2019-2020学年安徽省安庆市数学高二(下)期末经典试题含解析

2019-2020学年安徽省安庆市数学高二(下)期末经典试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．设，则“”是“直线和直线平行”的
A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件D．既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】
先由两直线平行解得的值，再通过检验是否重合可得，从而得两命题的关系.
【详解】
若直线和直线平行，
可得：，解得或-2.
当时，两直线分别为：3和，满足平行；
当时，两直线分别为：和，两直线重合；
所以“”是“直线和直线平行”的充要条件.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了两直线平行求参数值的问题。

已知两直线的一般方程判定两直线平行的一般方法为：已知，，则，需检验两直线是否重合，属于易错题型.
2．（2018年天津卷文）设变量x，y满足约束条件
5,
24,
1,
0,
x y
x y
x y
y
+≤
⎧
⎪-≤
⎪
⎨
-+≤
⎪
⎪≥
⎩
则目标函数35
z x y
=+的最大值为
A．6 B．19 C．21 D．45
【答案】C
【解析】
分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.
详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大
值，联立直线方程：
5
1
x y
x y
+=
⎧
⎨
-+=
⎩
，可得点A的坐标为：()
2,3
A，据此可知目标函数的最大值为：
max 35325321z x y =+=⨯+⨯=.本题选择C 选项.
点睛：求线性目标函数z ＝ax ＋by(ab≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大. 3．下列四个结论：
①在回归分析模型中，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越好；
②某学校有男教师60名、女教师40名，为了解教师的体育爱好情况，在全体教师中抽取20名调查，则宜采用的抽样方法是分层抽样；
③线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越弱；反之，线性相关性越强；
④在回归方程$0.52y x =+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量$y 增加0.5个单位. 其中正确的结论是（ ） A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．②④
【答案】D 【解析】 【分析】
根据残差的意义可判断①；根据分成抽样特征，判断②；根据相关系数r 的意义即可判断③；由回归方程的系数，可判断④． 【详解】
根据残差的意义，可知当残差的平方和越小，模拟效果越好，所以①错误； 当个体差异明显时，选用分层抽样法抽样，所以②正确；
根据线性相关系数特征，当相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强，所以③错误；
根据回归方程的系数为0.5，所以当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量$y 增加0.5个单位. 综上，②④正确，故选D. 【点睛】
本题考查了统计的概念和基本应用，抽样方法、回归方程和相关系数的概念和性质，属于基础题． 4．已知32,43,23a b c ===，则,,a b c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．b c a <<
C ．b a c <<
D ．c a b <<
【答案】A 【解析】
分析：由32a =，43b =，23c =，可得34log 2,log 3a b ==，2log 3c =，则01,01,1a b c <<<，利用做差法结合基本不等式可得结果.
详解：34log 2,log 3a b ==，2log 3c =，则01,01,1a b c <<<
2
22
lg 2lg 4lg 3lg 2lg3lg 2lg 4lg 320
lg3lg 4lg3lg 4lg3lg 4a b +⎛⎫
- ⎪⋅-⎝⎭-=-=≤=<⋅⋅， 即a b < ， 综上a b c <<，故选A.
点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用. 5．利用数学归纳法证明不等式*n 111
1...(n)(n 2,)2321
f n N ++++<≥∈-的过程，由n k =到+1n k =时，左边增加了（ ） A ．1项 B ．k 项
C ．12k -项
D ．2k 项
【答案】D 【解析】 【分析】
分别计算n k =和+1n k =时不等式左边的项数，相减得到答案. 【详解】
n k =时，不等式左边：1
11
1 (2)
321
k
++++
-共有21k - +1n k =时，
：111111
1 (2321221)
k k k ++++++++--共有121k +- 增加了1
(2
1)(21)2k k k +---=
故答案选D
【点睛】
本题考查了数学归纳法的项数问题，属于基础题型.
6．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足
()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=
A ．()f x
B ．()f x -
C ．()g x
D ．()g x -
【答案】D 【解析】
由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以
()()g x g x -=-，应选答案D ．
7．以双曲线2
2
13
y x -= ）
A ．2
y x =± B ．2y x =±
C ．12
y x =±
D ．y =
【答案】D 【解析】 【分析】
由题求已知双曲线的焦点坐标，进而求出,a b 值即可得答案。

【详解】
由题可知双曲线2
2
13
y x -=的焦点坐标为()2.0±，则所求双曲线的顶点坐标为()2.0±，即2a =，又因
，所以2
c c
e a ===c =，所以2221248b c a =-=-=，即b =
以渐近线方程是b
y x a
=±= 故选D 【点睛】
本题考查求双曲线的渐近线方程，解题的关键是判断出焦点位置后求得,a b ，属于简单题。

