广东省揭阳华侨高级中学2023届高一上数学期末质量跟踪监视试题含解析
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18．2022年是苏颂诞辰1001周年，苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟．水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约3.4米的水轮，它转一圈需要30分钟．如图，退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处，当点P从枢轮最高处随枢轮开始转动时，打开退水壶出水口，壶内水位以每分钟0.017米的速度下降，将枢轮转动视为匀速圆周运动．以枢轮中心为原点，水平线为x轴建立平面直角坐标系 ，令P点纵坐标为 ，水面纵坐标为 ，P点转动经过的时间为x分钟．（参考数据： ， ， ）
由 ，解得n=25，成绩在[80，90)之间的人数为25- (2+7+10+2) =4人，
所以参加测试人数n=25，分数在[80，90)的人数为4人.
故答案为：25；4
【点睛】本题主要考查茎叶图、频率分布直方图，样本的频率分布估计总体的分布，属于容易题.
16、
【解析】如图可知函数的最大值
，
当 时， 代入， ，
∵ ， ，
∴函数 的零点所在的区间是 ，故选A
【点睛】本题主要考查了函数零点的判定，考查了初等函数的性质，属于基础题
4、A
【解析】先利用三角恒等变化公式ห้องสมุดไป่ตู้函数化成 形式，然后直接得出最值.
【详解】
整理得 ，利用辅助角公式得 ，所以函数 的最大值为 ，故选A.
【点睛】三角函数求最值或者求值域一定要先将函数化成 的形函数.
则参加测试的总人数为______，分数在 之间的人数为______.
16．函数 （其中 ， ， ）的图象如图所示，则函数 的解析式为__________
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知集合
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【解析】
（1）直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可，化简过程注意避免出现计算错误；
（2）直接利用对数的运算法则求解即可，解答过程注意避免出现计算错误.
【详解】（1）
；
（2）
（1）求 ， 关于x的函数关系式；
（2）求P点进入水中所用时间的最小值（单位：分钟，结果取整数）
19．已知平面向量 .
(1)求 与 的夹角的余弦值；
(2)若向量 与 互相垂直，求实数 的值.
20．已知 的顶点 ， 边上的中线 所在的直线方程为 ， 边上的高 所在的直线方程为 .
（1）求点 的坐标；
（2）求 所在直线的方程.
1、D
【解析】由f(x)为奇函数可知，
＝ <0.
而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0.
当x>0时，f(x)<0＝f(1)；
当x<0时，f(x)>0＝f(－1)
又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数
所以0<x<1，或－1<x<0.选D
点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为 的形式，然后根据函数的单调性去掉“ ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 与 的取值应在外层函数的定义域内
又因为 是定义域为R的奇函数，所以 .
故答案为：1.
15、①.25②.4
【解析】根据条件所给的茎叶图看出分数在[50，60)之间的频数，由频率分布直方图看出分数在[50，60)之间的频率和[90，100)之间的频率一样，继而得到参加测试的总人数及分数在[80，90)之间的人数.
【详解】成绩在[50，60)内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，成绩在[90，100]内同样有2人，
因为 ,所以 ,故A错误,D正确；
当 时,需使得 ,选项B、C中均缺少判断条件,故B、C错误；
故选:D
【点睛】本题考查空间中直线、平面的平行关系与垂直关系的判定,考查空间想象能力
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、 ##
【解析】求出函数 的定义域，利用复合函数法可求得函数 的单调递增区间.
19、（1） ；（2）
【解析】（1）由数量积公式 ，得夹角余弦值为 ；（2） ，所以 。
试题解析：
(1)∵向量 ，
∴ .
∴向量 与 的夹角的余弦值为 .
(2)∵向量 与 互相垂直，
∴ .
又 .∴ .
点睛：本题考查数量积的应用。数量积公式 ，学生要熟练掌握数量积公式的应用，能够转化到求夹角公式。两向量垂直，则数量积为零。本题为基础题型，考查公式的直接应用。
21．已知函数 ，
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的 ，再把所得到的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，求函数 在区间 上的值域
22．计算下列各式的值：
（1） ；
（2） .
