2021-2022年高二数学上学期期中试卷 理

2021年高二数学上学期期中试卷理
考试说明：
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

（1）答题前，考生先将自己的班级、姓名、准考证号码填写清楚。

（2）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。

（3）保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（每题5分，共60分）
1. 用长为4，宽为2的矩形做面围成一个圆柱，则此圆柱的侧面积为（）
A． B． C． D．8
2. 有下列命题正确的是（）
（1）在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
（2）圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
（3）在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
（4）圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的；
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（2）（4）
3. 已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于( )
A．310 B．210 C.10 D．5
4．已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A．若则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
6. 已知向量a ＝(2，－3,5)与向量b ＝(3，λ，)平行，则λ＝( )
A. B. C.－ D.－ 7. 已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若OC →＝25
AB →
，则C 的坐标是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－6
5，－45，－85
B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，－45，－85
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－6
5
，－45，85
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫65，45，85 8. 如图，正棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )
A.1
5 B.25 C.35
D.45
9. 如图所示，在平行六面体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，M 是AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →
相等的向量是( ) A ．－12a ＋1
2b ＋c
B.12a ＋1
2b ＋c C.12a －1
2
b ＋
c D ．－12a －1
2
b ＋c
10. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角的余弦值为( )
A.12
B.13
C.3
2
D.3
3
11. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，画该四面体三视图中的正视图时，
以平面为投影面，则得到正视图可以为( )
12. 空间四边形的各边及对角线长度都相等， 分别是的中点，下列四个结论中不成立．．．的是（ ） A ．平面 B ．平面 C ．平面平面 D ．平面平面
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.
14. 已知向量a ＝(－1,0,1)，b ＝(1,2,3)，k ∈R ，若k a －b 与b 垂直，则k ＝________. 15. 若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于________。

16．将正方形沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：
①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 成60°的角；④AB 与CD 所成的角是60°.
其中正确结论的序号是________
三、解答题（70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分10分）如图,在直三棱柱中, , , , 点是的中点。

(1)求证:; (2)求证:∥平面.
4
3 2
3
3
正视图
侧视图
俯视图
（第15题图）
P
A
D
F E
B C
18．（本小题满分12分）在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5。

（如图所示）
（Ⅰ）证明：SC⊥BC；
（Ⅱ）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；
（Ⅲ）求三棱锥的体积V S－AB C。

19．(本小题满分12分)如图，四棱锥的底面是正方形，
，点E在棱PB上.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的
角的大小。

20.（本小题满分12分）如图，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点。

（I ）求证：
（II ）2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值
21．（本小题满分12分）如图，直棱柱中，分别是的中点，12
2
AA AC CB AB ===。

（Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求二面角的正弦值。

22． (本小题满分12分) 如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD, AB//DC, AB
⊥AD,
AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点。

(Ⅰ)证明B 1C 1⊥CE;
(Ⅱ) 求二面角B1－CE－C1的正弦值.
(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为, 求线段AM的长.
17答案】
【解析】证明: (1) 因为三棱柱为直三棱柱, 所以平面, 所以. 又因为, , , 所以 , 所以 . 又 , 所以 平面, 所以 .
(2) 令与的交点为, 连结. 因为是的中点, 为的中点,
18解析：（Ⅰ）证明：∵∠SAB =∠SAC =90°，
∴SA ⊥AB ，SA ⊥A C 。

又AB ∩AC =A ， ∴SA ⊥平面AB C 。

由于∠ACB =90°，即BC ⊥AC ，由三垂线定理，得SC ⊥BC 。

（Ⅱ）解：∵BC ⊥AC ，SC ⊥BC 。

∴∠SCA 是侧面SCB 与底面ABC 所成二面角的平面角。

在Rt △SCB 中，BC =5，SB =5，得SC ==10。

在Rt △SAC 中AC =5，SC =10，cos SCA =，
∴∠SCA =60°，即侧面SBC 与底面ABC 所成的二面角的大小为60°。

（Ⅲ）解：在Rt △SAC 中，
∵SA =755102
2
2
2
=
-=-AC SC ，
S △ABC =·AC ·BC =×5×5=， ∴V S －ABC =·S △ACB ·SA =。

19【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
（Ⅰ）∵四边形ABCD 是正方形，∴AC⊥BD，
∵，
∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB ， ∴平面.
（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE ，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB 于O ，
在Rt △AOE 中，122OE PD AB AO =
==， ∴，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为.
【解法2】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系， 设
则()()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,0,0,0,A a B a a C a D P h ， （Ⅰ）∵()()(),,0,0,0,,,,0AC a a DP h DB a a =-==，
∴，
∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB ， ∴平面.
（Ⅱ）当且E 为PB 的中点时，()
1122,,22P a E a a ⎛⎫
⎪ ⎪⎝
⎭， 设AC∩BD=O，连接OE ，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所的角， ∵1122,,,0,0,222EA a a a EO ⎛⎫⎛⎫
=--=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， ∴2
cos EA EO AEO EA EO
⋅∠=
=
⋅， ∴，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为. 20
21
22。