高考数学一轮复习学案：第1章集合与常用逻辑用语第1节集合学案理北师大版

第一节集合
［考纲传真］(教师用书独具)1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题2理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义3(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集. (2)理解在给定集合中一个子
集的补集的含义，会求给定子集的补集.(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
双基自主测评I 梳理自測巩固基础知.识
(对应学生用书第1页)
［基础知识填充］
1. 元素与集合
(1) 集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性 _____
(2) 元素与集合的关系是属于或不属于丄示符号分别为€和?.
⑶集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法.
(4) 常见数集的记法
集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集
符号N N（或N+）Z Q R
2.集合间的基本关系
表示
文字语言符号语言
集合间的基本关系
相等集合A与集合B中的所有兀素都相冋A= B 子集A中任意一个兀素均为B中的兀素A? B
真子集
A中任意一个兀素均为B中的兀素，且B中至少有一
个元素不是A中的元素
A B
空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
3.集合的基本运算
并集交集补集图形表示磁
付号表示A U B A n B?U A
意义{x l x € A或x€ B}{x l x € A 且x € B}{x| x€ U且x?A}［知识拓展］集合关系与运算的常用结论
(1) 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n—1个.
(2) 任何集合是其本身的子集，即：A? A
(3)子集的传递性：A? B, B? C? A? C.
⑷ A? B? A H B= A? A U B= B.
(5) ?U(A H B) = (?U A)U( ?U B), ?U(A U B) = (?U A)H( ?U B).
［基本能力自测］
1. (思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X”)
(1) 任何集合都有两个子集.()
2 2 2
(2) { x|y = x} = {y| y = x} = {( x, y)| y = x}.( )
(3) 若{x2,1} = {0,1}，则x = 0,1.( )
(4) { x|x w 1} = {t|t w 1}.( )
(5) 对于任意两个集合A, B,关系(A H B>? (A U B)恒成立.
(6) 若A H B= A H C,贝U B= C( )
［解析］(1)错误•空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的.
(2) 错误.三个集合分别表示函数y = x2的定义域(—8,+^ )，值域［0 ,线y= x2上的点集.
(3) 错误•当x= 1时，不满足互异性.
⑷正确.两个集合均为不大于1的实数组成的集合.
(5) 正确.由交集、并集、子集的概念知，正确.
(6) 错误.当A= ?时，B, C可为任意集合.
［答案］⑴X (2) X (3) X (4) V (5) V (6) X
2. (教材改编)若集合A={x€ N|x w2「2} , a= ,.；2,则下列结论正确的是(
【导学号：
A. {a}? A
B. a? A
C. {a} € A
D. a?A
D ［由题意知A= {0,1,2}，由a= ；'2，知a?A］
3. 若集合A= {x| —2v x v 1}, B= {x| x v— 1 或x>3}，则A H B=( )
A. {x| —2v x v—1}
B. {x| —2v x v3}
C. {x| — 1 v x v 1}
D. {x|1 v x v 3}
A ［v A= {x| — 2 v x v 1} , B= {x| x v— 1 或x> 3},
••• A H B= {x| —2v x v —1}.故选A.］
4. 设全集U= {x|x€ N+ , x v 6}，集合A= {1,3} , B= {3,5}，则?U(A U B 等于(
A. {1,4}
B. {1,5}
C. {2,5}
D. {2,4}
D ［由题意得A U B= {1,3} U {3,5} = {1,3,5}.又U= {123,4,5} , •
{2,4}.］
2
5. 已知集合A= {x + x, 4x}，若0€ A,则x= _________ .
），抛物
)
79140000】
?U(A U B)=
x + x = 0, 4x = 0,
4x 工0
或 x 2 + X M 0,
解得x =- 1.］
题型分类突破I
川」「 探求规律方法
(对应学生用书第2页)
由集合元素的互异性，可知 X = 5,6,7,8. 即M= {5,6,7,8}，共有4个元素.
b
(2)由已知得a *0,则—=0,
a
所以b = 0,于是a 2= 1,即a = 1或a =— 1,又根据集合中元素的互异性可知 a = 1应舍
2 019
. 2 019 z
八 2 019
^2 019
去，因此 a =— 1，故 a + b = ( — 1)
+ 0 =— 1.］
［规律方法］与集合中的元素有关的问题的求解策略 1确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集 2看这些元素满足什么限制条件
.
