江苏省2022学年高二数学上学期期末考试试题 (2)

第一学期期末调研测试试题
高 二 数 学
（全卷满分160分，考试时间120分钟）
注意事项：
1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1. 命题“(0,
)2
x π
∀∈，sin 1x <”的否定是 ．
2. 已知直线l 过点()()11
20A ,B ,、,则直线l 的斜率为 ． 3. 一质点的运动方程为210S t =+（位移单位：m ；时间单位：s ），则该质点在3t =时
的瞬时速度为 /m s ．
4. 课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4128、、, 若用分层抽样的方法抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为 个.
5. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =的准线方程为 ．
6. 执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为10，则输入的x 的值 是 ．
7.若R a ∈,则“3a =-”是“直线1l ：10ax y +-=与2l ：
()1240a x ay +++=垂直”的 条件．
（注：在“充要”、“既不充分也不必要”、“充分不必要”、“ 必要不充分”中选填一个） 8. 函数()332f x x x =-+的单调递减区间为 ．
9. 已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>左焦点为F 1，左准线为l ，若过F 1且垂直于x 轴的弦的
长等于点F 1到l 的距离，则椭圆的离心率是 ．
10. 有一个质地均匀的正四面体木块4个面分别标有数字1234,,,.将此木块在水平桌面上 抛两次，则两次看不到．．．
的数字都大于2的概率为 ． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线
22
11
x y m m -=+的一个焦点为()30,，则双曲线 的渐近线方程为 ．
（第6题）
12. 已知可导函数()f x 的定义域为R ，()12f =，其导函数()f x '满足()23f x x '>,则不 等式()3281f x x <+的解集为 ．
13. 已知圆()2
2:16C x y +-=，AB 为圆C 上的两个动点，且22AB =，G 为弦AB
的中点.直线20l :x y --=上有两个动点PQ ，且2PQ =.当AB 在圆C 上运动时，
PGQ ∠恒为锐角，则线段PQ 中点M 的横坐标取值范围为 ．
14．函数()x
f x x e a =-在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分14分）
已知m 为实数.命题p ：方程
22
1313x y m m +=--表示双曲线；命题q ：对任意x R ∈，29
(2)04
x m x +-+
>恒成立. （1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若命题“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围．
16．（本小题满分14分）
某商场亲子游乐场由于经营管理不善突然倒闭。

在进行资产清算时发现有3000名客户办理的充值会员卡上还有余额. 为了了解客户充值卡上的余额情况，从中抽取了300名客户的充值卡余额进行统计．其中余额分组区间为[)500,600，[)600,700，[)700,800，[)800,900，
[]900,1000，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题：
（1）求a 的值；
（2）求余额不低于900元的客户大约为多少人？
（3）根据频率分布直方图，估计客户人均损失多少？(用组中值代替各组数据的平均值)．
17.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 中，直线:420l kx y k ---=，k R
∈
(1)直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由;
(2)已知点(2,0),(1,0)A B -，若直线l 上存在点P 满足条件2PA PB =，求实数k 的取值范围.
18.（本小题满分16分）
2019年扬州市政府打算在如图所示的某“葫芦”形花坛中建一喷泉，该花坛的边界是两个半径为12米的圆弧围成，两圆心1O 、2O 之间的距离为12米．在花坛中建矩形喷泉，四个顶点A ，B ，C ，D 均在圆弧上，12O O AB ⊥于点M ．设2AO M ，
(1)4
当
时, 求喷泉ABCD 的面积S ;
(2) 求cos θ为何值时，可使喷泉ABCD 的面积S 最大?.
19．（本小题满分16分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为22，离心率为2.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过动点(0,)(0)M m m >的直线交x 轴于点N ，交椭圆C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交椭圆C 于另一点Q ，延长QM 交椭圆C 于点
B .
①设直线PM 、QM 的斜率分别为,'k k ，证明
k
k
'为定值; ②求直线AB 斜率取最小值时，直线PA 的方程.
