惯性矩的平行轴定理优选PPT
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0125x106+602x13500=130.
h
3
2
22
I ydA y(bd) y I组2z合=截I2面cz对+y某c2轴2A的2=惯8性2.矩，等于其组成部分对同一轴惯性z矩的代数和A
12 Iz=Iz1+Iz2+Iz3
h 2
Wz
Iz ym
ax
Iz
h 2
bh2 6
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第五章 弯曲应力
对于脆性梁，其抗拉、抗压性
m axMIz ymax[]来自能不等时，应分别予以设计。
m axMI z ymax[]
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第五章 弯曲应力
例5－6 强度校核
图示T形截面铸铁外伸梁，其许用拉应力[σ]＝30MPa，许用 压应力[σ]＝60MPa，截面尺寸如图。截面对形心轴z的惯性 矩Iz＝763mm4，且y1=52cm。试校核梁的强度。
第五章 弯曲应力
2、求出B截面最大应力
最大拉应力（上边缘）：
B
MBy1 Iz
4716 0 63150 4 22
7.26MP
a
最大压应力（下边缘）：
B M B Izy247 16 6 0 1 3 8 4 08 46.1M 3 Pa
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第五章 弯曲应力
例17－6（续 2）
3、求出C截面最大应力
A1
解：截面可分解成如图组合，
A1=300x30=9000mm2 A2=50x270=13500mm2 yc1=-75-15=-90mm yc2=135-75=60mm
A1、A2两截面对其型心轴的惯性矩为：
A2
I1cz=300x303/12=0.675x106mm4 I2cz=50x2703/12=82.0125x106mm4
由图3得： ydA M即 M ydA E y2dA E zI
对照以上各式，得： M y Iz
其中：Iz为截面对z轴的惯性矩
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第五章 弯曲应力
2. 弯曲梁截面的最大正应力
由正应力公式可知，弯曲梁截面上的最大正 §5－应4 弯力曲梁应的该强度在计算其上下边缘：即|y|的最大值处.
max
组合截面对某轴的惯性矩，等于其组z成部分对同一轴惯性矩的代数和
积分式：
z
2 A
4、应用梁的弯曲正应力准则选择截面尺寸：
矩形截面Iz的计算： A1=300x30=9000mm2
由于A点应力为正，因此该梁上半部分受拉，应力为正，下半部分受压，应力为负，因此有：
bh 如图 2、求出梁的最大拉应力和最大压应力值
3、画出梁的弯矩图，其最大弯矩在 梁的中点，计算得： Mmax=45kN.m 4、应用梁的弯曲正应力准则选择截 面尺寸：
σmax＝(Mmax/Wz)≤[σ]
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例5－7续
第五章 弯曲应力
W M z 4 1 560 0 .28 1 1 6 m 0 23 5 m 2.8 2c 1 5 3 m [] 160
查附录C选取22a工字钢，其Wz=309cm3;h=220mm;d=7.5mm； t=12.3mm。 校核梁的切应力强度：工字钢腹部切应力最大，对应面积A1=(h2t)d；则有：
ma x F Q A m 1 a x (22 2 2 0 1 1 1 .3 0 2 3 )0 7 .5 143 .[ 3] M 10P 0aMP
§5－4 弯曲梁的强度计算
梁在弯曲变形时，其截面上既有正应力也有切应力，故有：
M §5－4 弯曲梁的强度计算
( ) [] 2、求出梁的最大拉应力和m最a大x压应力值 max
W 0125x106+602x13500=130.
z
和
m ax[]
通常在设计计算时，先以弯曲正应力强度准则设计出截 A1=300x30=9000mm2
W [σ]=160MPa，[τ]=100MPa，a=0.
z
3.惯性矩计算 推导时用到胡克定律，但可用于已屈服的梁截面
I2z= I2cz+yc22A2= 82.
