(汇总3份试卷)2019年珠海市九年级上学期数学期末教学质量检测试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝4，以点C 为中心，把△ABC 逆时针旋转45°，得到△A ′B ′C ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．2
B ．2π
C ．4
D ．4π
【答案】B 【解析】根据阴影部分的面积是（扇形CBB'的面积﹣△CA'B'的面积）+（△ABC 的面积﹣扇形CAA'的面积），代入数值解答即可．
【详解】∵在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝4，
∴BC ＝
，∠ACB ＝∠A'CB'＝45°， ∴阴影部分的面积＝＝2π，
故选B ．
【点睛】
本题考查了扇形面积公式的应用，观察图形得到阴影部分的面积是（扇形CBB'的面积﹣△CA'B'的面积）+（△ABC 的面积﹣扇形CAA'的面积）是解决问题的关键.
2．如图，将Rt ABC ∆(其中∠B=33°，∠C=90°)绕点A 按顺时针方向旋转到11AB C ∆的位置，使得点C 、A 、B 1在同一条直线上，那么旋转角等于( )
A ．22x =-
B ．66
C ．114
D ．123
【答案】D 【解析】根据直角三角形两锐角互余求出BAC ∠，然后求出1BAB ∠，再根据旋转的性质对应边的夹角1BAB ∠即为旋转角．
【详解】解：33∠=︒B ，90C ∠=︒，
90903357
∴∠=︒-∠=︒-︒=︒
BAC B，
点C、A、1B在同一条直线上，
180********
∴∠'=︒-∠=︒-︒=︒
BAB BAC，
∴旋转角等于123︒．
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握旋转的性质，明确对应边的夹角即为旋转角是解题的关键．
3．如图，为了美化校园，学校在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角∠AOB＝120°，半径OA为3m，那么花圃的面积为（）
A．6πm2B．3πm2C．2πm2D．πm2
【答案】B
【分析】利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解:∵扇形花圃的圆心角∠AOB＝120°，半径OA为3cm，
∴花圃的面积为
2
1203
360
π⨯
＝3π，
故选：B．
【点睛】
本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式．
4．如图，AB是⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且AO＝CD，则∠PCA＝（）
A．30°B．60°C．67.5°D．45°
【答案】C
【分析】直接利用切线的性质结合等腰三角形的性质得出∠PCA的度数．
【详解】解：∵PD切⊙O于点C，
∴∠OCD ＝90°，
∵AO ＝CD ，
∴OC ＝DC ，
∴∠COD ＝∠D ＝45°，
∵AO ＝CO ，
∴∠A ＝∠ACO ＝22.5°，
∴∠PCA ＝90°﹣22.5°＝67.5°．
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了切线的性质以及等腰三角形的性质，正确得出∠COD=∠D=45°是解题关键． 5．为了美化校园环境，加大校园绿化投资．某区前年用于绿化的投资为18万元，今年用于绿化的投资为33万元，设这两年用于绿化投资的年平均增长率为x ，则（ ）
A ．18（1+2x ）＝33
B ．18（1+x 2）＝33
C ．18（1+x ）2＝33
D ．18（1+x ）+18（1+x ）2＝33 【答案】C
【解析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，本题得以解决．
【详解】由题意可得，
18（1+x ）2＝33，
故选：C ．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的一元二次方程，这是一道典型的增长率问题．
6．如图，,,AB AC BD 是O 的切线，切点分别是,,P C D ．若5,3AC BD ==，则AB 的长是( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【答案】D 【分析】因为AB 、AC 、BD 是O 的切线，切点分别是P 、C 、D ，所以AP=AC 、BD=BP ，所以
538AB AP BP AC BD =+=+=+=．
【详解】解：∵,,AB AC BD 是O 的切线，切点分别是,,P C D ．
∴,AP AC BD BP ==，
∴AB AP BP AC BD =+=+，
∵5,3AC BD ==，
∴538AB =+=．
故选D ．
【点睛】
本题考查圆的切线的性质，解题的关键是掌握切线长定理．
7．如图，一个斜坡长130m ，坡顶离水平地面的距离为50m ，那么这个斜坡的坡度为（ ）
A ．512
B ．1213
C ．513
D ．1312
【答案】A
【解析】试题解析：∵一个斜坡长130m ，坡顶离水平地面的距离为50m ，
∴这个斜坡的水平距离为：2213050-=10m ，
∴这个斜坡的坡度为：50：10=5：1．
故选A ．
点睛：本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是明确坡度的定义．坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i 表示，常写成i=1：m 的形式．
8．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，E 是BC 延长线上的一点，已知∠BOD ＝130°，则∠DCE 的度数为（ ）