20．（本小题满分16分） 已知函数ln ()1x
f x x =
+ ,
()(1)()x m x f x x ϕ=+- ()m R ∈ (1) 求()f x 在1=x 处的切线方程；
(2) 当0m >时，求()x ϕ在[]1,2上的最大值； (3) 求证：()f x 的极大值小于1.
参 考 答 案
一、填空题：
1. (0,)2x π
∃∈，sin 1x ≥ 2．-1 3．6 4. 2 . 5. 2x =- 6. 3
7．充分不必要 8.()1,1- (写成[]1,1-[)(]1,1,1,1--也算对) 9．
1
2
10．
14 .11
．y x = 12． 12,⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭ 13. ()()03,,-∞+∞ 14(]
)23,e e ,⎡-∞+∞⎣.．
二、解答题：
15．解：（1）若命题p 为真命题，则()()3130m m --<，即m 的取值范围是
1
33
m <<. …………………………………………………………………4分
（2）若命题q 为真命题，则0∆<，解得15m -<<．即()1,5m ∈-．…………7分 ∵命题“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题，∴p 和q 中有且仅有一个正确．
若p 真q 假，则1
3315m m m ⎧<<⎪
⎨⎪≤-≥⎩或，解得m φ∈； ………………………………10分
若p 假q 真，则13
3
15m m m ⎧
≤≥⎪⎨⎪-<<⎩
或，解得113m -<≤或35m ≤<．………………13分 所以，综上所述：m 的取值范围为[)11,3,53
⎛⎤- ⎥
⎝
⎦
．………………………………14分
16. 解：（1）由()1000.00050.0020.0040.0011a ⨯++++=，解得0.0025a =……4分 （2）余额在[]900,1000之间的频率为0.1，故可估计余额不低于900元的客户大约为
30000.1300⨯=(人) ………………………………………………………………………8分
（3） 客户人均损失的估计值为：
5500.056500.27500.48500.259500.1765⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(元)…………………14分
(注: 若仅有列式,没有前面文字说明,必需要答,否则扣1分) 17．解：(1) 解：假设直线l 过定点(,)a b ，
则420,k(2)40ka b k a b ---=---=即
关于k R ∈恒成立， ………2分
20
40a b -=⎧∴⎨
+=⎩
， 24a b =⎧∴⎨=-⎩， ………4分
所以直线l 过定点，定点坐标为(2,4)- ………6分 (2) 已知点(2,0),(1,0)A B -，设点(,)P x y ， 则2
2
2
2
2
2
(2),(1)PA x y PB x y =++=-+，
2PA PB =，224PA PB ∴=， 2222(2)4[(1)]x y x y ∴++=-+
所以点(,)P x y 的轨迹方程为圆2
2
(2)4x y -+=， ………10分 又点(,)P x y 在直线:420l kx y k ---=上，
所以直线:420l kx y k ---=与圆2
2
(2)4x y -+=有公共点， ………12分 设圆心到直线的距离为d ，则
2d r =
≤=，
解得实数k 的范围为k ≤k ≥……… 14分
18．解: (1) 在直角2AO M Δ中，12sin
4
AM π
=212cos =12cos
4
O M π
θ=
则12AD =，B A = ………2分
所以AB S =• （平方米） ………3分
答：矩形ABCD 的面积S 为平方米. ………4分 (2)在直角2AO M Δ中，12sin AM θ=，212cos O M θ=，则24cos 12AD θ=+，
所以矩形ABCD 的面积24sin (24cos 12)288(2sin cos sin )S θθθθθ=+=+，………8分
3
………10分
令()2sin cos sin f θθθθ=+，0
3
，
则2'()2cos2cos 4cos cos 2f θθθθθ=+=+-， ………12分
令'()0f θ=，得cos θ．设0cos θ=0
3
，
列表如下：
所以当0θθ=此时0
cos θ
………………15分
答：当cos
θ时，喷泉
ABCD 的面积S 最大
………………16分
19. 解： (1)由题意得: 22
c a a == 1,1a c b =====所以 ………2分
2
212
x y +=故椭圆方程为， ………4分
(2) ①设0000(,),(0,0)P x y x y >>，由M(0,m)，可得00(,2),(,2)P x m Q x m - 所以直线PM 的斜率002m m m k x x -=
= ，直线QM 的斜率00
23'm m m
k x x --==-.……6分 此时
13k k =-'，所以k k '为定值1
3
-. ………8分 ②设1122(,),(,)A x y B x y ，直线PA 的方程为y kx m =+，直线QB 的方程为
3y kx m =-+.