3根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元 素的互异性.
［跟踪训练］(1)若集合 A = {x € R ax 2— 3x + 2= 0}中只有一个元素，贝U a =
)
9 9
9 A - B. - C . 0 D . 0 或匚 2 8
8
(2)已知集合 A = {m ^ 2,2吊+ m }，若3€ A ,贝U m 的值为 ________ .
【导学号：79140001】
3 一 2
(1) D (2) — 2
［(1)若集合A 中只有一个元素，则方程 ax — 3X + 2 = 0只有一个实根或
—1 ［由题意，得
集合的基本概念
■■'I
⑴ 设集合 A = {1,2,3} , B = {4,5},
个数为( )
A. 3
B. 4
C. 5
f b "
2
(2)已知 a , b € R ,若 <a, a ，1 卜{a , A. 1 C.— 1
(1)B (2)C ［⑴因为集合M 中的元素 时，
X = 5,6,7.
当 b = 5, a = 1,2,3 时，X = 6,7,8.
M= { X | X = a + b , a € A b € B }，贝U M 中的元素
D. 6
2 019
. 2 019
、「
a + b,0}，则 a +
b 为( )
B. 0 D.±l
X = a + b , a € A b € B ,所以当 b = 4, a = 1,2,3
有两个相等实根.
2
当a = 0时，x = 3,符合题意；
2 9
当a^0 时，由△ = ( —3) —8a= 0 得a=
8
9
所以a的取值为0或.
8
2
⑵因为3€ A所以2= 3或2m+ 3.
当2= 3，即m= 1 时，2m i+ m= 3,
此时集合A中有重复元素3,
所以m= 1不符合题意，舍去；
23
当2m i+ m= 3时，解得m=—㊁或m= 1(舍去)，
3 1
此时当m=—㊁时，2= 工3符合题意.
所以m=—|.]
创⑴已知集合A= {x|y = 1 —x2, x€R}, B= {x|x = ra, m^ A}，则()
A. A B
B. B A
C. A? B
D. B= A
(2)已知集合A= {x|( x +1)( x—3) v 0}, B= {x| —m x x v n).若B? A,则m的取值范围为_________ .
(1) B (2)mci ［⑴由题意知A= {x| —1<x< 1},
2
所以B= {x| x= m, m€ A} = {x|0 < x< 1},
因此B A
(2) 当mco 时，B= ?，显然B? A,
当m>0 时，因为A= {x|( x + 1)( x—3) v 0} = {x| —1v x v 3}.
当B? A时，有
—---------------------------------------------------------------
-m 0 m j 3 *
—m>—1,
所以me 3,
—m v m 所以0v m e 1.
综上所述，m的取值范围为me 1.］
［规律方法］1.集合间基本关系的两种判定方法
1化简集合，从表达式中寻找两集合的关系•
2用列举法或图示法等表示各个集合，从元素或图形中寻找关系.
2. 根据集合间的关系求参数的方法，已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关
系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理
利用数轴、Venn图化抽象为直观进行求解.
易错警示：B? A A M ?，应分B= ?和B M ?两种情况讨论•
［跟踪训练］⑴已知集合A= {x|x2—3x+ 2= 0, x€ R} , B= {x|0 v x v 5, x €h},则满足条
件A? C? B的集合C的个数为()
A. 1 B . 2 C . 3 D . 4
(2)已知集合A= {x| —2e x< 7}, B= {x| 1v x v 2m-1}，若B? A,则实数m的取值
范围是_________ .
(1)D (2) ( —a, 4］［⑴由x2—3x + 2= 0,得x= 1 或x= 2，所以A= {1,2}.