A ．45°
B ．50°
C ．65°
D ．75°
【答案】C 【分析】根据圆周角定理求出∠A ，根据圆内接四边形的性质得出∠DCE=∠A ，代入求出即可．
【详解】∵∠BOD ＝130°，
∴∠A ＝12
∠BOD ＝65°， ∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，
∴∠DCE＝∠A＝65°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质的应用，注意：圆内接四边形的对角互补，并且一个外角等于它的内对角．
9．如图，点A在反比例函数y=3
x
(x＞0)的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C在y轴上，则
△ABC的面积为( )
A．3 B．2 C．3
2
D．1
【答案】C
【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB=S△CAB，再根据反比例函数的比例系数k的几何
意义得到S△OAB=1
2
|k|，便可求得结果．
【详解】解：连结OA，如图，
∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB=S△CAB，
而S△OAB=1
2
|k|=
3
2
，
∴S△CAB=3
2
，
故选C．【点睛】
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=k
x
图象中任取一点，过这一个点向x
轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
10．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若
2 tan
5
BAC
∠=，
则此斜坡的水平距离AC为（）
A ．75m
B ．50m
C ．30m
D ．12m 【答案】A
【分析】根据BC 的长度和tan BAC ∠的值计算出AC 的长度即可解答. 【详解】解：因为2tan 5BC BAC AC ＝∠=
，又BC ＝30，所以，3025AC ＝，解得：AC ＝75m ，所以，故选A.
【点睛】
本题考查了正切三角函数，熟练掌握是解题的关键.
115x -x 的值可以是（ ）
A ．2
B ．0
C ．1
D ．9 【答案】D 5x -0，可得x-5≥0，解不等式就可得到答案.
【详解】∵5x -有意义，
∴x-5≥0，
∴x ≥5，
观察个选项，可以发现x 的值可以是9.
故选D.
【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件.
12．将抛物线221y x =-向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为( ) A ．()2222y x =++
B ．()2222y x =-+
C ．()2222y x =--
D ．()2222y x =+- 【答案】B
【分析】根据“左加右减”，“上加下减”的平移规律即可得出答案．
【详解】将抛物线2
21y x =-向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，
所得到的抛物线为()()222213=222=--+-+y x x
故选：B ．
【点睛】
本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．已知杭州市某天六个整点时的气温绘制成的统计图，则这六个整点时气温的中位数是.
【答案】15.6
【解析】试题分析：此题考查了折线统计图和中位数，掌握中位数的定义是本题的关键，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数.把这些数从小到大排列为：4.5，10.5，15.3，15.9，19.6，20.1，
最中间的两个数的平均数是（15.3+15.9）÷2=15.6（℃），
则这六个整点时气温的中位数是15.6℃．
考点：折线统计图；中位数
14．如图，⊙O的半径为2，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，对角线CE、DF相交于点M，则△MEF的面积是_____．
【答案】22
【分析】设OE交DF于N，由正八边形的性质得出DE＝FE，∠EOF＝360
8
︒
＝45°，DE FE
=，由垂径定
理得出∠OEF＝∠OFE＝∠OED，OE⊥DF，得出△ONF是等腰直角三角形，因此ON＝FN＝
2
2
OF2，
∠OFM＝45°，得出EN＝OE﹣OM＝22，证出△EMN是等腰直角三角形，得出MN＝EN，得出MF＝OE＝2，由三角形面积公式即可得出结果．
【详解】解：设OE交DF于N，如图所示：
∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，
∴DE＝FE，∠EOF＝360
8
︒
＝45°，DE FE
=，
∴∠OEF＝∠OFE＝∠OED，OE⊥DF，
∴△ONF 是等腰直角三角形，
∴ON ＝FN ＝22OF ＝2，∠OFM ＝45°， ∴EN ＝OE ﹣OM ＝2﹣2，∠OEF ＝∠OFE ＝∠OED ＝67.5°，
∴∠CED ＝∠DFE ＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠MEN ＝45°，
∴△EMN 是等腰直角三角形，
∴MN ＝EN ，
∴MF ＝MN+FN ＝ON+EN ＝OE ＝2，
∴△MEF 的面积＝12MF×EN ＝12
×2×（2﹣2）＝2﹣2； 故答案为：2﹣2．
【点睛】
本题考查的是圆的综合，难度系数较高，解题关键是根据正八边形的性质得出每个角的度数.