联立22
12
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得
222
2+14220k x kmx m ++-=（）， 由22222012
168(1)(21))02221k m m k m x x k ⎧∆=--+>⎪⎨-=⎪+⎩
，可得2
12
2221m x k x -=+（） ，2112
22
21m y kx m k m k x -=+=++（） 同理222022181m x k x -=+（），2222
22
33181m y kx m k m k x -=-+=-++（）. ………10分
所以221222032(1)(21181k m x x k k x --=++)(），221222
00
2222318121m m y y k k k x k x ---=+++（）（），
222
2122222
00244612(1)8(1)2118121181k k y y k m k m k k x k k x ++-=-=-++++()(）()(），
所以212126111
(6)44AB
y y k k k x x k k
-+===+- ， ………12分 由00,0m x >>，可知0k >
，所以1
6k k
+
≥
，当且仅当6k =时取得等号. 由0(,2)P x m ，00,0m x >>在椭圆C :2
212x y +=
上得0x =
m k x ==
=
，即m = ………14分
由0∆>得，2
2
21m k <+
，所以6k =
，7
m =符号题意. 所以直线
AB
的斜率的最小值，直线
PA
的方程
为
y x =
+. ………16分 ②法2：同上可得21202221m x k x -=+（）；222
22181m x k x -=+（）………10分 因为12
112212
,y ,3AB y y k kx m y kx m x x -=
=+=-+-
所以()()12121212
33AB
kx m kx m x kx k x x x x +--++==--22220022
2200
22223211812222211m m k k
k x k x m m k x k x --+++=---
++（）（）（）（18） 22223211811121181k
k k k k k +++=
-
++（）（）（）（）
26111(6)44k k k k
+==+………12分
下面同解法1.
20. 解：（Ⅰ）
2
2
11
(1)ln 1ln ()(1)(1)x x x
x x f x x x +-+-'==++， …………2分
1(1)2f '∴=
，()f x ∴在1=x 处的切线方程为1
(1)(1)2y f x -=-, 即210x y --=
…………4分
（2）()ln x m x x ϕ=-,(0m >), 令()10m
x x
ϕ'=
-=，得x m =， 在区间(0,)m 上， ()0x ϕ'>，函数()x ϕ是增函数；
在区间(,)m +∞上，
()0x ϕ'<，函数()x ϕ是减函数; …………6分 故当[]max 0<1,(x)1,2,()(1) 1.m x ϕϕϕ≤==-时在上递减 当max 1<2,(),()()ln .
m x x m m m m ϕϕϕ<==-时先增后减故
当[]max 2,()1,2,()(2)mln2-2.m x x ϕϕϕ≥==时在上递增此时 …………10分
(3)
2
1
1ln ()(1)+
-'=+x
x f x x ，令1()1ln =+-g x x x ， 211()0'=--<g x x x ，则函数1
()1ln =+-g x x x 在(0,)+∞上单调递减，(1)20=>g ，
221
()10=-<g e e
，所以存在唯一的20(1,)∈x e ， …………12分
当0(0,)∈x x 时，()0'>f x ，
当0(,)∈+∞x x 时，()0'<f x ，所以函数()f x 的单调递增区间是0(0,)x ，单调递减区间
是0(,)+∞x ，其中20(1,)∈x e ，所以函数()f x 有极大值. …………14分
函数()f x 的极大值是000ln ()1
=
+x f x x ，由0()0'=f x ，得001
1ln 0+-=x x ， 所以000000
1
1ln 1
()11+
===++x x f x x x x ，因为20(1,)∈x e ，所以011<x ，即0()1<f x ，
所以()f x 的极大值小于1. …………16分。