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
因为 在 上单调递减，所以 ，即 ，
因为 在 单调递增，所以 ，即 ，
所以 ，
故选：C
12、D
【解析】若 ,则需使得平面 内有直线平行于直线 ；若 ,则需使得 ,由此为依据进行判断即可
【详解】当 时, 可确定平面 ,
当 时,因为 ,所以 ,所以 ；
当平面 交平面 于直线 时,
因为 ,所以 ,则 ,
因为 ,所以 ,
2、A
【解析】画出 的图象，数形结合可得求出.
【详解】画出 的图象
所以方程 恰有三个不同的实数解a，b，c（ ），
可知m的取值范围为 ，由题意可知 ， ，
所以 ，所以
故选：A.
3、A
【解析】根据初等函数的性质得到函数 的单调性，再由 得答案
【详解】∵函数 和 在 上均为增函数，
∴ 在 上为单调增函数，
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
A. B.
C.1D.
5．已知条件 ，条件 ，则p是q的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6．已知指数函数 的图象过点 ，则 （）
A. B.
C.2D.4
7．函数f(x)＝ ， 的图象大致是（）
A. B.
C. D.
8．已知 且 ，函数 ，满足对任意实数 ，都有 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
9．如果“ ， ”是“ ”成立的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.不充分也不必要条件
10．已知向量 满足 ， ，则
A.4B.3
C.2D.0
11．已知 ， ， ，则 ， ， 三者的大小关系是（）
A. B.
C. D.
12．设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，且 ，则下列说法正确的是（）
【详解】∵f(x)＝ ，
∴ ， ，
∴函数 是奇函数，排除D，
当 时， ，则 ，排除B，C.
故选：A
8、D
【解析】根据单调性的定义可知函数 在R上为增函数，即可得到 ，解出不等式组即可得到实数 的取值范围
【详解】∵对任意实数 ，都有 成立，
∴函数 在R上为增函数，
∴ ，解得 ，∴实数 的取值范围是
故选：D
所以直线 的方程为 ，
联立直线 的方程，即 ，
解得点 的坐标为 .
（2）设 ，则 ，
因为点 在 上，点 在 上，
所以 ，解得 ，
所以 ,
所以直线 的方程为 ，
整理得 .
21、（1） ；
（2）
【解析】（1）根据正弦函数的周期性和单调性即可得出答案；
（2）根据周期变换和平移变换求出函数 ，再根据余弦函数的性质即可得出答案.
【详解】由 得 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
设内层函数 ，对称轴方程为 ，抛物线开口向下，
函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
外层函数 为减函数，所以函数 的单调递增区间为 .
故答案为： .
14、1
【解析】首先根据 时 的解析式求出 ，然后再根据函数的奇偶性即可求出答案.
【详解】因为当 时， ，所以 ，
①当 时， ，即 ，此时 ；
②当 时， ，即 ，此时 .
综上 的取值范围为 .
18、（1） ， （2）13分钟
【解析】（1）按照题目所给定的坐标系分别写出 和 的方程即可；
（2）根据零点存在定理判断即可.
【小问1详解】
可设 ，
∵转动的周期为30分钟，∴ ，
∵枢轮的直径为3.4米，∴ ，
∵点P的初始位置为最高点，∴ ，
1．设奇函数 在 上为增函数，且 ，则不等式 的解集为
A. B.
C. D.
2．已知函数 若方程 恰有三个不同的实数解a，b，c（ ），则 的取值范围是（）.
A. B.
C. D.
3．已知函数 ，则函数 的零点所在的区间是
A. B.
C. D.
4．函数f（x）= sin（x+ ）+cos（x- ）的最大值是（ ）
当 时， 代入， ，
解得
则函数的解析式为
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1） ；（2） .