8．执行如图的程序框图，若输出的4n =，则输入的整数p 的最小值是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．15
【答案】A 【解析】 【分析】
列举出算法的每一步循环，根据算法输出结果计算出实数p 的取值范围，于此可得出整数p 的最小值. 【详解】
0S p =<满足条件，执行第一次循环，0021S =+=，112n =+=； 1S p =<满足条件，执行第二次循环，1123S =+=，213n =+=； 3S p =<满足条件，执行第二次循环，2327S =+=，314n =+=. 7S p =<满足条件，调出循环体，输出n 的值为4.
由上可知，37p <≤，因此，输入的整数p 的最小值是4，故选A. 【点睛】
本题考查算法框图的应用，解这类问题，通常列出每一次循环，找出其规律，进而对问题进行解答，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
9．已知直线2
:l y x =与双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>分别交于点,A B ，若,A B 两点在x 轴上
的射影恰好是双曲线E 的两个焦点，则双曲线E 的离心率为（ ） A 2B 3C ．4
D 5
【答案】A 【解析】 【分析】
由直线:2
l y x =与双曲线2222:1x y E a b -=联立，可知x=c ±为其根，整理可得.
【详解】
解：由22
2
21x y a b y x
⎧-=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
⇒22
2212x x a b -=． A Q ，B 两点在x 轴上的射影恰好是双曲线E 的两个焦点，∴22
2212c c
a b
-=．
⇒2
2
2
12(1)
e e e e -=⇒=-． 故选：A ． 【点睛】
本题考查双曲线的离心率，双曲线的有关性质和双曲线定义的应用，属于中档题． 10．α是第四象限角， 12
cos 13
α=
，则sin α等于 ( ) A ．513 B ．513-
C ．512
D ．512
-
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
∵α是第四象限角，∴sinα<0.
∵221213
1
cos sin cos ααα⎧
⎪⎨⎪+=⎩＝， ∴sinα＝513
-， 故选B.
11．已知23
log 4
a =，342
b =，343
c =，则( ) A ．a b c << B ．a c b <<
C ．b a c <<
D ．c a b <<
【答案】A 【解析】 【分析】
由指数函数及对数函数的性质比较大小,即可得出结论.
【详解】
33
044
22
3
log log10,
,1223
4
a b c
<==<<
∴<<
Q
故选:A.
【点睛】
本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意指数函数和对数函数的性质的合理运用. 12．荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一片荷叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示.假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是（）
A．
2
3
B．
1
4
C．
1
3
D．
3
4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件先求出逆时针和顺时针跳的概率，然后根据跳3次回到A，则应满足3次逆时针或者3次顺时针，根据概率公式即可得到结论．
【详解】
设按照顺时针跳的概率为p，则逆时针方向跳的概率为2p，则p+2p=3p=1，
解得p=
1
3
，即按照顺时针跳的概率为
1
3
，则逆时针方向跳的概率为
2
3
，
若青蛙在A叶上，则跳3次之后停在A叶上，
则满足3次逆时针或者3次顺时针，
①若先按逆时针开始从A→B，则对应的概率为
2
3
×
2
3
×
2
3
=
8
27
，
②若先按顺时针开始从A→C，则对应的概率为
1
3
×
1
3
×
1
3
=
1
27
，
则概率为
8
27
+
1
27
=
9
27
=
1
3
，
故选：C.
【点睛】
本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当x (]0,12∈时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点()10,80A ，过点()12,78B ；当x []12,40∈时，图象是线段BC ，其中
()40,50C ．根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳．要使得学生学习效果最佳，则教
师安排核心内容的时间段为____________.（写成区间形式）
【答案】(4,28) 【解析】 【分析】
利用待定系数法求出分段函数的解析式，再由y 值大于62求解即可得解. 【详解】
当x ∈（0，12]时，设f （x ）＝a （x ﹣10）2+80， 过点（12，78）代入得，a 12
=- 则f （x ）1
2
=-
（x ﹣10）2+80， 当x ∈(12，40]时，
设y ＝kx+b ，过点B （12，78）、C （40，50）
得 190k b =-⎧⎨=⎩
，即y ＝﹣x+90，
由题意得，2
0121(10)80622
x x ≤⎧
⎪
⎨--+⎪⎩＜＞或12409062x x ≤⎧⎨-+⎩＜＞ 得4＜x ≤12或12＜x ＜28， 所以4＜x ＜28，
则老师就在x ∈（4，28）时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳， 故答案为（4，28）． 【点睛】
本题主要考查了待定系数法求函数解析式及分段函数解不等式，属于基础题.
14．已知数列{}n a 的前n 项和21n
n S =-，则26a a ⋅=__________．
【答案】64 【解析】
分析：由题意，根据数列的n a 和n S 的关系，求得1
2n n a -=，即可求解26a a ⋅的值.
详解：由题意，数列{}n a 的前n 项和为21n
n S =-，
当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，所以15
262264a a ⋅=⋅=
点睛：本题主要考查了数列中n a 和n S 的关系，其中利用数列的n a 和n S 的关系求解数列的通项公式n a 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