15．如图，△ABC 绕点B 逆时针方向旋转到△EBD 的位置，∠A=20°，∠C=15°，E 、B 、C 在同一直线上，则旋转角度是_______．
【答案】35°
【分析】根据旋转角度的概念可得∠ABE 为旋转角度，然后根据三角形外角的性质可进行求解．
【详解】解：由题意得：∠ABE 为旋转角度，
∵∠A=20°，∠C=15°，E 、B 、C 在同一直线上，
∴∠ABE=∠A+∠C=35°；
故答案为35°．
【点睛】
本题主要考查旋转及三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质及三角形外角的性质是解题的关键． 16．设,m n 分别为一元二次方程2220190+-=x x 的两个实数根，则33m n mn +-=____．
【答案】-2025
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出2m n +=-，2019=-mn ，将其代入33++m n mn 中
即可求出结论．
【详解】解：m ，n 分别为一元二次方程2220190+-=x x 的两个实数根，
2m n ∴+=-，2019=-mn ，
则()()3333220192025++=++=⨯--=-m n mn m n mn ．
故答案为：2025-．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出2m n +=-，2019=-mn 是解题的关键．
17．如图，函数y ＝
1(0)
1(0)x x x x
⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩的图象所在坐标系的原点是_______．
【答案】M
【分析】由函数解析式可知函数关于y 轴对称，即可求解；
【详解】解：由已知可知函数y ＝1(0)1(0)x x x x
⎧>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩的图象关于y 轴对称， 所以点M 是原点；
故答案为：M ．
【点睛】
本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握函数的解析式与函数图象的关系是解题的关键． 18．如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm （即相邻两弧半径相差32cm ），测得AB=200cm ，AC=BD=40cm ，则弧AB 所在的圆的半径为_______________cm
【答案】1
【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB 所在的圆的半径为r ，利用勾股定理列出
方程即可解答．
【详解】解：设弧AB 所在的圆的半径为r ，如图．作OE ⊥AB 于E ，连接OA ，OC ，则OA=r ，OC=r+32，
∵OE ⊥AB ，
∴AE=EB=100cm ，
在RT △OAE 中22222100OE OA AE r =-=-，
在RT △OCE 中，()2
222232140OE OC CE r =-=+-，
则()222210032140r r -=+-
解得：r=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．已知：如图，E,F 是正方形ABCD 的对角线BD 上的两点，且BE DF =.
求证：四边形AECF 是菱形.
【答案】见解析
【解析】连接AC ，交BD 于O ，由正方形的性质可得OA=OC ，OB=OD ，AC ⊥BD 根据BE=DF 可得OE=OF ，由对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可判定，
【详解】∵四边形ABCD 是正方形，
∴OD=OB ，OA=OC ，BD ⊥AC ，
∵BE=DF ，
∴DE=BF ，
∴OE=OF ，
∵OA=OC ，AC ⊥EF ，OE=OF ，
∴四边形AECF 为菱形．
【点睛】
本题考查了正方形对角线互相垂直平分的性质，考查了菱形的判定，对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键.