【解析】（1）根据集合的运算法则计算；
（2）由 得 ，然后分类 和 求解
【详解】（1）当 时， 中不等式为 ，即 ，
∴ 或 ，则
（2）∵ ，∴ ，
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 ，则 D.若 ，则
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．函数 的单调递增区间是___________.
14．已知 是定义域为R的奇函数，且当 时， ，则 的值是___________.
15．某次学科测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图.
5、B
【解析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断
【详解】由 ，得 ，即 ，
由 ，得 ，即
推不出 ，但 能推出 ，
∴p是q的必要不充分条件.
故选：B
6、C
【解析】由指数函数过点代入求出 ，计算对数值即可.
【详解】因为指数函数 的图象过点 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
故选：C
7、A
【解析】判断函数的奇偶性，以及函数在 上的符号，利用排除法进行判断即可
9、A
【解析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】当 ， 时， ，故充分；
当 时， ， ，故不必要，
故选：A
10、B
【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
详解：因
所以选B.
点睛：向量加减乘：
11、C
【解析】分别求出 ， ， 的范围，即可比较大小.
【详解】因为 在 上单调递增，所以 ，即 ，
∴ ，
∵退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处，∴水面的初始纵坐标为 ，
∵水位以每分钟0.017米 速度下降，
∴ ；
【小问2详解】
P点进入水中，则 ，即
∴
作出 和 的大致图像，显然在 内存在一个交点
令 ，
∵ ，
，
∴P点进入水中所用时间的最小值为13分钟；
综上， ， ，P点进入水中所用时间的最小值为13分钟.
【小问1详解】
解：由函数 ，
则函数f（x）的最小正周期 ，
令 ，
解得 ，
所以函数f（x）的单调递增区间为 ；
【小问2详解】
解：函数 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的 ，得到 ，
再把所得到的图象向左平移 个单位长度，得到 ，
当 时， ，
所以 ，
所以函数 在区间 上的值域为 .
22、（1） ；（2）0.
20、 (1) (2)
【解析】（1）根据AC和BH的垂直关系可得到直线 的方程为 ，再代入点A的坐标可得到直线 的方程为 ，联立CM直线可得到C点坐标；（2）设 ，则 ，将两个点分别带入BH和CM即可求出 ，结合第一问得到BC的方程
解析：
（1）因为 ， 的方程为 ，不妨设直线 的方程为 ，
将 代入得 ，解得 ，
由 ，解得n=25，成绩在[80，90)之间的人数为25- (2+7+10+2) =4人，
所以参加测试人数n=25，分数在[80，90)的人数为4人.
故答案为：25；4
【点睛】本题主要考查茎叶图、频率分布直方图，样本的频率分布估计总体的分布，属于容易题.
16、
【解析】如图可知函数的最大值
，
当 时， 代入， ，
∵ ， ，
∴函数 的零点所在的区间是 ，故选A
【点睛】本题主要考查了函数零点的判定，考查了初等函数的性质，属于基础题
4、A
【解析】先利用三角恒等变化公式ห้องสมุดไป่ตู้函数化成 形式，然后直接得出最值.
【详解】
整理得 ，利用辅助角公式得 ，所以函数 的最大值为 ，故选A.
【点睛】三角函数求最值或者求值域一定要先将函数化成 的形函数.
则参加测试的总人数为______，分数在 之间的人数为______.
16．函数 （其中 ， ， ）的图象如图所示，则函数 的解析式为__________
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．已知集合
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【解析】
（1）直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可，化简过程注意避免出现计算错误；
（2）直接利用对数的运算法则求解即可，解答过程注意避免出现计算错误.
【详解】（1）
；
（2）
（1）求 ， 关于x的函数关系式；
（2）求P点进入水中所用时间的最小值（单位：分钟，结果取整数）
19．已知平面向量 .
(1)求 与 的夹角的余弦值；
(2)若向量 与 互相垂直，求实数 的值.
20．已知 的顶点 ， 边上的中线 所在的直线方程为 ， 边上的高 所在的直线方程为 .
（1）求点 的坐标；
（2）求 所在直线的方程.