I ydA I y dA A 定义式： B 对 工于字脆形性 截梁 面， 梁其 尺抗 寸拉 如、 图抗，压 求性 截能 面不 对等z轴时的，惯应性分矩别。予2以设计。
分析：
1、画出梁的弯矩图（确定最 大弯矩及其所在截面）
2、求出梁的最大拉应力和最
大压应力值
FA
FB
3、校核强度
解：
1、求支座反力：FA=2.5kN；FB=10.5kN， 画出弯矩图如 b)，最大正弯矩在C点， 最大负弯矩在B点，即：
C点为上压下拉，而B点为上拉下压
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例5－6（续 1）
4.正应力计算公式适用范围
M y Iz
横力弯曲时，截面上有切应力，平面假设不严格成立
但当梁跨度 l 与高度 h 之比大于5（即为细长梁）时
弹性力学指出：上述公式近似成立 推导时用到胡克定律，但可用于已屈服的梁截面
m a xs
m a xs
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第五章 弯曲应力
§5－2 惯性矩的平行轴定理
由惯性矩的定义式可知：
纯弯曲：平面假设：梁变形后，其横截面仍为平面，并垂直于梁的
轴线，只是绕截面上的某轴转动了一个角度
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第五章 弯曲应力
1. 弯曲正应力公式推导
纯弯曲正应力公式推导：
几何关如系上图1、2得纵向变形： b'b d 'd x x(y )d d d y
物理关系
根据胡克定律，可知：
E
E
y
静力关系
M Iz
ymax
3、画出梁的弯矩图，其最大弯矩在梁的中点，计算得：Mmax=45kN.
A1=300x30=9000mm2
M 但平当面引梁 假跨设入度：梁弯l变与曲形高后度截，其h面横之系截比面大数仍于为5W（平z即=面I为，z细/并长y垂梁m直a）x于，时梁最的轴大线，正只应是绕力截面公上式的某为轴转：动了一个角m度ax
由平行轴定理得：
I1z= I1cz+yc12A1=0.675x106+902x9000=73.575x106mm4 I2z= I2cz+yc22A2=
82.0125x106+602x13500=130.61x106mm4
Iz=I1z+I2z=(73.575+130.61)x106=204x106mm4
由于A点应力为正，因此该梁上半部分受拉，应力为正，下半部分受压，应力为负，因此有：
面尺寸，然后按照弯曲切应力强度准则进行校核。 设某截面形心在某坐标系的坐标为(a,b),如图，则其对坐标轴的惯性矩为：
5kN，画出弯矩图如 b)，最大正弯矩在C点，最大负弯矩在B点，即：
§5－2 惯性矩的平行轴定理
弯曲正应力 平面假设：梁变形后，其横截面仍为平面，并垂直于梁的轴线，只是绕截面上的某轴转动了一个角度
故梁强度足够
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第五章 弯曲应力
例5－7 梁的截面设计
简支梁AB如图所示，已知：
[σ]=160MPa，[τ]=100MPa，
a=0.2m，l=2m，F=200kN，
试选择工字钢型号。
FA
FB
解：1、计算梁的约束力FA、FB; 由于机构对称，所以FA=FB=210kN
2、画出梁的剪力图 可以看出FQmax=FA=FB=210kN
组合截面对某轴的惯性矩，等于其 组成部分对同一轴惯性矩的代数和
即： Iz=Iz1+Iz2+…+Izn=∑Izi
推2、导求时出用梁设到的胡最某克大定截拉律应面，力但和形可最用心大于压在已应屈力某服值的坐梁标截面系的坐标为 通常在设(计a计,算b时)，,如先以图弯曲，正则应力其强度对准坐则设标计出轴截的面尺惯寸，性然矩后按为照弯：曲切应力强度准则进行校核。
fine
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第五章 弯曲应力
[例5-6]简支梁AB，在Ｃ截面下边缘贴一应变片 ，测得其应变ε= 6×10-4，材料的弹性模量 E=200GPa，求载荷P的大小。
P
A
CD
B
40
0.5 m
0.4 m
20
1m
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第五章 弯曲应力
解： C点的应力 C E 2 0 0 1 0 3 6 1 0 4