20．已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数(0)y ax b a =+≠的图象与反比例函数(0)k y k x
=≠的图象交于一、三象限内的A ．B 两点，与x 轴交于C 点，点A 的坐标为（2,m)，点B 的坐标为（n ，－2），tan ∠BOC ＝25
． （l ）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x 轴上有一点E （O 点除外），使得△BCE 与△BCO 的面积相等，求出点E 的坐标．
【答案】（1）反比例函数解析式为y=10x
，一次函数解析式为y=x+3；（2）（﹣6，0）． 【分析】（1）过B 点作BD ⊥x 轴，垂足为D ，由B （n ，-2）得BD=2，由tan ∠BOC="2/5" ，解直角三角形求OD ，确定B 点坐标，得出反比例函数关系式，再由A 、B 两点横坐标与纵坐标的积相等求n 的值，由“两点法”求直线AB 的解析式； （2）点E 为x 轴上的点，要使得△BCE 与△BCO 的面积相等，只需要CE=CO 即可，根据直线AB 解析式求CO ，再确定E 点坐标．
【详解】解：（1）过B 点作BD ⊥x 轴，垂足为D ，
∵B （n ，﹣2），
∴BD=2，
在Rt △OBD 在，tan ∠BOC=
BD OD
，即225OD = ，解得OD=5，
又∵B 点在第三象限，
∴B （﹣5，﹣2），
将B （﹣5，﹣2）代入y=k x 中，得k=xy=10， ∴反比例函数解析式为y=10x
， 将A （2，m ）代入y=10x 中，得m=5，∴A （2，5）， 将A （2，5），B （﹣5，﹣2）代入y=ax+b 中，
得2552a b a b +=⎧⎨-+=-⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩
， 则一次函数解析式为y=x+3；
（2）由y=x+3得C （﹣3，0），即OC=3，
∵S △BCE =S △BCO ，∴CE=OC=3，
∴OE=6，即E （﹣6，0）．
21．如图，12310...A A A A 是半径为1的O 的内接正十边形，2A P 平分21OA A ∠
（1）求证：21211A A A P OA =⋅；
（2）求证：1251A A -= 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】（1）根据题意得出角相等得出△A 1A 2P ∽△A 1OA 2，再根据相似三角形的性质即可得出答案； （2）设A 1A 2＝x ，得出OP ＝PA 2＝A 1A 2＝x ，A 1 P ＝1－x ，再代入2
1211A A A P OA =⋅中即可求出答案．
【详解】证明：（1）∵A 1A 2A 3…A 10是半径为1的⊙O 的内接正十边形，A 2P 平分∠OA 2A 1
∴∠A 1OA 2＝36°，∠A 1＝∠OA 2A 1＝72°，∠A 1A 2P ＝∠O ＝36°
∴∠A 1 P A 2＝72°，OP ＝PA 2，
∴△A 1A 2P ∽△A 1OA 2，12111
2A A A P OA A A = ∴A 1A 22＝A 1P•O A 1
（2）设A 1A 2＝x ，
则OP ＝PA 2＝A 1A 2＝x ，
∴A 1 P ＝1－x ，
由（1）得A 1A 22＝A 1P•O A 1
∴21x x =－，
∴210x x +－＝，
解得，()
2114115x=-±-±－－＝（负值舍去） ∴51x =－， 即12512A A =
－ 【点睛】
本题考查了正十边形的性质及相似三角形的判定及性质定理，能够根据正十边形的性质得出角的度数是解题的关键．
22．如图，△ABC 中，已知∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，BD ＝2，DC ＝3，把△ABD 、△ACD 分别以AB 、AC 为对称轴翻折变换，D 点的对称点为E 、F ，延长EB 、FC 相交于G 点．
（1）求证：四边形AEGF 是正方形；
（2）求AD 的长．
【答案】（1）见解析；（2）AD ＝1；
【分析】（1）先根据△ABD ≌△ABE ，△ACD ≌△ACF ，得出∠EAF ＝90°；再根据对称的性质得到AE ＝AF ，
从而说明四边形AEGF 是正方形；
（2）利用勾股定理，建立关于x 的方程模型（x ﹣2）2+（x ﹣3）2＝52，求出AD ＝x ＝1．
【详解】（1）证明：由翻折的性质可得，△ABD ≌△ABE ，△ACD ≌△ACF ，
∴∠DAB ＝∠EAB ，∠DAC ＝∠FAC ，
∵∠BAC ＝45°，
∴∠EAF ＝90°，
∵AD ⊥BC ，
∴∠E ＝∠ADB ＝90°，∠F ＝∠ADC ＝90°，
∴四边形AEGF 为矩形，
∵AE ＝AD ，AF ＝AD ，
∴AE ＝AF ，
∴矩形AEGF 是正方形；
（2）解：根据对称的性质可得：BE ＝BD ＝2，CF ＝CD ＝3，
设AD ＝x ，则正方形AEGF 的边长是x ，
则BG ＝EG ﹣BE ＝x ﹣2，CG ＝FG ﹣CF ＝x ﹣3，
在Rt △BCG 中，根据勾股定理可得：（x ﹣2）2+（x ﹣3）2＝52，
解得：x ＝1或x=﹣1（舍去）．