1、D
【解析】由f(x)为奇函数可知，
＝ <0.
而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0.
当x>0时，f(x)<0＝f(1)；
当x<0时，f(x)>0＝f(－1)
又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数
所以0<x<1，或－1<x<0.选D
点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为 的形式，然后根据函数的单调性去掉“ ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 与 的取值应在外层函数的定义域内
又因为 是定义域为R的奇函数，所以 .
故答案为：1.
15、①.25②.4
【解析】根据条件所给的茎叶图看出分数在[50，60)之间的频数，由频率分布直方图看出分数在[50，60)之间的频率和[90，100)之间的频率一样，继而得到参加测试的总人数及分数在[80，90)之间的人数.
【详解】成绩在[50，60)内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，成绩在[90，100]内同样有2人，
因为 ,所以 ,故A错误,D正确；
当 时,需使得 ,选项B、C中均缺少判断条件,故B、C错误；
故选:D
【点睛】本题考查空间中直线、平面的平行关系与垂直关系的判定,考查空间想象能力
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、 ##
【解析】求出函数 的定义域，利用复合函数法可求得函数 的单调递增区间.
19、（1） ；（2）
【解析】（1）由数量积公式 ，得夹角余弦值为 ；（2） ，所以 。
试题解析：
(1)∵向量 ，
∴ .
∴向量 与 的夹角的余弦值为 .
(2)∵向量 与 互相垂直，
∴ .
又 .∴ .
点睛：本题考查数量积的应用。数量积公式 ，学生要熟练掌握数量积公式的应用，能够转化到求夹角公式。两向量垂直，则数量积为零。本题为基础题型，考查公式的直接应用。
21．已知函数 ，
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的 ，再把所得到的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，求函数 在区间 上的值域
22．计算下列各式的值：
（1） ；
（2） .
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
因为 在 上单调递减，所以 ，即 ，
因为 在 单调递增，所以 ，即 ，
所以 ，
故选：C
12、D
【解析】若 ,则需使得平面 内有直线平行于直线 ；若 ,则需使得 ,由此为依据进行判断即可
【详解】当 时, 可确定平面 ,
当 时,因为 ,所以 ,所以 ；
当平面 交平面 于直线 时,
因为 ,所以 ,则 ,
因为 ,所以 ,
2、A
【解析】画出 的图象，数形结合可得求出.
【详解】画出 的图象
所以方程 恰有三个不同的实数解a，b，c（ ），
可知m的取值范围为 ，由题意可知 ， ，
所以 ，所以
故选：A.
3、A
【解析】根据初等函数的性质得到函数 的单调性，再由 得答案
【详解】∵函数 和 在 上均为增函数，
∴ 在 上为单调增函数，
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
A. B.
C.1D.
5．已知条件 ，条件 ，则p是q的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
6．已知指数函数 的图象过点 ，则 （）
A. B.
C.2D.4
7．函数f(x)＝ ， 的图象大致是（）
A. B.
C. D.
8．已知 且 ，函数 ，满足对任意实数 ，都有 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
9．如果“ ， ”是“ ”成立的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.不充分也不必要条件
10．已知向量 满足 ， ，则
A.4B.3
C.2D.0
11．已知 ， ， ，则 ， ， 三者的大小关系是（）
A. B.
C. D.
12．设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，且 ，则下列说法正确的是（）
【详解】∵f(x)＝ ，
∴ ， ，
∴函数 是奇函数，排除D，
当 时， ，则 ，排除B，C.
故选：A
8、D
【解析】根据单调性的定义可知函数 在R上为增函数，即可得到 ，解出不等式组即可得到实数 的取值范围
【详解】∵对任意实数 ，都有 成立，
∴函数 在R上为增函数，
∴ ，解得 ，∴实数 的取值范围是
故选：D
所以直线 的方程为 ，
联立直线 的方程，即 ，
解得点 的坐标为 .
（2）设 ，则 ，
因为点 在 上，点 在 上，
所以 ，解得 ，
所以 ,
所以直线 的方程为 ，
整理得 .