材料力学电子教程第五章弯曲应力52惯性矩的平行轴定理53弯曲切应力51弯曲正应力54弯曲强度条件55提高弯曲强度的一些措施材料力学电子教程第五章弯曲应力51弯曲正应力平面弯曲横力弯曲纯弯曲剪力fq0弯矩m0剪力fq0弯矩m0纯弯曲平面假设梁变形后其横截面仍为平面并垂直于梁的轴线只是绕截面上的某轴转动了一个角度材料力学电子教程第五章弯曲应力1
推导时用到胡克定律，但可用于已屈服的梁截面
截面对形心轴z的惯性矩Iz＝763mm4，且y1=52cm。
C点为上压下拉对，而于B点为等上拉截下压面梁，可以写成：
4、应用梁的弯曲正应力准则选择截面尺寸： 推导时用到胡克定律，但可用于已屈服的梁截面
m
a
x
Mm Wz
a
x[]
由惯性矩的定义式可知： yc2=135-75=60mm
最大拉应力（下边缘）：
C M C Izy22.7 51 6 1 60 3 4 8 08 28.8M 3 Pa
最大压应力（上边缘）：
C M C Izy12.7 51 6 1 60 3 4 5 02 1.0 7M 4 Pa
由计算可见： 最大拉应力在C点且σCmax=28.83MPa<[σ]+=30MPa 最大压应力在B点且σBmax=46.13MPa<[σ]-＝60MPa
1 2 0 M P a
C截面的弯矩
MCCWz640Nm
由 MC0.5RA0 .50 .4P0.2P640Nm
得 P3.2kN
P
A
CD
B
40
0.5 m
0.4 m
20
1m
3（+）Iz3 b 13h 2 2 1 83 2 0 8 3 6 130 8 .5 1 34 ( 0 m 4 )m
Iz=Iz1+Iz2+Iz3=(243-170.67+8.53)x104=80.86x104 (mm4)
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第五章 弯曲应力
平行轴定理应用举例2
求图示截面对z轴的惯性矩
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第五章 弯曲应力
第五章 弯曲应力
§5－1 弯曲正应力 §5－2 惯性矩的平行轴定理 §5－3 弯曲切应力 §5－4 弯曲强度条件 §5－5 提高弯曲强度的一些措施
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§5－1 弯曲正应力
横力弯曲 平面弯曲
纯弯曲
第五章 弯曲应力
剪力FQ≠0 弯矩M ≠ 0 剪力FQ=0 弯矩M ≠ 0
Iz=Iz1+Iz2+…+Izn=∑Izi
对于y轴的惯性矩： Iy Iyca2A
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第五章 弯曲应力
平行轴定理应用举例1
工字形截面梁尺寸如图，求截面对z轴的惯性矩。 解： 可以认为该截面是由三个矩形截面构成，所以：
Iz=Iz1+Iz2+Iz3
（+） 1
（-） 2
Iz 1 b 13h 2 41 0 92 30 9 3 3 140 2 4 14 3 ( 0 m 4 )m Iz2 b 1 3h 2 41 0 82 30 8 3 3 140 1.7 6 0 1 74 ( 0 m 4 )m
由于切应力大出其许用应力很多，故再选大一号，选22b并校核其 切应力强度。相应尺寸：h=250,d=10,t=13,那么：
ma x F Q A m 1 a x (22 5 2 1 0 1 10 3 ) 0 3 1 0 93.7 [5] M 10P0aMP
切应力强度足够，故选22b号工字钢
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第五章 弯曲应力
弯曲正应力计算 习题15-14p271
已知：σA=40MPa(拉),y1=10mm; y2=8mm; y3=30mm 求： 1) σB, σD ；2) σmax(拉）
解：σA=40MPa(拉),y1=10mm;
由公式：
A
M Iz
yA
M A Iz yA
由于A点应力为正，因此该梁上半部
分受拉，应力为正，下半部分受压，
应力为负，因此有：
MABDmax
Iz yA yB
yD ymax
σBy yA BσA1804032MPa σDy yA DσA1 30 0 40 -12M 0Pa
最大拉应力在上半部边缘
σm axyym AaσxA1 10 54060 MPa
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第五章 弯曲应力
I2cz=50x2703/12=82.