∴AD ＝x ＝1；
【点睛】
本题考查了翻折对称的性质，全等三角形和勾股定理，以及正方形的判定，解本题的关键是熟练掌握翻折变换的性质：翻折前后图形的对应边或对应角相等；有四个角是直角的四边形是矩形，有一组邻边相等的矩形是正方形．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为()3,4A -，()4,2B -，()1,1C -．
（1）先将ABC ∆竖直向下平移5个单位长度，再水平向右平移1个单位长度得到111A B C ∆，请画出111A B C ∆；
（2）将111A B C ∆绕点1C 顺时针旋转90︒，得221A B C ∆，请画出221A B C ∆；
（3）求线段11B C 变换到21B C 的过程中扫过区域的面积．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）52π 【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到111A B C ∆； （2）依据旋转的方向和距离，即可得到221A B C ∆；
（3）依据扇形的面积计算公式，即可得到线段B 1C 1变换到B 2C 1的过程中扫过区域的面积．
【详解】（1）如图111A B C ∆为所求，
（2）如图221A B C ∆为所求，
（3）B 1C 1= 223110+=
∴线段B 1C 1变换到B 2C 1的过程中扫过区域的面积为：()2901053602
S ππ=
=． 【点睛】 本题考查了作图−旋转变换和平移变换及扇形面积求解，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
24．（1）如图①，点A ，B ，C 在O 上，点D 在O 外，比较A ∠与BDC ∠的大小，并说明理由；
（2）如图②，点A ，B ，C 在O 上，点D 在O 内，比较A ∠与BDC ∠的大小，并说明理由；
（3）利用上述两题解答获得的经验，解决如下问题：
在平面直角坐标系中，如图③，已知点()1,0M ，()4,0N ，点P 在y 轴上，试求当MPN ∠度数最大时点P 的坐标.
【答案】（1）B BAC DC >∠∠；理由详见解析；（2）BDC BAC ∠>∠；理由详见解析；（3）()10,2P ，
()30,2P -
【分析】（1）根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，构建圆周角，然后利用三角形外角性质比较即可；
（2）根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，构建圆周角，然后利用三角形外角性质比较即可；
（3）根据圆周角定理，结合（1）（2）的结论首先确定圆心的位置，然后即可得出点P 的坐标.
【详解】（1）CD 交O 于点E ，连接BE ，如图所示：
BDE ∆中BEC BDC ∠>∠
又BAC BEC ∠=∠
∴B BAC DC >∠∠
（2）延长CD 交O 于点F ，连接BF ，如图所示：
BDF ∆中BDC BFC ∠>∠
又BFC BAC ∠=∠
∴BDC BAC ∠>∠
（3）由（1）（2）结论可知，当OP=2.5时，∠MPN 最大，如图所示：
∴OM=2.5，MH=1.5 ∴()()2222 2.5 1.52OH OM MH =-=
-=
∴()10,2P ，()20,2P - 【点睛】
本题考查了圆周角定理、三角形的外角性质的综合应用，熟练掌握，即可解题. 25．已知2222212a b a A a ab b b a a ab ⎛⎫-=+÷ ⎪-+--⎝⎭
（1）化简A ；
（2）若点P （a ，b ）在反比例函数y ＝﹣
2x
的图象上，求A 的值． 【答案】（1）ab ；（1）A ＝﹣1
【分析】（1）先把分子、分母因式分解，再约分，然后同分母分式相加，分母不变，分子相加，最后把除法转化乘法，约分即可；
（1）把P 点代入解析式，求得ab ＝﹣1，即可求得A ＝﹣1．
【详解】解：（1）2()()1[
]()()a b a b a A a b b a a a b +-=+÷--- [
]()a b a a a b a b a b +=---- ()b a a b a b
=-- ＝ab ，
（1）∵点P （a ，b ）在反比例函数2y x =-
的图象上， ∴ab ＝﹣1，
∴A ＝﹣1．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，分式的运算，把分式化简是解题的关键．
26．解方程：
（1）x 2﹣2x ﹣1＝0；
（2）（2x ﹣1）2＝4（2x ﹣1）．
【答案】（1）x ＝2（2）x ＝52
或x ＝12． 【分析】（1）根据配方法即可求出答案．
（2）根据因式分解法即可求出答案．
【详解】解：（1）∵x 2﹣2x ﹣1＝0，
∴x 2﹣2x+1＝2，
∴（x ﹣2）2＝2，
∴x ＝
．
（2）∵（2x ﹣1）2＝4（2x ﹣1），
∴（2x ﹣1﹣4）（2x ﹣1）＝0，
∴x ＝52
或x ＝12. 【点睛】
此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知一元二次方程的解法.