21、（1） ；
（2）
【解析】（1）根据正弦函数的周期性和单调性即可得出答案；
（2）根据周期变换和平移变换求出函数 ，再根据余弦函数的性质即可得出答案.
【详解】由 得 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
设内层函数 ，对称轴方程为 ，抛物线开口向下，
函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
外层函数 为减函数，所以函数 的单调递增区间为 .
故答案为： .
14、1
【解析】首先根据 时 的解析式求出 ，然后再根据函数的奇偶性即可求出答案.
【详解】因为当 时， ，所以 ，
①当 时， ，即 ，此时 ；
②当 时， ，即 ，此时 .
综上 的取值范围为 .
18、（1） ， （2）13分钟
【解析】（1）按照题目所给定的坐标系分别写出 和 的方程即可；
（2）根据零点存在定理判断即可.
【小问1详解】
可设 ，
∵转动的周期为30分钟，∴ ，
∵枢轮的直径为3.4米，∴ ，
∵点P的初始位置为最高点，∴ ，
1．设奇函数 在 上为增函数，且 ，则不等式 的解集为
A. B.
C. D.
2．已知函数 若方程 恰有三个不同的实数解a，b，c（ ），则 的取值范围是（）.
A. B.
C. D.
3．已知函数 ，则函数 的零点所在的区间是
A. B.
C. D.
4．函数f（x）= sin（x+ ）+cos（x- ）的最大值是（ ）
当 时， 代入， ，
解得
则函数的解析式为
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1） ；（2） .
【解析】（1）根据集合的运算法则计算；
（2）由 得 ，然后分类 和 求解
【详解】（1）当 时， 中不等式为 ，即 ，
∴ 或 ，则
（2）∵ ，∴ ，
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 ，则 D.若 ，则
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．函数 的单调递增区间是___________.
14．已知 是定义域为R的奇函数，且当 时， ，则 的值是___________.
15．某次学科测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图.
5、B
【解析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断
【详解】由 ，得 ，即 ，
由 ，得 ，即
推不出 ，但 能推出 ，
∴p是q的必要不充分条件.
故选：B
6、C
【解析】由指数函数过点代入求出 ，计算对数值即可.
【详解】因为指数函数 的图象过点 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
故选：C
7、A
【解析】判断函数的奇偶性，以及函数在 上的符号，利用排除法进行判断即可
9、A
【解析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】当 ， 时， ，故充分；
当 时， ， ，故不必要，
故选：A
10、B
【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
详解：因
所以选B.
点睛：向量加减乘：
11、C
【解析】分别求出 ， ， 的范围，即可比较大小.
【详解】因为 在 上单调递增，所以 ，即 ，
∴ ，
∵退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处，∴水面的初始纵坐标为 ，
∵水位以每分钟0.017米 速度下降，
∴ ；
【小问2详解】
P点进入水中，则 ，即
∴
作出 和 的大致图像，显然在 内存在一个交点
令 ，
∵ ，
，
∴P点进入水中所用时间的最小值为13分钟；
综上， ， ，P点进入水中所用时间的最小值为13分钟.
【小问1详解】
解：由函数 ，
则函数f（x）的最小正周期 ，
令 ，
解得 ，
所以函数f（x）的单调递增区间为 ；
【小问2详解】
解：函数 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的 ，得到 ，
再把所得到的图象向左平移 个单位长度，得到 ，
当 时， ，
所以 ，
所以函数 在区间 上的值域为 .
22、（1） ；（2）0.
20、 (1) (2)
【解析】（1）根据AC和BH的垂直关系可得到直线 的方程为 ，再代入点A的坐标可得到直线 的方程为 ，联立CM直线可得到C点坐标；（2）设 ，则 ，将两个点分别带入BH和CM即可求出 ，结合第一问得到BC的方程
解析：
（1）因为 ， 的方程为 ，不妨设直线 的方程为 ，
将 代入得 ，解得 ，