高三数学第二学期数列多选题单元达标提优专项训练试卷

高三数学第二学期数列多选题单元达标提优专项训练试卷
一、数列多选题
1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为常数），
则下列结论正确的有（ ） A ．{}n a 一定是等比数列
B ．当1p =时，4158
S =
C ．当1
2
p =
时，m n m n a a a +⋅= D ．3856a a a a +=+
【答案】BC 【分析】
对于A 选项，若0p =，则数列{}n a 不是等比数列，当0p ≠时，通过题目条件可得
11
2n n a a -=，即数列{}n a 为首项为p ，公比为12
的等比数列，然后利用等比数列的通项公式、前n 项和公式便可得出B ，C ，D 是否正确. 【详解】
由1a p =，122n n S S p --=得，()222a p p p +-=，故22
p
a =，则2112a a =，
当3n ≥时，有1222n n S S p ---=，则120n n a a --=，即11
2
n n a a -=， 故当0p ≠时，数列{}n a 为首项为p ，公比为1
2
的等比数列；当0p =时不是等比数列，故A 错误；
当1p =时，441111521812S ⎛
⎫⨯- ⎪
⎝⎭=
=-，故B 正确； 当12p =时，12n
n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则12m n
m n m n a a a ++⎛⎫⋅== ⎪⎝⎭，故C 正确；
当0p ≠时，3827
11
33+22
128a a p p ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，而56451112+22128
a a p p ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 故3856a a a a +>+，则D 错误；
故选：BC.
2．已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,……，其中第一项是02，接下来的两项是
012,2,再接下来的三项是0122,2,2,依次类推…，第n 项记为n a ，数列{}n a 的前n 项和为
n S ，则（ ）
A ．6016a =
B ．18128S =
C ．2
1
2
2k k k a -+=
D ．2
2
21k
k k
S k +=-- 【答案】AC 【分析】
对于AC 两项，可将数列进行分组，计算出前k 组一共有()
12
k k +个数，第k 组第k 个数即12k -，可得到选项C
由C 得到9
552a =，60a 则为第11组第5个数，可得60a 对于BD 项，可先算得
22
k k
S +，即前k 组数之和
18S 即为前5组数之和加上第6组前3个数，由21
2
22k k k S k ++=--结论计算即可.
【详解】
A.由题可将数列分组
第一组：02 第二组：012,2, 第三组：012
2,2,2, 则前k 组一共有12++…()
12
k k k ++=个数 第k 组第k 个数即1
2k -，故2
1
2
2k k k a -+=，C 对
又
()10101552+=，故9
552a = 又
()
11111662
+=， 60a 则为第11组第5个数
第11组有数：0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2 故4
60216a ==，A 对
对于D. 每一组的和为0
1
22++ (1)
212
2121
k k k --+==-- 故前k 组之和为1222++…()122122221
k k k k k k +-+-=
-=---
212
22
k k k S k ++=--
故D 错. 对于B.
由D 可知，6
15252S =--
()551152
+=，()
661212+=
01261815222252764S S =+++=--+=
故B 错 故选：AC 【点睛】
数列求和的方法技巧
(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．
3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且12a =，38a =则（ ） A ．512a = B ．公差3d =
C ．()261n S n n =+
D ．数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为
64n
n + 【答案】BCD 【分析】
根据已知条件求出等差数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式，即可判断选项A 、B 、
C ，
再利用裂项求和即可判断选项D. 【详解】
因为数列{}n a 是等差数列，则312228a a d d =+=+=，解得：3d =，故选项B 正确； 所以()21331n a n n =+-⨯=-，
对于选项A ：535114a =⨯-=，故选项A 不正确；
对于选项C ：()()
2222132612
n n S n n n ++-⨯⎡⎤⎣⎦=⨯=+，所以故选项C 正确； 对于选项D ：
()()111111313233132n n a a n n n n +⎛⎫
==- ⎪-+-+⎝⎭
， 所以前n 项和为1111111
1132558811
3132n n ⎛⎫
-+-+-++
-
⎪-+⎝⎭
()611132322324
n n n n n ⎛⎫=-== ⎪
++⎝⎭+，故选项D 正确， 故选：BCD. 【点睛】
方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如
()()1n
n a f n =-类型，可采用两项合并求解.