15．已知复数z ＝(m ＋1)＋(m ﹣2)i 是纯虚数（i 为虚数单位），则实数m 的值为_______． 【答案】-1. 【解析】
分析：由复数的实部等于0且虚部不等于0列式求解m 的值. 详解：由复数()()12z m m i =++-是纯虚数，
得
1010
m m +=-≠，解得1m =-.
故答案为-1.
点睛：本题考查了复数的基本概念，考查了复数是纯虚数的条件.
16．已知抛物线的方程为22(0)y px p =>， O 为坐标原点， A ， B 为抛物线上的点，若OAB V 为等边三角形，且面积为483p 的值为__________． 【答案】2 【解析】
设11(,)B x y ，22(,)A x y ， ∵||||OA OB =，
∴2222
1122x y x y +=+．
又2
112y px =，2
222y px =，
∴22
21212()0x x p x x -+-=，即2112()(2)0x x x x p -++=．
又1x 、2x 与p 同号，
∴1220x x p +=≠． ∴210x x -=，即12x x =．
根据抛物线对称性可知点B ，A 关于x 轴对称， 由OAB V 为等边三角形，不妨设直线OB
的方程为3
y x =
，
由22y x y px ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
，解得(6,)B p ，
∴OB ==． ∵OAB V
的面积为
2)= 解得2
4p =，∴2p =．
答案：2
点睛：本题考查抛物线性质的运用，解题的关键是根据条件先判断得到点A,B 关于x 轴对称，然后在此基础上得到直线直线OB （或OA ）的方程，通过解方程组得到点B （或A ）的坐标，求得等边三角形OAB V 的边长后，根据面积可得2p =．
三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()()1ln a
f x x a x x
=+
+-（0a <）. （1）若2a =-，求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程. （2）当1a ≤-时，求函数()f x 的单调区间. （3）设函数()a
g x x
=
若对于任意[]1,x e ∈，都有()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1y =-；（2）当1a <-时，()f x 增区间为()0,1，(),a -+∞，减区间为()1,a -；当1a =-时，()f x 的增区间为()0,∞+无减区间；（3）10e a -<<. 【解析】 【分析】
（1）先由题意，得到()2
3ln f x x x x
=-
-，对其求导，得到对应的切线斜率，进而可得出所求切线方程； （2）先对函数求导，得到()()()2
1x x a f x x -+'=
，分别讨论1a ->，和1a -=，解对应的不等式，即可
得出结果；
（3）先根据题意，得到()1ln 0x a x -->在[]1,x e ∈上恒成立，1x =满足不等式()1ln 0x a x -->，只需1ln x a x ->-在(]1,x e ∈上恒成立，令()ln x F x x -=，(]1,x e ∈，对其求导，求出()ln x F x x -=的最大值，即可得出结果.
【详解】
（1）若2a =-，则()23ln f x x x x
=--（0x >），()11f =-， 又()2231f x x x
'=+-（0x >），所以()10f '=， ()y f x ∴=在()1,1-处切线方程为1y =-.
（2）()()()()22221111x a x a x x a a a f x x x x x
+---+-'=-+==Q 令()0f x '=，即()2
10x a x a +--=，解出1x =或x a =-. 当1a ->（即1a <-时），
由()0f x '>得01x <<或x a >-，
由()0f x '<得0x a <<-，
()f x ∴增区间为()0,1，(),a -+∞，减区间为()1,a -.
当1a -=，即1a =-时，
()()2
2221210x x x f x x x --+'==≥，在()0,∞+上恒成立， ()f x ∴的增区间为()0,∞+，无减区间..
综上，1a <-时，()f x 增区间为()0,1，(),a -+∞，减区间为()1,a -，
1a =-时，()f x 增区间为()0,∞+，无减区间.
（3）[]1,x e ∈Q ，有()()f x g x >恒成立，
则()1ln 0x a x +->在[]1,x e ∈上恒成立，
当1x =时，()11ln110a +-=>，即1x =满足不等式()1ln 0x a x +->； 即1ln x a x
-->在(]1,x e ∈上恒成立，
令()ln x F x x
-=，(]1,x e ∈， 由题意，只需当(]1,x e ∈时，()max 1a F x ->即可，
因为()()21ln ln x
F x x -'=，
Q 当(]1,x e ∈时，()0f x '≥显然恒成立，所以()F x 在(]1,e 上单调递增，
()()max F x F e e ∴==-.1a e ∴>-，10e a ∴-<<.
综上所述，实数a 的取值范围是()1,0e -.
【点睛】
本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，求函数的单调区间，以及导数的方法研究不等式恒成立的问题，熟记导数的几何意义，以及导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.
18．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且11a =，1(2)(1)n n na n S n n +=+++，*n N ∈. （Ⅰ）证明：数列1n S n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
为等比数列； （Ⅱ）求12n n T S S S =+++L .
【答案】 (1)见解析(2) 1(1)(1)2
22n n n n T n ++=-⋅+- 【解析】
【分析】
可通过11n n n a S S ++=-和()()121n n na n S n n +=+++来构造数列1n S n ⎧⎫+⎨
⎬⎩⎭，得出1n S n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，在带入1n =得出首项的值，以此得出数列解析式。

