高一数学备课组复习必修1~4讲义7三角函数(2)

高一数学系列总复习之《三角函数2》
一、内容提示：
1．y=sinx ，x ∈R 和y=cosx ，x ∈R 的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 2.三角函数的基本内容：（1）y=sinx 和y=cosx 的性质： （2）正切函数的性质：
1）．定义域：⎭⎬⎫⎩⎨
⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ，2）．值域：R 3）．周期性：π=T 4)．奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数
5)．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增
3.三角函数图像问题：
（1）y ＝Asin(ωx ＋ϕ)：其中0,0A ω>>表示一个振动量时，A 就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅；往复一次所需的时间2T π
ω
=，称为这个振动的周期；单位时间
内往复振动的次数12f T ω
π
=
=
，称为振动的频率；ωϕ+称为相位；0x =时的相位ϕ称为初相 （2）三角函数变换：
1）sin sin y x y A x =→=：y=Asinx ，x ∈R(A>0且A ≠1)的图象可看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍得到的它的值域[-A, A] ，最大值是A, 最小值是-A ，若A<0 可
先作y=-Asinx 的图象 ，再以x 轴为对称轴翻折
A
称为振幅，这一变换称为振幅变换
2）sin sin y x y x ω=→=：函数y=sin ωx, x ∈R (ω>0且ω≠1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点
的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω1
倍（纵坐标不变），若ω<0则可用诱导公式将符号“提
出”再作图
ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换
3）sin sin()y x y x ϕ=→=+：函数y ＝sin(x ＋ϕ)，x ∈R(其中ϕ≠0)的图象，可看作把正弦曲线上所有点向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时)平行移动｜ϕ｜个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方
向：“加左”“减右”)
y ＝sin(x ＋ϕ)与y ＝sinx 的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换
二、例题分析：
【例1】求函数y ＝sin
2
1x
-π的单调增区间 解：将原函数变形为y ＝－sin 2
1
-x π
因此只需求sin 2
1
-x π＝y 的减区间即可
∵ｕ＝2
1
-x π为增函数
∴只需求sin ｕ的递减区间
∴2k π＋2
π
≤21-x π≤2k π＋23π
解之得：4k +2≤x ≤4k +4(k ∈Z)
∴原函数的单调递增区间为［4k ＋2，4k ＋4］(k ∈Z)
【例2】在0≤x ≤2
π
条件下，求y ＝cos 2x －sin x cos x －3sin 2x 的最大值和最小值
解：利用二倍角余弦公式的变形公式，有 ＝2(cos2x －sin2x )－1
＝22cos(2x ＋
4
π
)－1 ∵0≤x ≤2π，4π≤2x ＋4π
≤45π
cos(2x ＋4π
)在［0，8
3π）上是减函数
故当x ＝0时有最大值
2
2
当x ＝8
3π时有最小值－1
cos(2x ＋
4π)在［8
3π，2π］上是增函数 故当x ＝
8
3π时，有最小值－1
当x ＝
2
π
时，有最大值－22
综上所述，当x ＝0时，y max ＝1 当x ＝
8
3π时，y min ＝－22－1
【例3】求函数y ＝cos 2x －3sin x 的最大值
解：y ＝cos 2x －3sin x ＝－sin 2x －3sin x ＋1＝－(sin x ＋23)2＋4
13 ∵－1≤sin x ≤1，
∴当sin x ＝－1时，y max ＝3
说明：解此题易忽视sin x ∈［－1，1］这一范围，认为sin x ＝－2
3
时，y 有最大值
4
13
2．注意条件中角的范围
三、典题精练：
1、求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么
1︒y ＝sin2x ，x ∈R 2︒ y=sin(3x+4
π
)-1
2、求下列三角函数的周期：1︒ y=sin(x+3
π
) 2︒ y=3sin(2x +5π) 3︒ y=|sinx|
3、不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0
(1)sin(－
18π)－sin(－10π
)； (2)sin (－523π)－sin (－4
17π
)．
4、函数y=ksinx+b 的最大值为2, 最小值为-4，求k,b 的值
5、求函数y ＝sin 2
1x
-π的单调增区间
6、求函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋85a －23(0≤x ≤2π
)的最大值
7、画出函数 y ＝sin(x ＋3π)，x ∈R ， y ＝sin(x －4
π
)，x ∈R 的简图
8、若将某函数的图象向右平移2π以后所得到的图象的函数式是y ＝sin(x ＋4
π
)，
则原来的函数表达式为( )
A y ＝sin(x ＋34π)
B y ＝sin(x ＋2π)
C y ＝sin(x －4π
)
D y ＝sin(x ＋4π)－4
π
9、函数y ＝3sin(2x ＋3
π
的图象，可由y ＝sinx 的图象经过下述哪种变换而得到
( )
A 向右平移3
π
个单位，横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标扩大到原来的3倍
B 向左平移3
π
个单位，横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标扩大到原来的3倍
C 向右平移
6
π
个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的13倍
D 向左平移6
π
个单位，横坐标缩小到原来的12倍，纵坐标缩小到原来的13倍
10、已知函数y ＝Asin(ωx ＋ϕ)，在同一周期内，当x ＝9
π
时函数取得最大值2，
当x ＝49
π时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为
( )
A y ＝2sin(3x －6π)
B y ＝2sin(3x ＋6π
)
C y ＝2sin(3x ＋6π)
D y ＝2sin(3x －6
π
)
11．函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是（ ） A ．0 B ．4π C.2π
D.π 12．将函数sin()3
y x π
=-
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍
（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3
π
个单位，得到的图象对应的僻析式是（ ）
A ．1
sin
2y x = B ．1sin()22y x π=- C.1sin()26y x π=- D.sin(2)6
y x π
=- 13．在函数x y sin =、x y sin =、)322sin(π+=x y 、)3
22cos(π
+=x y 中，最小正周期为π的函数的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 14．若函数)3
tan(2)(π
+=kx x f 的最小正周期T 满足12T <<,则自然数k 的值为
______. 15．满足2
3
sin =
x 的x 的集合为_________________________________。

16．若)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3
π
上的最大值是2，则ϖ=________。

17．（1）求函数1sin 1
log 2
-=x
y 的定义域。

（2）设()sin(cos ),(0)f x x x π=≤≤，求()f x 的最大值与最小值。

18．若
2
cos 2sin y x p x q =++有最大值9和最小值6，求实数,p q 的值。