最大拉应力（下边缘）：
Iz=Iz1+Iz2+Iz3
83MPa<[σ]+=30MPa
对于z轴的惯性矩：
对于脆性梁，其抗拉、抗压性能不等时，应分别予以设计。
Iz Izcb2A
最大拉应力（上边缘）：
由于A点应力为正，因此该梁上半部分受拉，应力为正，下半部分受压，应力为负，因此有：
h
3
2
22
I ydA y(bd) y I组2z合=截I2面cz对+y某c2轴2A的2=惯8性2.矩，等于其组成部分对同一轴惯性z矩的代数和A
12 Iz=Iz1+Iz2+Iz3
h 2
Wz
Iz ym
ax
Iz
h 2
bh2 6
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第五章 弯曲应力
对于脆性梁，其抗拉、抗压性
m axMIz ymax[]来自能不等时，应分别予以设计。
m axMI z ymax[]
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第五章 弯曲应力
例5－6 强度校核
图示T形截面铸铁外伸梁，其许用拉应力[σ]＝30MPa，许用 压应力[σ]＝60MPa，截面尺寸如图。截面对形心轴z的惯性 矩Iz＝763mm4，且y1=52cm。试校核梁的强度。
第五章 弯曲应力
2、求出B截面最大应力
最大拉应力（上边缘）：
B
MBy1 Iz
4716 0 63150 4 22
7.26MP
a
最大压应力（下边缘）：
B M B Izy247 16 6 0 1 3 8 4 08 46.1M 3 Pa
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第五章 弯曲应力
例17－6（续 2）
3、求出C截面最大应力
A1
解：截面可分解成如图组合，
A1=300x30=9000mm2 A2=50x270=13500mm2 yc1=-75-15=-90mm yc2=135-75=60mm
A1、A2两截面对其型心轴的惯性矩为：
A2
I1cz=300x303/12=0.675x106mm4 I2cz=50x2703/12=82.0125x106mm4
由图3得： ydA M即 M ydA E y2dA E zI
对照以上各式，得： M y Iz
其中：Iz为截面对z轴的惯性矩
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第五章 弯曲应力
2. 弯曲梁截面的最大正应力
由正应力公式可知，弯曲梁截面上的最大正 §5－应4 弯力曲梁应的该强度在计算其上下边缘：即|y|的最大值处.
max
组合截面对某轴的惯性矩，等于其组z成部分对同一轴惯性矩的代数和
积分式：
z
2 A
4、应用梁的弯曲正应力准则选择截面尺寸：
矩形截面Iz的计算： A1=300x30=9000mm2
由于A点应力为正，因此该梁上半部分受拉，应力为正，下半部分受压，应力为负，因此有：
bh 如图 2、求出梁的最大拉应力和最大压应力值
3、画出梁的弯矩图，其最大弯矩在 梁的中点，计算得： Mmax=45kN.m 4、应用梁的弯曲正应力准则选择截 面尺寸：
σmax＝(Mmax/Wz)≤[σ]
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例5－7续
第五章 弯曲应力
W M z 4 1 560 0 .28 1 1 6 m 0 23 5 m 2.8 2c 1 5 3 m [] 160
查附录C选取22a工字钢，其Wz=309cm3;h=220mm;d=7.5mm； t=12.3mm。 校核梁的切应力强度：工字钢腹部切应力最大，对应面积A1=(h2t)d；则有：
ma x F Q A m 1 a x (22 2 2 0 1 1 1 .3 0 2 3 )0 7 .5 143 .[ 3] M 10P 0aMP
§5－4 弯曲梁的强度计算
梁在弯曲变形时，其截面上既有正应力也有切应力，故有：
M §5－4 弯曲梁的强度计算
( ) [] 2、求出梁的最大拉应力和m最a大x压应力值 max
W 0125x106+602x13500=130.
z
和
m ax[]
通常在设计计算时，先以弯曲正应力强度准则设计出截 A1=300x30=9000mm2
W [σ]=160MPa，[τ]=100MPa，a=0.
z
3.惯性矩计算 推导时用到胡克定律，但可用于已屈服的梁截面
I2z= I2cz+yc22A2= 82.