27．如图，等边三角形ABC 放置在平面直角坐标系中，已知A （0，0），B （4，0），反比例函数的图象经过点C ．求点C 的坐标及反比例函数的解析式．
【答案】点C坐标为（2，23），y＝43 x
【分析】过C点作CD⊥x轴，垂足为D，设反比例函数的解析式为y＝k
x
，根据等边三角形的知识求出
AC和CD的长度，即可求出C点的坐标，把C点坐标代入反比例函数解析式求出k的值．【详解】解：过C点作CD⊥x轴，垂足为D，
设反比例函数的解析式为y＝k
x
，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝4，∠CAB＝60°，
∴AD＝3，CD＝sin60°×4＝
3
2
4＝3
∴点C坐标为（2，3，
∵反比例函数的图象经过点C，∴k＝3，
∴反比例函数的解析式：y 43
；
【点睛】
考查了待定系数法确定反比例函数的解析式的知识，解题的关键是根据题意求得点C的坐标，难度不大．
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论：①0abc >，②20a b +<，
③420a b c -+<，④20a b c ++>，其中正确结论的个数为（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向、对称轴、与y 轴的交点位置，可判断a 、b 、c 的符号，可判断①，利用对称轴可判断②，由当x=-2时的函数值可判断③，当x=1时的函数值可判断④，从而得出答案．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y 轴的交点在x 轴上方，∴a ＜0，c ＞0，
∵0＜-2b a
＜1，∴b ＞0，且b ＜-2a ，∴abc ＜0，2a+b ＜0，故①不正确，②正确； ∵当x=-2时，y ＜0，∴4a-2b+c ＜0，故③正确；
∵当x=1时，y ＞0，∴a+b+c ＞0，又c ＞0，∴a+b+2c ＞0，故④正确；
综上可知正确的有②③④，
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
2．已知蓄电池的电压U 为定值，使用蓄电池时，电流I （单位：A ）与电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若此蓄电池为某用电器的电源，限制电流不能超过12A ，那么用电器的可变电阻R 应控制在什么范围？（ ）
A ．R≥3Ω
B ．R≤3Ω
C ．R≥12Ω
D ．R≥24Ω
【答案】A 【分析】直接利用图象上点的坐标得出函数解析式，进而利用限制电流不能超过12A ，得出电器的可变电阻R 应控制范围．
【详解】解：设I ＝U R ，把（9，4）代入得：U ＝36，故I ＝36R
， ∵限制电流不能超过12A ，
∴用电器的可变电阻R≥3，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了反比例的实际应用，数形结合，利用图像解不等式是解题的关键
3．袋中装有除颜色外其他完全相同的4个小球，其中3个红色，一个白色，从袋中任意地摸出两个球，这两个球颜色相同的概率是( )
A ．1
2 B ．1
3 C ．2
3 D ．1
6
【答案】A
【分析】用树形图法确定所有情况和所需情况，然后用概率公式解答即可．
【详解】解：画树状图如下：
则总共有12种情况，其中有6种情况是两个球颜色相同的，
故其概率为6
1
122=．
故答案为A ．
【点睛】
本题考查画树形图和概率公式，其中根据题意画出树形图是解答本题的关键．
4．将抛物线22y x =向左平移2个单位后所得到的抛物线为（ ）
A ．222y x =-
B ．222y x =+
C ．22(2)y x =-
D ．22(2)y x =+
【答案】D
【分析】根据抛物线的平移规律“上加下减，左加右减”求解即可.
【详解】解：将抛物线22y x =向左平移2个单位后所得到的抛物线为：22(2)y x =+.
