2020年三维 (江苏版)高考二轮复习数学 专题一 三角课时达标训练(三) 解三角形 Word版含答案

课时达标训练(三) 解三角形
A 组——大题保分练
1．(2019·南京三模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个角A ，B ，C 所对的边，且满足a cos B ＋b cos A ＝c cos A cos C
.
(1)求证：A ＝C ；
(2)若b ＝2，BA ―→·BC ―→
＝1，求sin B 的值．
解：(1)证明：由正弦定理，得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C cos A cos C ，
即(sin A cos B ＋sin B cos A )cos C ＝sin(A ＋B )cos C ＝sin C cos A . 因为A ＋B ＝π－C ，所以sin(A ＋B )＝sin C ， 所以sin C cos C ＝sin C cos A .
因为C 是△ABC 的内角，所以sin C ≠0，所以cos C ＝cos A . 又A ，C 是△ABC 的内角，所以A ＝C .
(2)由(1)知，A ＝C ，所以a ＝c ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2－2
a 2.
因为BA ―→·BC ―→
＝1，所以a 2cos B ＝a 2－2＝1，所以a 2＝3. 所以cos B ＝13
.
又B ∈(0，π)，所以sin B ＝
1－cos 2B ＝
22
3
. 2．(2019·无锡期末)在△ABC 中，设a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知向量m ＝(a ，sin C －sin B )，n ＝(b ＋c ，sin A ＋sin B )，且m ∥n .
(1)求角C 的大小；
(2)若c ＝3，求△ABC 周长的取值范围．
解：(1)由m ∥n 及m ＝(a ，sin C －sin B )，n ＝(b ＋c ，sin A ＋sin B )得a (sin A ＋sin B )－(b ＋c )(sin C －sin B )＝0.
由正弦定理，得a (a ＋b )－(b ＋c )(c －b )＝0，
所以a 2＋ab －(c 2－b 2)＝0，得c 2＝a 2＋b 2＋ab . 又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，
所以a 2＋b 2＋ab ＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 所以ab ＝－2ab cos C . 因为ab ＞0，所以cos C ＝－1
2.
又C ∈(0，π)，所以C ＝2π
3
.
(2)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 所以
a 2＋
b 2－2ab cos
2π
3
＝9，即(a ＋b )2－ab ＝9， 所以ab ＝(a ＋b )2－9≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a ＋
b 22，所以3（a ＋b ）24≤9， 即(a ＋b )2≤12，所以a ＋b ≤23，当且仅当a ＝b 时取等号． 又a ＋b ＞
c ，所以6＜a ＋b ＋c ≤23＋3， 所以△ABC 周长的取值范围是(6，3＋23]．
3．(2018·盐城三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AD 为边BC 上的中线．
(1)若a ＝4，b ＝2，AD ＝1，求边c 的长； (2)若AB ―→·AD ―→＝c 2，求角B 的大小．
解：(1)在△ADC 中，因为AD ＝1，AC ＝2，DC ＝1
2BC ＝2，
由余弦定理得cos C ＝AC 2＋DC 2－AD 22AC ·DC
＝22＋22－122×2×2＝7
8.
故在△ABC 中，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝42＋22－2×4×2×7
8＝6，所以
c ＝ 6.
(2)因为AD 为边BC 上的中线， 所以AD ―→＝12
(AB ―→＋AC ―→)，
所以c 2＝AB ―→·AD ―→＝AB ―→·12()
AB ―→＋AC ―→
＝12AB ―→2＋12AB ―→·AC ―→＝12c 2＋12cb cos A ，
∴c ＝b cos A .
∴AB ⊥BC ，∴B ＝90°.
4.如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD ＝1，BD ＝210，∠CAD ＝π
4
，tan ∠ADC ＝－2.求：
(1)CD 的长； (2)△BCD 的面积．
解：(1)因为tan ∠ADC ＝－2，
所以sin ∠ADC ＝255，cos ∠ADC ＝－5
5.
所以sin ∠ACD ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫π－∠ADC －π4
＝sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫∠ADC ＋π4
＝sin ∠ADC cos π4＋cos ∠ADC sin π
4
＝10
10
， 在△ADC 中，由正弦定理得CD ＝AD ·sin ∠CAD
sin ∠ACD ＝ 5.