I ydA I y dA A 定义式： B 对 工于字脆形性 截梁 面， 梁其 尺抗 寸拉 如、 图抗，压 求性 截能 面不 对等z轴时的，惯应性分矩别。予2以设计。
分析：
1、画出梁的弯矩图（确定最 大弯矩及其所在截面）
2、求出梁的最大拉应力和最
大压应力值
FA
FB
3、校核强度
解：
1、求支座反力：FA=2.5kN；FB=10.5kN， 画出弯矩图如 b)，最大正弯矩在C点， 最大负弯矩在B点，即：
C点为上压下拉，而B点为上拉下压
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例5－6（续 1）
4.正应力计算公式适用范围
M y Iz
横力弯曲时，截面上有切应力，平面假设不严格成立
但当梁跨度 l 与高度 h 之比大于5（即为细长梁）时
弹性力学指出：上述公式近似成立 推导时用到胡克定律，但可用于已屈服的梁截面
m a xs
m a xs
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第五章 弯曲应力
§5－2 惯性矩的平行轴定理
由惯性矩的定义式可知：
纯弯曲：平面假设：梁变形后，其横截面仍为平面，并垂直于梁的
轴线，只是绕截面上的某轴转动了一个角度
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第五章 弯曲应力
1. 弯曲正应力公式推导
纯弯曲正应力公式推导：
几何关如系上图1、2得纵向变形： b'b d 'd x x(y )d d d y
物理关系
根据胡克定律，可知：
E
E
y
静力关系
M Iz
ymax
3、画出梁的弯矩图，其最大弯矩在梁的中点，计算得：Mmax=45kN.
A1=300x30=9000mm2
M 但平当面引梁 假跨设入度：梁弯l变与曲形高后度截，其h面横之系截比面大数仍于为5W（平z即=面I为，z细/并长y垂梁m直a）x于，时梁最的轴大线，正只应是绕力截面公上式的某为轴转：动了一个角m度ax
由平行轴定理得：
I1z= I1cz+yc12A1=0.675x106+902x9000=73.575x106mm4 I2z= I2cz+yc22A2=
82.0125x106+602x13500=130.61x106mm4
Iz=I1z+I2z=(73.575+130.61)x106=204x106mm4
由于A点应力为正，因此该梁上半部分受拉，应力为正，下半部分受压，应力为负，因此有：
面尺寸，然后按照弯曲切应力强度准则进行校核。 设某截面形心在某坐标系的坐标为(a,b),如图，则其对坐标轴的惯性矩为：
5kN，画出弯矩图如 b)，最大正弯矩在C点，最大负弯矩在B点，即：
§5－2 惯性矩的平行轴定理
弯曲正应力 平面假设：梁变形后，其横截面仍为平面，并垂直于梁的轴线，只是绕截面上的某轴转动了一个角度
故梁强度足够
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第五章 弯曲应力
例5－7 梁的截面设计
简支梁AB如图所示，已知：
[σ]=160MPa，[τ]=100MPa，
a=0.2m，l=2m，F=200kN，
试选择工字钢型号。
FA
FB
解：1、计算梁的约束力FA、FB; 由于机构对称，所以FA=FB=210kN
2、画出梁的剪力图 可以看出FQmax=FA=FB=210kN
组合截面对某轴的惯性矩，等于其 组成部分对同一轴惯性矩的代数和
即： Iz=Iz1+Iz2+…+Izn=∑Izi
推2、导求时出用梁设到的胡最某克大定截拉律应面，力但和形可最用心大于压在已应屈力某服值的坐梁标截面系的坐标为 通常在设(计a计,算b时)，,如先以图弯曲，正则应力其强度对准坐则设标计出轴截的面尺惯寸，性然矩后按为照弯：曲切应力强度准则进行校核。
fine
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第五章 弯曲应力
[例5-6]简支梁AB，在Ｃ截面下边缘贴一应变片 ，测得其应变ε= 6×10-4，材料的弹性模量 E=200GPa，求载荷P的大小。
P
A
CD
B
40
0.5 m
0.4 m
20
1m
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第五章 弯曲应力
解： C点的应力 C E 2 0 0 1 0 3 6 1 0 4
材料力学电子教程第五章弯曲应力52惯性矩的平行轴定理53弯曲切应力51弯曲正应力54弯曲强度条件55提高弯曲强度的一些措施材料力学电子教程第五章弯曲应力51弯曲正应力平面弯曲横力弯曲纯弯曲剪力fq0弯矩m0剪力fq0弯矩m0纯弯曲平面假设梁变形后其横截面仍为平面并垂直于梁的轴线只是绕截面上的某轴转动了一个角度材料力学电子教程第五章弯曲应力1
