有关一种数列极限计算题型的思考

调有界，保证极限存在；第二步在递推公式两边同时取极
限，解出具体的极限值。可以发现例1（解法一）直接进行
了第二步，而没有证明该极限存在，因此还必须先证明该
极限是存在的。而对例1的前面几项进行试算，发现该数
列不具有单调的趋势。这就给解题造成了困难，常规的
单调有界收敛准则不能用了，那该怎么办呢？遇到这种情
×
−
1 2
=
=
x2 x1
−
1 2
n
=
2
பைடு நூலகம்
−
1 2
n
于是
去证明
lim
n→∞
xn
=
A
。这里还有一种思路就是由递推式得
到具体的
xn
，然后直接计算
lim
n→∞
xn
，从而避开极限单调性
候，要从更基础的更简单的类似问题寻找突破口。只有
常规思路用得得心应手了，才能一眼发现问题，从而解决
问题。
根据之前的分析，还有一种解题思路是找出 xn 的通
项表达式，直接计算
lim
n→∞
xn
。
例1（解法二）
因为
xn+=2 xn+1
xn= xn+1
xn+1 xn
−
1 2
=
xn xn−1
−
1 2
【关键词】数列极限；单调有界收敛准则；递推式 【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2020）10-0012-02
1 问题提出
2 问题分析
极限的思想贯穿高等数学整本教材。因此，极限的 计算在高等数学的学习过程中非常重要，而且，由于极限 思想渗透到各个章节，所以极限的计算方法也丰富多彩。 这一方面激发了学生学习这一块的兴趣，另一方面学习这 一块是比较具有挑战性的，学生会时常遇到困难。抽象 的数列极限计算题或者证明题，一直是学生学习过程中 的一个难点。笔者在教学过程中，遇到学生问这样一道计 算数列极限的题。
⋅ x2
2
xn−2 xn−1
x1 x2
⋅
x2 x1
⋅ x1
然
后再证
明
lim
n→∞
xn
=
1+
2
，根据定义，要使 lim n→∞
xn
=
A，
就是 n 充分大以后，
xn − A
能任 意小。即 xn − A =
2
+
1 xn−1
−
xn − A =
2
+
1 xn−1
−
= 2 + 1A
xn−1 − A Axn−1
求
lim
n→∞
xn
。
学生经过不断探索，给出了如下解答过程。
况，通常有两种思路，一种是另寻他法来证明极限存在， 如例3所示；另一种是找出 xn 的通项表达式，直接计算
（解法一）不难看出 xn > 0 ，对= xn+2 xn+1 ⋅ xn 进行
lim
n→∞
xn
。
变形，则= 有= xnx+2n xnxn,（n, ≥ 1≥ 1 ），于是 xnx+1n+1 xnx+1n+1
xn+2 =
xn+2 xn+1
⋅
xn+1 xn
⋅
xn xn−1
x3 x2
⋅
x2 x1
⋅
x1
例3
设
x1
=
2，
xn+1
= 2 +
1 xn
(n
= 1, 2,)
，求极限
lim
n→∞
xn
。
先假设lim n→∞
xn
=
A，则有A=
2 + 1 ，推算出A= A
1+
2。
= =
=
xn ⋅ xn−1 ⋅
xn+1
xn
1 xn+1
这是一道给出通项递推式的极限题。学生给出的上 值。因此对于没有单调性的数列，可以采用这样一种方式
述解答过程是不是正确的呢？不妨回忆教材所学内容， 来处理。那么，回到例1，按照例3的思路，如果要完善解
寻找突破口。在教材中，常遇到已知通项递推式求数列 极限的题，如例2。
2
法一的解答过程，就可以尝试去证明 lim n→∞
证明，但也对解题者知识掌握的综合程度要求更高。
例1的求解过程，很好地展现了“已知xn = f ( xn−1 )，
经过这样一个补充，就完善了例1解法一的解答过 程。那么在做完善工作时都是对已有的题型进行分析，
求
lim
n→∞
xn
”这一类数列极限题的常规思路：先用单调有
界准则证明
lim
n→∞
xn
存在，再设递推式对两边同时求极
≤
xn−1 − A 2A
≤
xn−2 − A 22 A
xn+1
再设
lim
n→∞
xn
=
A ，对
xn+2
=
2
两边同时取极限，则
xn+1
≤≤
x1 − A 2n−1 A
→0
(n → ∞)。
例3是先假设极限存在，推算出极限值后，再根据极
2
2
有
A
=
23
，即
lim
n→∞
xn
=
23
。
限的定义证明该极限等于推算出的极限值。我们知道极 限的定义可以用来证明极限存在，但不能直接求出极限
2020 年第 10 期
SCIENCE FANS
教育教学 2
有关一种数列极限计算题型的思考
郑彭丹 （中南林业科技大学涉外学院信息与工程学院数学教研室，湖南 长沙 410004）
【摘 要】极限的计算是高等数学学习的重点。极限计算方法众多，学生通常容易掌握各种不同类型的未定式的极限 计算，但对数列极限的计算普遍感到比较困难。本文从一道数列极限的计算题出发，结合教材常规题型，分析数列极限计 算题型的解题思路。
(( )) 例1 设 x1 = 1 ， x2 = 2 ，xxnn++22== xxnn++11⋅⋅xxnn,, nn∈∈NN++ ，
( ) 例 2 已 知 xn+1 = 2 + xn n ∈ N + , x1 = 2 ，证 明
lim
n→∞
xn
存在并求出该极限。
例2的求解过程分为两步，第一步先证明数列{xn} 单
在上述解答过程中用到了无穷级数求和的知识，等
∑ 2 =
结论成立；设 n = k 时，
2 ≤ xk ≤ 2 ，则有
2=
2 2
≤
xk +1
=
2 2
≤
xk +1
=
2≤ xk
2 2
≤
2
，结论成立。下面证明
lim
n→∞
xn
=
A。
2≤
x比k 级
2
数2
∞≤
n=0
2
−
12= n
1=
1
−
−
1 2
2 3 。解法二成功地避开了
做一个类似的模仿。这种模仿不仅帮助学生有效地解决 限，得到最后的极限值A；如果单调有界准则证明受阻，
了问题，同时也展示了数学学习的一种方法。学生不断模 就退而求其次，先假设极限存在并求出A，然后再用定义
仿，不断摸索，不断总结，从而提高对数学知识的掌握程
度，提高自己的解题能力。特别是在遇到复杂问题的时
xn
=
23
。
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对于例1的解法一，由于 xn+2 =
2 xn+1
,
x1
= 1, x2
=
2，
则 lni→= m∞ xn+2
∞
2= ∑n=0
−
1 2
n
2
23 。
用数学归纳法证明 2 ≤ xn ≤ 2 (n > 1) ，即当 n = 2 时，