故选D.
【点睛】
本题考查了抛物线的平移，属于基础知识，熟知抛物线的平移规律是解题的关键.
5．如图，一个斜坡长130m ，坡顶离水平地面的距离为50m ，那么这个斜坡的坡度为（
）
A ．512
B ．1213
C ．513
D ．1312
【答案】A
【解析】试题解析：∵一个斜坡长130m ，坡顶离水平地面的距离为50m ，
∴这个斜坡的水平距离为：2213050-=10m ，
∴这个斜坡的坡度为：50：10=5：1．
故选A ．
点睛：本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是明确坡度的定义．坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i 表示，常写成i=1：m 的形式．
6．如图，O 是矩形ABCD 对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，若BC ＝8，OB ＝5，则OM 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【分析】由O 是矩形ABCD 对角线AC 的中点，可求得AC 的长，然后运用勾股定理求得AB 、CD 的长，又由M 是AD 的中点，可得OM 是△ACD 的中位线，即可解答．
【详解】解：∵O 是矩形ABCD 对角线AC 的中点，OB ＝5，
∴AC ＝2OB ＝10，
∴CD ＝AB 22AC BC -22108-6，
∵M 是AD 的中点，
∴OM ＝12
CD ＝1． 故答案为C ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
7．函数y=-x 2-3的图象顶点是（ ）
A ．()03，
B ．3924⎛⎫- ⎪⎝⎭，
C ．()03-，
D ．()1
3--， 【答案】C 【解析】函数y=-x 2-3的图象顶点坐标是（0，-3）.
故选C.
8．将抛物线265y x x =-+向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A ．2(4)6y x =--
B ．2(1)3y x =--
C ．2(2)2y x =--
D ．2(4)2y x =--
【答案】D
【分析】由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】解：()226534y x x x =-+=--，即抛物线的顶点坐标为()3,4-， 把点()3,4-向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为()4,2-，
所以平移后得到的抛物线解析式为()2
42y x =--．
故选D ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
9．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p （kPa ）是气体体积V （3m ）的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120kPa 时，气球将会爆炸，为了安全起见，气球的体积应（ ）
A ．不小于
35m 4 B ．大于35m 4 C ．不小于35m 4 D ．小于35m 4
【答案】C 【解析】由题意设设(0)k p V V =>，把（1.6，60）代入得到k=96，推出96(0)p V V
=>，当P=120时，
45
V ，由此即可判断． 【详解】因为气球内气体的气压p （kPa ）是气体体积V （3m ）的反比例函数，所以可设(0)k p V V =
>，由题图可知，当 1.6V =时，60p =，所以 1.66096k =⨯=，所以96(0)p V V =
>.为了安全起见，气球内的气压应不大于120kPa ，即96120V ，所以45
V . 故选C.
【点睛】
此题考查反比例函数的应用，解题关键在于把已知点代入解析式.
10．下列运算正确的是（ ）
A ．x 6÷x 3＝x 2
B ．（x 3）2＝x 5
C 2=±
D 2=- 【答案】D 【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，算术平方根的定义以及立方根的定义逐一判断即可．
【详解】解：A ．x 6÷x 3＝x 3，故本选项不合题意；
B ．（x 3）2＝x 6，故本选项不合题意；
2=，故本选项不合题意；
2=-，正确，故本选项符合题意．
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了算术平方根、立方根、同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记修改运算法则是解答本题的关键．
11．有一组数据5，3，5，6，7，这组数据的众数为（ ）
A ．3
B ．6
C ．5
D ．7
【答案】C
【分析】根据众数的概念求解．
【详解】这组数据中1出现的次数最多，出现了2次，
则众数为1．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
12．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，现给出下列结论：①0abc >；
②930a b c ++=；③248b ac a -<；④50a b c ++>．其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【分析】根据图象可直接判断a 、c 的符号，再结合对称轴的位置可判断b 的符号，进而可判断①； 抛物线的图象过点（3，0），代入抛物线的解析式可判断②；
根据抛物线顶点的位置可知：顶点的纵坐标小于－2，整理后可判断③；
根据图象可知顶点的横坐标大于1，整理后再结合③的结论即可判断④.
