河南省驻马店市杨埠完全中学2018-2019学年高三数学文上学期期末试卷含解析

河南省驻马店市杨埠完全中学2018-2019学年高三数学
文上学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 公比为2的等比数列{}的各项都是正数，且，则
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
B
略
2. 设非零向量、、满足，，则向量、间的夹角为
（）
A.150°
B. 120°
C.
60° D.30°
参考答案：
B
3. 直线截圆所得劣弧所对圆心角为（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
4. 已知命题关于的方程有实根；命题关于的函数
在上是增函数．若是真命题，是假命题，则实数的取值范围是( )
A．(－12，－4]∪[4，＋∞) B．[－12，－4]∪[4，＋∞) C． (－∞，－12)∪(－4,4) D．[－12，＋∞)
参考答案：
略
5. 某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试，其中高三有学生900人，已知高一与高二共抽取了14人，则全校学生的人数为（）
A．2400 B．2700 C．3000 D．3600
参考答案：
C
【考点】分层抽样方法．
【分析】设全校学生的人数为n和要抽取的样本容量，即可求出答案．
【解答】解：设全校学生的人数为n，
则=，
解得n=3000，
故选：C
6. 函数的零点所在的一个区间是（）
A． B． C．
D．
参考答案：
B
B 因为，，所以的零点在区间
上.
7. 已知函数，则关于a的不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0的解集是（）
A．B．（﹣3，2）C．（1，2）D．
参考答案：
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据已知中的函数解析式，先分析函数的单调性和奇偶性，进而根据函数的性质及定义域，可将不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0化为1＞a﹣2＞4﹣a2＞﹣1，解不等式组可得答案．
【解答】解：函数的定义域为（﹣1，1）
∵f（﹣x）=﹣sinx=﹣f（x）
∴函数f（x）为奇函数
又∵f′（x）=+cosx＞0，
∴函数在区间（﹣1，1）上为减函数，
则不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0可化为：f（a﹣2）＜﹣f（a2﹣4）
即f（a﹣2）＜f（4﹣a2），
即1＞a﹣2＞4﹣a2＞﹣1
解得＜a＜2
故关于a的不等式f（a﹣2）+f（a2﹣4）＜0的解集是（，2）．
故选：A．
8. 将标号为1,2,3,4,5的5张卡片放入3个不同的信封中,每个信封中至少放1张卡片,其中标号为1,2的卡片不能放入同一信封中,则不同的放法有 ( )
A.72种
B. 108种
C. 114种
D. 144种
参考答案：
C
9. P是双曲线C：x2﹣y2=2左支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F2是双曲线C的右焦点，则|PF2|+|PQ|的最小值为（）
A．B．C．D．
C
【考点】KC：双曲线的简单性质．
【分析】求出双曲线的ab，c，以及一条渐近线方程，运用双曲线的定义，可得
|PF2|+|PQ|=|PF1|+2+|PQ|，依题意，当且仅当Q、P、F1三点共线，且P在F1，Q之间时，|PF1|+|PQ|最小，且最小值为F1到l的距离，从而可求得|PF2|+|PQ|的最小值．【解答】解：双曲线C：x2﹣y2=2的a=b=，c=2，
一条渐近线l方程为x﹣y=0，
设双曲线的左焦点为F1，连接PF1，
由双曲线定义可得|PF2|﹣|PF1|=2a=2，
∴|PF2|=|PF1|+2，
∴|PF2|+|PQ|=|PF1|+2+|PQ|，
当且仅当Q、P、F1三点共线，且P在F1，Q之间时，
|PF1|+|PQ|最小，且最小值为F1到l的距离，
可得F1（﹣2，0）到l的距离d==，
∴|PQ|+|PF2|的最小值为2+=3．
故选：C．
10. 已知∈(,)，sin=,则tan()等于（）
A.－
B.7
C.
D.－7
答案：C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）∥，则m= ．
参考答案：
﹣
【考点】9J：平面向量的坐标运算．
【分析】根据题意，由向量加法的坐标计算公式可得（+）的坐标，结合向量平行的坐标计算公式可得（﹣2）×4=3×（m﹣2），解可得m的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，向量=（1，m），=（3，﹣2），
则（+）=（4，m﹣2），
若（+）∥，则有（﹣2）×4=3×（m﹣2），
解可得m=﹣；
故答案为：﹣
12. 已知等差数列的公差，若，
_____.
参考答案：
1008
略
13. 已知实数，满足，则的取值范围是
参考答案：
考点：解得的线性规划
14. 对大于或等于2的自然数 m的n 次方幂有如下分解方式：
22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7；23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.
根据上述分解规律，若n2＝1＋3＋5＋…＋19, m3(m∈N*)的分解中最小的数是21，则m＋n 的值为________．
参考答案：
15
15. 设函数则．
参考答案：
答案：
解析：。

16. 某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价,第二次提价
；方案乙：每次都提价，若，则提价多的方案是 .
参考答案：
乙
设原价为1，则提价后的价格:方案甲：,乙：，因为
，因为，所以
，即，所以提价多的方案是乙。

17. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．
参考答案：
【考点】8G：等比数列的性质；CB：古典概型及其概率计算公式．
【分析】先由题意写出成等比数列的10个数为，然后找出小于8的项的个数，代入古典概论的计算公式即可求解
【解答】解：由题意成等比数列的10个数为：1，﹣3，（﹣3）2，（﹣3）3…（﹣3）9
其中小于8的项有：1，﹣3，（﹣3）3，（﹣3）5，（﹣3）7，（﹣3）9共6个数
这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是P=
故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）
已知圆（点O为坐标原点），一条直线与圆O 相切，并与椭圆交于不同的两点A、B。

（1）设的表达式；
（2）若，求三角形OAB的面积。

参考答案：
解析：（1）
即…………3分
由消去y，
得
与椭圆交于不同的两点，
…………5分
（2）设
则…………7分
由弦长公式，得
它与圆相切，
…………12分
19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，
，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成角的余弦值．
参考答案：
【命题意图】本小题主要考查直线与平面垂直的判定，面面垂直的性质，二面角余弦值的求解等基础知识，考查空间想像能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等．
【试题简析】解法一：（Ⅰ）在底面中，，
，
所以，，所以，
所以，1分
又平面平面，平面平面，平面，所以平面，2分
又平面，所以，3分
又即，
又，4分
所以平面. 5分
（Ⅱ）分别延长和相交于一点，连结，则直线即为所求直线，6分
在平面内过作（如图），
又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又，
所以两两互相垂直.以为原点，向量的方向分别为
轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），另设，7分
则，，，，
所以，，8分
设是平面的法向量，
则即9分
令，得. 10分
显然是平面的一个法向量. 11分
设二面角的大小为（为锐角）.
所以，
所以二面角的的余弦值为. 12分
解法二：（Ⅰ）同解法一；5分
（Ⅱ）分别延长和相交于一点，连结，则直线即为所求直线，
6分
分别取中点和，连结，，
所以，又，所以，
又因为，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，所以平面，
所以两两互相垂直.以为原点，向量的方向分别为
轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），另设，7分
则，，，，
所以，，8分
设是平面的法向量，
则即，9分
令，得. 10分
显然是平面的一个法向量. 11分
设二面角的大小为（为锐角）.
所以，
所以二面角的余弦值为. 12分
【变式题源】（2017全国卷Ⅱ·理19）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形
且垂直于底面ABCD，，， E是PD的中点.（Ⅰ）证明：直线平面PAB；
（Ⅱ）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为，求二面角M-AB-D的余弦值
20. 已知函数
(1)若在区间［1，+）上是增函数，求实数的取值范围
(2）若是的极值点，求在［1，］上的最大值
(3）在（2）的条件下，是否存在实数b,使得函数的图象与的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由.
参考答案：
（1）
在是增函数，
在上恒有，即
在［1，+）上恒成立，
则必有且
(2）依题意，
即
令，
得.
则当经变化时，与变化情况如下表
在［1，4］上的最大值是.
C．函数的图象与函数的图象恰有3个交点，即方程
恰有3个不等实根.
有两个非零不等实根.
是其中一个根，
且.
存在满足条件的b的值，b的取值范围是且.
21. （本小题满分13分）
某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）.在点A 与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧BC的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带.（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）
（I）设（弧度），将绿化带总长度表示为的函数；
（II）试确定的值，使得绿化带总长度最大.
参考答案：
【知识点】弧度制的应用．C1
（Ⅰ）（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）如图，连接BC，设圆心为O，连接CO，在直角三角形ABC中，AB=100，，所以.
由于，所以弧的长为． (6)
分
所以.
（Ⅱ）则
……………………8分
列表如下：
所以，当时，取极大值，即为最大值.
答：当时，绿化带总长度最
大. ……………………13分
【思路点拨】（Ⅰ）利用三角函数结合弧长公式，可将绿化带总长度表示为θ的函数S （θ）；（Ⅱ）求导数，确定函数的单调性，即可确定θ的值，使得绿化带总长度最大。

22. 已知函数.
（I）讨论的单调性；
（II）当时，函数在其定义域内有两个不同的极值
点，记作，且，若，证明：.
参考答案：
（I）
………………1分
方程的判别式
①当时，，，在为增函
数………………2分
②当时，，方程的两根为
，
当时，，在为增函
数………………3分
当时，，在为增函数，在为减函数………………4分
综上所述：当时，的增区间为，无减区间
当时，的增区间为，减区间
………………5分
（II）证明：所以
因为有两极值点，所以，
………………6分
欲证等价于要证：
即
，
………………7分
所以，因为，
所以原式等价于要证明：. 又，，
作差得
，
………………8分
所以原式等价于要证明：
，………………9分
令，上式等价于要证：，
，………………10分
令，所以，
当时，，所以在上单调递增，因此，
在上恒成立，所以原不等式成立。

………………12分。