4．已知数列{}n a ，{}n b 满足，11a =，11
n n n a a a +=
+，1
(1)n n b n a =+，若
23
100
100122
2
23100b b b T b =+
+++
，则（ ） A ．n a n = B ．1
n n b n =
+ C ．100100
101
T =
D ．10099100
T =
【答案】BC 【分析】
先证明数列1n a 是等差数列得1
n a n =，进而得1(1)1n n n b n a n ==++，进一步得
()2
11111n b n n n n n ==-++，再结合裂项求和得100100101
T =. 【详解】 解:因为11n
n n a a a +=
+,两边取倒数得:
1111n n a a +=+,即1
11
1n n
a a ,
所以数列
1
n
a 是等差数列,公差为1,首项为
111a ,
故
()1
111n n n a =+-⨯=,所以1n a n
=, 所以1(1)1
n n n
b n a n =
=++，故()211111n b n n n n n ==-++，
所以3
1002100122
2111
1
2310022334
100101
b b b T b =+
+++
=++++
⨯⨯⨯
111111
11100122334100101101101⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 故BC 正确，AD 错误； 故选：BC 【点睛】
本题考查数列通项公式的求解，裂项求和，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于证明数列
1
n
a 是等差数列，进而结合裂项求和求解100T .
5．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n na n a +-+=，*n N ∈，其前n 项和为n S ，则下列选项中正确的是（ ）
A ．数列{}n a 是公差为2的等差数列
B ．满足100n S <的n 的最大值是9
C ．n S 除以4的余数只能为0或1
D ．2n n S na = 【答案】ABC 【分析】
根据题意对()111n n na n a +-+=变形得()1111
111
n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得(
)*
21n a n n N =-∈，再依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解：因为()111n n na n a +-+=，
故等式两边同除以()1n n +得：()1111
111
n n a a n n n n n n +=-+-=++， 所以()1111111n n a a n n n n n n -=-----=，()()1211122121
1n n a a n n n n n n --=------=--，，
2111121122
a a =-⨯-= 故根据累加法得：
()11
121n a a n n
n =-≥-， 由于11a =，故()212n a n n =-≥，检验11a =满足， 故(
)*
21n a n n N
=-∈
所以数列{}n a 是公差为2的等差数列，故A 选项正确； 由等差数列前n 项和公式得：()
21212
n n n S n +-=
=，
故2
100n n S =<，解得：10n <，故满足100n S <的n 的最大值是9，故B 选项正确； 对于C 选项，当*
21,n k k N =-∈时，22441n n k S k ==-+，此时n S 除以4的余数只能为1；当*
2,n k k N =∈时，224n n k S ==，此时n S 除以4的余数只能0，故C 选项正
确；
对于D 选项，2
22n S n =，()2212n n n n n n a =-=-，显然2n n S na ≠，故D 选项错误.
故选：ABC 【点睛】
本题考查累加法求通项公式，裂项求和法，等差数列的相关公式应用，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于整理变形已知表达式得
()1111
111
n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得通项公式.
6．（多选）在递增的等比数列{}n a 中，已知公比为q ，n S 是其前n 项和，若1432a a =，
2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）
A ．1q =
B ．数列{}2n S +是等比数列
C ．8
510S =
D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列
【答案】BC 【分析】 计算可得2q
，故选项A 错误；
8510S =，122n n S ++=，所以数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确；
lg lg 2n a n =⋅，所以数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误.
【详解】
∵142332,12,a a a a =⎧⎨+=⎩∴
231423
32,
12,a a a a a a ==⎧⎨
+=⎩ 解得234,8a a =⎧⎨=⎩或23
8,
4a a =⎧⎨=⎩，
∵{}n a 为递增数列， ∴234,
8
a a =⎧⎨
=⎩∴322a q a ==，212a a q ==，故选项A 错误； ∴2n
n a =，(
)1
2122
212
n
n n
S +⨯-==--，
∴9822510S =-=，1
22n n S ++=，
∴数列{}2n S +是等比数列，故选项,B C 正确； 又lg 2lg 2lg n
n n a ==⋅，
∴数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】
方法点睛：证明数列的性质，常用的方法有：（1）定义法；（2）中项公式法.要根据已知灵活选择方法证明.
7．（多选题）已知函数()22()
()
n n f n n n ⎧=⎨-⎩当为奇数时当为偶数时，且()()1n a f n f n =++，则n
a 等于（ ）
A ．()21n -+
B ．21n -
C ．21n
D ．12n -
【答案】AC 【分析】
对n 进行分类讨论，按照()()1n a f n f n =++写出通项即可. 【详解】
当n 为奇数时，()()()()2
2112121n a f n f n n n n n =++=-+=--=-+； 当n 为偶数时，()()()221121n a f n f n n n n =++=-++=+，
所以()()()2121n n n a n n ⎧-+⎪=⎨+⎪⎩
当为奇数时当为偶数时. 故选：AC . 【点睛】
易错点睛：对n 进行分类讨论时，应注意当n 为奇数时，1n +为偶数；当n 为偶数时，
1n +为奇数.
