (u ) — Y n (u )|2d s
+3TC ：/ E q n |h n (s )|2d s.
(3•⑵于是，Gronwall's 引理意味着对任意的t > 0,有
ft
E q ”|X n (t ) — Y n (t )|2 < 3TC 4e 12C 2 +3T (6+C 3)2 / E q ”|h ”(s )|2d s.J o
因此，我们得到
广T d ；(X n ,Y n ) < 3TC 4e 12C 2 +3T (C1+C 3)2 / E Q 」h n (s )|2d s,
f T d 2(X n ,Y n ) < 3T 2C 4e 12C 2 +3T (6+°3)2 / E Q 」h n (s )|2d s
N o.1徐丽平等：混合型随机微分方程的传输不等式235
及
[Wfg(Q,P J0)]2<3TC4e12C2+3T(Cl+C3)2H(Q|P J0),(3.13)
[Wf2(Q,P J0)]2<3T2C4e12C2+3T(C i+C3)2H(Q|P J0).(3.14)第三步因为X n(t)对t G[0,T]一致依概率收敛到X(t),n t8,于是P X0t P x0当n t8.由文献[15，定理3]和Wfg的定义知
W茫(Q,P X0)T W茫(Q,P X0),as n t8
及
W『(Q,P J0)t W『(Q,P X0),当n t8.
另一方面，由H(Q|P)的定义知
H(Q|P^0)t H(Q|P x0),当n t8.
因此，在(3.13)式两边极限得到
[Wfg(Q,P X0)]2<3TC4e12C2+3T(Cl+C3)2H(Q|P x0)
及
[W(2(Q,P X0)]2<3T2C4e12C2+3T©+C3)2H(Q|P X0).
证毕.I
参考文献
[1]Boufoussi B,Hajji S.Transportation inequalities for neutral stochastic differential equations driven by
fractional Brownian motion with Hurst parameter lesser than1/2.Mediterranean Journal of Mathematics, 2007,14:192
[2]Djellout H,Guilin A,Wu L.Transportation cost-information inequalities for random dynamical systems
and diffsions.Ann Probab,2004,32:2702-2732
[3]Da Prato G,Zabczyk J.Stochastic Equations in Infinite Dimonsionals.Cambridge:Cambridge University
Press,1992
[4]Gozlan N,Leonard C.Transport inequalities,A survey.Markov Process Related Fields,2010,16(4):
635-736
[5]Guerra J,Nualart D.Stochastic differential equations driven by fractional Brownian motion and standard
Brownian motion.Stoch Anal Appl,2008,26(5):1053-1075
[6]Kubilius K.The existence and uniqueness of the solution of an integral equation driven by a p-semimartingale
of special type.Stochastic Process Appl,2002,98(2):289-315
[7]Ledoux M.The Concentration of Measure Phenomenon.Providence,RI:American Mathematical Society,
2001
[8]Li Z,Luo J W.Transportation inequalities for stochastic delay evolution equations driven by fractional
Brownian motion.Frontiers of Mathematics in China,2015,10(2):303-321
[9]Liu W G,Luo J W.Modified Euler approximation of stochastic differential equation driven by Brownian
motion and fractional Brownian munications in Statistics-Theory and Method,2017,46(15): 7427-7443
[10]Ma Y.Transportation inequalities for stochastic differential equations with jumps.Stochastic Process
Appl,2010,120:2-21
[11]Melnikov A,Mishura Y,Shevchenko G.Stochastic viability and comparison theorems for mixed stochastic
differential equations.Methodol Comput Appl Probab,2015,17:169-188
236数学物理学报Vol.41A
[12]Mishura Y,Shevchenko G.Mixed stochastic differential equations with long-range dependence:Existence,
uniqueness and convergence of puters and Mathematics with Applications,2012,64:3217—3227
[13]Mishura Y,Shalaiko T,Shevchenko G.Convergence of solutions of mixed stochastic delay differential
equations with applications.Applied Mathematics and Computation,2015,257(15):487—497
[14]Pal S.Concentration for multidimensional diffusions and their boundary local times.Probab Theory Relat
Fields,2012,154:225-254
[15]Piccoli B,Rossi F.Generalized Wasserstein distance and its application to transport equations with source.
Arch Rational Mech Anal,2014,211:335-358
[16]Saussereau B.Transportation inequalities for stochastic differential equations driven by a fractional Brow­
nian motion.Bernoulli,2012,18(1):1-23
[17]Wang F Y.Transportation cost inequalities on path spaces over Riemannian manifolds.Illinois J Math,
2002,46:1197-1206
[18]Wang F Y.Probability distance inequalities on Riemannian manifolds and path spaces.J Funct Anal,
2004,206:167-190
[19]Wu L.Transportation inequalities for stochastic differential equations of pure jumps.Ann Inst Henri
Poincare Probab Stat,2010,46:465-479
[20]Wu L,Zhang Z.Talagrand's^-transportation inequality w.r.t.a uniform metric for diffusions.Acta
Math Appl Sin Engl Ser,2004,20:357-364
[21]Wu L,Zhang Z.Talagrand's T2-transportation inequality and log-Sobolev inequality for dissipative SPDEs
and applications to reaction-diffusion equations.Chinese Ann Math Ser B,2006,27:243-262
[22]Young L C.An inequality of the Holder type connected with Stieltjes integration.Acta Math,1936,67:
251-282
[23]Zale M.Integration with respect to fractal functions and stochastic calculus.I.Probab Theory Related
Field,1998,111:333-374
[24]Zale M.On the Link Between Fractional and Stochastic Calculus//Crauel H,Gundlach M.Stochastic
Dynamics.New York:Springer,1999:305-325
Transportation Inequalities for Mixed Stochastic Differential
Equa t ions
Xu Liping Li Zhi
(School of Information and Mathematics,Yangtze University,Hubei Jingzhou434023)
Abstract:In this paper,we discuss a class of stochastic differential equations containing both Wiener process and fractional Brownian motion with Hurst parameter1/2<H< 1.By using some transformation technique and approximation argument,we establish the quadratic transportation inequalities for the law of the solution of the equations under investigation under the d2metric and the uniform metric d g.
Key words:Transportation inequalities;Mixed stochastic differential equations;Fractional Brownian motion;Pathwise integral.
MR(2010)Subject Classification:60H15;60H05。