由题意知B= {1,2,3,4},
所以满足条件的C可为{1,2} , {1,2,3} , {1,2,4} , {1,2,3,4}.
⑵I B? A,
•••当B= ?时，有m+1>2 m- 1,则me2.
当B M?时，若B? A,如图.
m+1 >—2,
贝V 2m- 1e 7,
m+ 1 v 2 m- 1,
解得2v m e 4.
I题型3|
综上，m的取值范围为n e 4.］
集合的基本运算
◎角度1集合的运算
B. A U B= R
(1)(2017 •全国卷I )已知集合A= {x|x<1}, B= {x|3x v 1}，则（
D. A n B= ?
A. A n B= {x| x v 0}
C. A U B= {x|x> 1}
⑵（2018 •九江一中）设U= R, A= { —3, —2, —1, 0,1,2} , B= {x|x> 1}，则A n（?U B）
=( )
A. {1,2}
_
x
_
(1)A (2)C [⑴•/ B = {x |3 v 1} ,••• B = {x | x v 0}.
又 A = {x |x v 1} ,••• A H B = {x | x v 0}, A U B = {x | x v 1}.故选 A.
⑵ 由题意得？U B ={X |X v 1} ,••• A H(?u B> = { — 3,— 2, — 1,0},故选 C.]
◎角度2利用集合的运算求参数
A H
B M ?，则实数a 的取值范围是(
A. ［1 ,+s )
A [集合 A H BM ?，则
1
,
2a —1> 1,
解得a > 1,故选A.］ ◎角度3新定义集合问题
如果集合A 满足若x € A ,则—x € A,那么就称集合 A 为“对称集合”.已知集合
A = {2x,0, x 2+ x }，且A 是对称集合，集合
B 是自然数集，则 A H B = ______ .
{0,6}［由题意可知一2x = x 2+ x ,所以x = 0或x =— 3.而当x = 0时不符合元素的互异 性，所以舍去.当 x =— 3 时，A = { — 6,0,6}，所以 A H B = {0,6}.］ ［规律方法］解决集合运算问题需注意以下四点：
1看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问 题的前提•
2看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明 了，易于求解.
要借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地，集合元素离散时用 Venn 图表示；集 合元素连续时用数轴表示，并注意端点值的取舍
■1以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以创新，但最终应转化为原来的集合问 题来解决•
、 . 2
［跟踪训练］(1)(2017 •全国卷 H )设集合 A = {1,2,4} , B = {x |x — 4x + m ^ 0}.若 A H B =
{1}，则 B =( )
A. {1 , — 3}
)
71 1
B . 匕，1
^，J
D .
(1 ,+s
C. {
— 3
，一 2
，一
1,0}
D. {2}
B. { — 1,0,1,2}
)已知 A =[1,+^) ,
Bjx C R ；
a < x <2 a —
1
B. {1,0}
(2018 •合肥第二次质检
c. {1,3} D. {1,5}
(2)已知全集U= R,集合M= {x|( x —1)( x+ 3) v 0}, N={x|| x| < 1},则阴影部分(如
图1-1-1）表示的集合是（
A. [ —1,1) B . ( —3,1] C . ( —s,—3) U [ — 1 ,+^) D . ( —3, —1)
(3)设A, B是非空集合，定义A?B= {x| x € A U B且x?A n B}.已知集合A= {x|0 v x v 2} ,
B= {y|y > 0}，贝U A?B= ____________ .
【导学号：79140002】(1) C (2)D (3){0} U [2 ,+s) [(1) •/ A n B= {1}, ••• 1 € B ••• 1 —4+ m= 0，即m= 3. • B= {x|x2—4x+ 3 = 0} = {1,3}.
故选C.
(2) 由题意可知，M= ( —3,1) ,N=[ —1,1]，•阴影部分表示的集合为M P(?U N)=(—
3, —1).
(3) 由已知A= {x|0 v x v 2} ,B= {y| y> 0}，又由新定义A?B= {x|x€ A U B 且x?A n B}, 结
合数轴得A?B= {0} U [2 ,+s).]。