推导时用到胡克定律，但可用于已屈服的梁截面
截面对形心轴z的惯性矩Iz＝763mm4，且y1=52cm。
C点为上压下拉对，而于B点为等上拉截下压面梁，可以写成：
4、应用梁的弯曲正应力准则选择截面尺寸： 推导时用到胡克定律，但可用于已屈服的梁截面
m
a
x
Mm Wz
a
x[]
由惯性矩的定义式可知： yc2=135-75=60mm
最大拉应力（下边缘）：
C M C Izy22.7 51 6 1 60 3 4 8 08 28.8M 3 Pa
最大压应力（上边缘）：
C M C Izy12.7 51 6 1 60 3 4 5 02 1.0 7M 4 Pa
由计算可见： 最大拉应力在C点且σCmax=28.83MPa<[σ]+=30MPa 最大压应力在B点且σBmax=46.13MPa<[σ]-＝60MPa
1 2 0 M P a
C截面的弯矩
MCCWz640Nm
由 MC0.5RA0 .50 .4P0.2P640Nm
得 P3.2kN
P
A
CD
B
40
0.5 m
0.4 m
20
1m
3（+）Iz3 b 13h 2 2 1 83 2 0 8 3 6 130 8 .5 1 34 ( 0 m 4 )m
Iz=Iz1+Iz2+Iz3=(243-170.67+8.53)x104=80.86x104 (mm4)
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第五章 弯曲应力
平行轴定理应用举例2
求图示截面对z轴的惯性矩
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第五章 弯曲应力
第五章 弯曲应力
§5－1 弯曲正应力 §5－2 惯性矩的平行轴定理 §5－3 弯曲切应力 §5－4 弯曲强度条件 §5－5 提高弯曲强度的一些措施
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§5－1 弯曲正应力
横力弯曲 平面弯曲
纯弯曲
第五章 弯曲应力
剪力FQ≠0 弯矩M ≠ 0 剪力FQ=0 弯矩M ≠ 0
Iz=Iz1+Iz2+…+Izn=∑Izi
对于y轴的惯性矩： Iy Iyca2A
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第五章 弯曲应力
平行轴定理应用举例1
工字形截面梁尺寸如图，求截面对z轴的惯性矩。 解： 可以认为该截面是由三个矩形截面构成，所以：
Iz=Iz1+Iz2+Iz3
（+） 1
（-） 2
Iz 1 b 13h 2 41 0 92 30 9 3 3 140 2 4 14 3 ( 0 m 4 )m Iz2 b 1 3h 2 41 0 82 30 8 3 3 140 1.7 6 0 1 74 ( 0 m 4 )m
由于切应力大出其许用应力很多，故再选大一号，选22b并校核其 切应力强度。相应尺寸：h=250,d=10,t=13,那么：
ma x F Q A m 1 a x (22 5 2 1 0 1 10 3 ) 0 3 1 0 93.7 [5] M 10P0aMP
切应力强度足够，故选22b号工字钢
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第五章 弯曲应力
弯曲正应力计算 习题15-14p271
已知：σA=40MPa(拉),y1=10mm; y2=8mm; y3=30mm 求： 1) σB, σD ；2) σmax(拉）
解：σA=40MPa(拉),y1=10mm;
由公式：
A
M Iz
yA
M A Iz yA
由于A点应力为正，因此该梁上半部
分受拉，应力为正，下半部分受压，
应力为负，因此有：
MABDmax
Iz yA yB
yD ymax
σBy yA BσA1804032MPa σDy yA DσA1 30 0 40 -12M 0Pa
最大拉应力在上半部边缘
σm axyym AaσxA1 10 54060 MPa
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第五章 弯曲应力
I2cz=50x2703/12=82.
最大拉应力（下边缘）：
Iz=Iz1+Iz2+Iz3
83MPa<[σ]+=30MPa
对于z轴的惯性矩：
对于脆性梁，其抗拉、抗压性能不等时，应分别予以设计。
Iz Izcb2A
最大拉应力（上边缘）：
由于A点应力为正，因此该梁上半部分受拉，应力为正，下半部分受压，应力为负，因此有：