【详解】解：①由图象可知：0a >，0c <，由于对称轴02b a
->，∴0b <，∴0abc >，故①正确； ②∵抛物线过(3,0)，∴3x =时，930y a b c =++=，故②正确； ③顶点坐标为：24,24b ac b a
a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.由图象可知：2424ac
b a -<-，∵0a >，∴248a
c b a -<-，即248b ac a ->，故③错误； ④由图象可知：12b a
->，0a >，∴20a b +<， ∵930a b c ++=，∴93c a b =--，
∴5593422(2)0a b c a b a b a b a b ++=+--=--=-+>，故④正确；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了抛物线的图象与性质和抛物线的图象与其系数的关系，熟练掌握抛物线的图象与性质、灵活运用数形结合的思想方法是解题的关键.
二、填空题（本题包括8个小题）
13．方程(x-3)2=4的解是
【答案】1或1
【解析】方程的左边是一个完全平方的形式，右边是4，两边直接开平方有x-3=±2，然后求出方程的两个根．
解：（x-3）2=4
x-3=±2
x=3±2，
∴x 1=1，x 2=1．
故答案是：x 1=1，x 2=1．
本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程，方程的左边的一个完全平方的形式，右边是一个非负数，两边直接开平方，得到两个一元一次方程，求出方程的根．
14．如图，在ABC ∆中，点,D E 分别是边,AB AC 上的点，//,1,2DE BC AD BD AE ===， 则EC 的长为________.
【答案】1
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【详解】∵//BC DE ，12AD BD AE ===，，
∴~ADE ABC ∆∆，123AB AD DB =+=+=， 则AD AE AB AC =，123AC
=， ∴6AC =，
∵2AE =，
∴624EC AC AE =-=-=．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （3，3）和点B （7，0），则tan ∠ABO ＝_____．
【答案】34
． 【分析】过A 作AC ⊥OB 于点C ，由点的坐标求得OC 、AC 、OB ，进而求BC ，在Rt △ABC 中，由三角函数定义便可求得结果．
【详解】解：过A 作AC ⊥OB 于点C ，如图，
∵A（3，3），点B（7，0），∴AC＝OC＝3，OB＝7，
∴BC＝OB﹣OC＝4，
∴tan∠ABO＝
3
4 AC
BC
，
故答案为：3
4
．
【点睛】
本题主要考查了解直角三角形的应用，平面直角坐标系，关键是构造直角三角形．
16．如图，直线y=1
2
x﹣2与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C在直线AB上，且点C的纵坐标为﹣1，
点D在反比例函数y=k
x
的图象上，CD平行于y轴，S△OCD=
5
2
，则k的值为________．
【答案】1
【详解】试题分析：把x=2代入y=1
2
x﹣2求出C的纵坐标，得出OM=2，CM=1，根据CD∥y轴得出D
的横坐标是2，根据三角形的面积求出CD的值，求出MD，得出D的纵坐标，把D的坐标代入反比例函数的解析式求出k即可．
解：∵点C在直线AB上，即在直线y=1
2
x﹣2上，C的横坐标是2，
∴代入得：y=1
2
×2﹣2=﹣1，即C（2，﹣1），∴OM=2，
∵CD ∥y 轴，S △OCD =
52， ∴12CD×OM=52
， ∴CD=
52
， ∴MD=52﹣1=32， 即D 的坐标是（2，
32）， ∵D 在双曲线y=k x
上， ∴代入得：k=2×32
=1． 故答案为1．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数、反比例函数的图象上点的坐标特征、三角形的面积等知识点，通过做此题培养了学生的计算能力和理解能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
17．中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人均收入平均增长率为_____．(用百分数表示)
【答案】40%
【解析】设该地区居民年人均收入平均增长率为x ，根据到2018年人均年收入达到39200元列方程求解即可.
【详解】设该地区居民年人均收入平均增长率为x ，
()220000139200x +=，
解得，10.4x =，2 2.4x =-(舍去)，
∴该地区居民年人均收入平均增长率为40%，
故答案为：40%．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用---增长率问题；本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a(1+x)n =b ，其中n 为共增长了几年，a 为第一年的原始数据，b 是增长后的数据，x 是增长率．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知D 经过原点，与轴、轴分别交于、两点，点坐标为(0,，OC 与D 交于点，则圆中阴影部分的面积为________.。