8．（多选）设数列{}n a 是等差数列，公差为d ，n S 是其前n 项和，10a >且69S S =，则（ ） A ．0d > B ．80a =
C ．7S 或8S 为n S 的最大值
D ．56S S >
【答案】BC 【分析】
根据69S S =得到80a =，再根据10a >得到0d <，可得数列{}n a 是单调递减的等差数列，所以7S 或8S 为n S 的最大值，根据6560S S a -=>得65S S >，故BC 正确. 【详解】
由69S S =得，960S S -=， 即7890a a a ++=，又7982a a a +=，
830a ∴=，80a ∴=，∴B 正确；
由8170a a d =+=，得1
7
a d =-
，又10a >，0d ∴<， ∴数列{}n a 是单调递减的等差数列，
(
)()
0,70,9
n n a n N n a n N n **
⎧>∈≤⎪∴⎨<∈≥⎪⎩， 7S ∴或8S 为n S 的最大值，∴A 错误，C 正确； 6560S S a -=>，65S S ∴>，所以D 错误.
故选：BC ． 【点睛】
关键点点睛：根据等差中项推出80a =，进而推出0d <是解题关键.
9．已知首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，当n 为偶数时，11n n a a --=；当n 为奇数且1n >时，121n n a a --=.若4000m S >，则m 的值可以是（ ） A ．17 B ．18
C ．19
D ．20
【答案】BCD 【分析】
由已知条件得出数列奇数项之间的递推关系，从而得数列21{3}k a -+是等比数列，由此可求得奇数项的表达式（也即得到偶数项的表达式），对2k S 可先求得其奇数项的和，再得偶数项的和，从而得2k S ，计算出与4000接近的和，184043S =，173021S =，从而可得结论． 【详解】
依题意，2211k k a a -=+，21221k k a a +=+，*k N ∈，所以2211k k a a -=+，
2122121212(1)123k k k k a a a a +--=+=++=+,∴()2121323k k a a +-+=+.
又134a +=，故数列{}213k a -+是以4为首项，2为公比的等比数列，所以
121423k k a --=⋅-，
故S 奇
()21321141232
(44242)43321k k k k k a a a k k -+-===
+⨯+
+⨯--+++-=---，
S 偶21232412()242k k k a a a k k a a a +-=+=++
+=+++
--，故2k S S =奇＋S 偶
3285k k +=--，
故12
1828454043S =--=，173021S =，故使得4000m S >的最小整数m 的值为18.
故选：BCD . 【点睛】
关键点点睛：本题考查数列的和的问题，解题关键是是由已知关系得出数列的奇数项满足的性质，求出奇数项的表达式（也可求出偶数项的表达式），而求和时，先考虑项数为偶数时的和，这样可分类求各：先求奇数项的和，再求偶数项的和，从而得所有项的和，利用这个和的表达式估计和n S 接近4000时的项数n ，从而得出结论．
10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1+14,()n n a S a n N *
==∈，数列12(1)n n n n a +⎧⎫+⎨⎬+⎩
⎭的
前n 项和为n T ，n *∈N ，则下列选项正确的是（ ） A ．24a = B ．2n
n S =
C ．38
n T ≥
D ．12
n T <
【答案】ACD 【分析】
在1+14,()n n a S a n N *
==∈中，令1n =，则A 易判断；由32122S a a =+=，B 易判断；
令12(1)n n n b n n a ++=
+，13
8
b =，
2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++=
==-++⋅+⋅，裂项求和3182
n T ≤<，则CD 可判断. 【详解】
解：由1+14,()n n a S a n N *
==∈，所以2114a S a ===，故A 正确；
32212822S a a =+==≠，故B 错误；
+1n n S a =，12,n n n S a -≥=，所以2n ≥时，11n n n n n a S S a a -+=-=-，
1
2n n
a a +=， 所以2n ≥时，2
42
2n n n a -=⋅=， 令12(1)n n n b n n a ++=
+，12123
(11)8
b a +=
=+， 2n ≥时，()()11
12211
(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++=
==-++⋅+⋅，
113
8
T b ==，2n ≥时，
()()2334
113111111111
8223232422122122
n n n n T n n n ++=+-+-+
+
-=-<⨯⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅ 所以n *∈N 时，31
82
n T ≤<，故CD 正确；
故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：已知n a 与n S 之间的关系，一般用()11,12n n
n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩递推数列的通项，注
意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和.。