(2)因为AD ∥BC ，所以cos ∠BCD ＝－cos ∠ADC ＝
55，sin ∠BCD ＝255
. 在△BDC 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2·BC ·CD ·cos ∠BCD ， 得BC 2－2BC －35＝0，解得BC ＝7(负值舍去)， 所以S △BCD ＝12·BC ·CD ·sin ∠BCD ＝12×7×5×25
5
＝7.
B 组——大题增分练
1．(2019·苏北三市一模)在△ABC 中，sin A ＝2
3，A ∈⎝⎛⎭⎫π2，π.
(1)求sin 2A 的值；
(2)若sin B ＝1
3，求cos C 的值．
解：(1)由sin A ＝23，A ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，π，得
cos A ＝－1－sin 2
A ＝－
1－⎝⎛⎭⎫232
＝－53， 所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝－
459
. (2)由A ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2，π，得B 为锐角，
又sin B ＝1
3
，所以cos B ＝
1－⎝⎛⎭⎫132
＝223，
所以cos C ＝－cos(A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B ) ＝－⎝
⎛⎭
⎫－
53×223－23×13＝210＋2
9. 2．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.
(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .
解：(1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB
sin ∠ADB
，
即5sin 45°＝2sin ∠ADB ， 所以sin ∠ADB ＝
25
. 由题设知，∠ADB <90°， 所以cos ∠ADB ＝ 1－225＝235
. (2)由题设及(1)知， cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝
25. 在△BCD 中，由余弦定理得
BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×2
5
＝25， 所以BC ＝5.
3．(2019·南通等七市一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，a cos B ＝2b cos A ，cos A ＝
33
.
(1)求角B 的大小；
(2)若a ＝6，求△ABC 的面积． 解：(1)在△ABC 中，因为cos A ＝3
3
，0＜A ＜π， 所以sin A ＝
1－cos 2A ＝
63
. 由a cos B ＝2b cos A 及正弦定理a sin A ＝b
sin B ，
得sin A cos B ＝2sin B cos A ， 所以cos B ＝sin B .
若cos B ＝0，则sin B ＝0，与sin 2B ＋cos 2B ＝1矛盾，故cos B ≠0. 于是tan B ＝sin B
cos B ＝1.
又0＜B ＜π，所以B ＝π
4
.
(2)由(1)及正弦定理a sin A ＝b sin B ，得663＝b
2
2，
所以b ＝32
2
.
又sin C ＝sin(π－A －B )＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝63×22＋33×22
＝23＋6
6
， 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×6×322×23＋66＝6＋32
4
.
4．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a cos B ＝2c －b . (1)若cos(A ＋C )＝－53
14，求cos C 的值；
(2)若b ＝5，AC ―→·CB ―→
＝－5，求△ABC 的面积；
(3)若O 是△ABC 外接圆的圆心，且cos B sin C ·AB ―→＋cos C sin B ·AC ―→＝m AO ―→，求m 的值．
解：由2a cos B ＝2c －b ，得2sin A cos B ＝2sin C －sin B ， 即2sin A cos B ＝2sin(A ＋B )－sin B ， 化简得cos A ＝1
2
，则A ＝60°.
(1)由cos(A ＋C )＝－cos B ＝－53
14，
得cos B ＝5314，所以sin B ＝11
14
.
所以cos C ＝cos(120°－B )＝－12cos B ＋32sin B ＝33
14
.
(2)因为AC ―→·CB ―→＝AC ―→·(AB ―→－AC ―→)＝AC ―→·AB ―→－AC ―→2＝|AC ―→|·|AB ―→|·cos A －|AC ―→
|2＝12bc
－b 2＝－5，
又b ＝5，解得c ＝8，
所以△ABC 的面积为1
2bc sin A ＝10 3.
(3)由
cos B sin C ·AB ―→＋cos C sin B
·AC ―→＝m AO ―→
， 可得cos B sin C ·AB ―→·AO ―→＋cos C sin B ·AC ―→·AO ―→＝m AO ―→2.(*)
因为O 是△ABC 外接圆的圆心，
所以AB ―→·AO ―→＝12AB ―→2，AC ―→·AO ―→＝12AC ―→2，
又|AO ―→
|＝
a
2sin A
， 所以(*)可化为cos B sin C ·c 2＋cos C sin B ·b 2＝12m ·a 2
sin 2A
，
所以m ＝2(cos B sin C ＋sin B cos C )＝2sin(B ＋C )＝2sin A ＝ 3.。