可以先把n T 分成两部分依次求和。

【详解】
（1）因为11n n n a S S ++=-，
所以()()()1n 21n n n S S n S n n +-=+++，
即()()1211n n nS n S n n +=+++，则1211n n S S n n
+=⨯++， 所以11211n n S S n n +⎛⎫+=⨯+ ⎪+⎝⎭，又1121S +=， 故数列1n S n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）知1111221n n n S S n -⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭
n ， 所以2n n S n n =-n ，
故()()212222123n n T n n =⨯+⨯++-++++L n L ．
设2M 12222n n L n =⨯+⨯++，
则2312M 12222n n L n +=⨯+⨯++，
所以2111M 2222222n n n n n n +++-=+++-=--L n n ，
所以()1M 122n n +=-+n ，
所以()()
111222n n n n T n n ++=-+-。

【点睛】
本题考查构造数列以及数列的错位相减法求和。

19．已知函数32()([1,2])f x x ax bx c x =+++∈-，且函数()f x 在1x =和23x =-
处都取得极值． （1）求a ，b 的值；
（2）求函数()f x 的单调递增区间．
【答案】 (1)12a =-
,2b =-；(2)[]21,,1,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【解析】
【分析】
(1)易得1x =和23
x =-为导函数的两个零点,代入计算即可求得,a b . (2)求导分析'()0f x ≥的解集即可.
【详解】
(1)∵32()([1,2])f x x ax bx c x =+++∈-.
∴2'()32,[1,2]f x x ax b x =++∈-,
∵函数()f x 在1x =和23x =-
处都取得极值, 故1x =和23
x =-为2320x ax b ++=的两根. 故22113322123
3a a b b ⎧-=-⎧⎪=-⎪⎪⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪=⋅-=-⎩ ⎪⎪⎝⎭⎩.
即12a =-,2b =- (2)由(1)得321()2([1,2])2f x x x x c x =-
-+∈- 故2'()32,([1,2])f x x x x =--∈-
当'()0f x >,即2320,([1,2])x x x -->∈-时,
即()()3210,([1,2])x x x +->∈-,解得213x -≤≤-
或12x ≤≤. ∴函数()f x 的单调递增区间为[]21,,1,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题主要考查了根据极值点求解参数的问题以及求导分析函数单调增区间的问题.需要根据题意求导,根据极值点为导函数的零点以及导函数大于等于0则原函数单调递增求解集即可.属于中档题.
20．如图，在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos cos cos a A b C c B =+.
(1)求角A 的大小；
(2)若点D 在边AC 上，且BD 是ABC ∠的平分线，2,4AB BC ==，求AD 的长.
【答案】 (1)3A π=
；(2)113AD +=. 【解析】 试题分析：（1）利用正弦定理将边化角，根据三角恒等变换即可得出1cos 2A =
，从而得出A 的大小；（2）利用余弦定理求出AC ，根据BD 是ABC ∠的平分线，可得
AD AB DC BC =，故而可求得结果. 试题解析：(1)在ABC ∆中，∵2cos cos cos a A b C c B =+,
∴由正弦定理得()2sin cos sin cos sin cos sin sin A B C C B B C A =+=+=，
∵sin 0A ≠，∴1cos 2A =，∵()0A π∈，，∴3
A π=. (2)在ABC ∆中，由余弦定理得
2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅，
即21642AC AC =+-,解得113AC =+,或113AC =
∵BD 是ABC ∠的平分线，2,4AB BC ==，
∴12AD AB DC BC ==,∴1133
AD AC +==. 21．设a 为实数，函数()()2x f x e x a =--，x ∈R
（Ⅰ）若1a =-求()f x 的极小值.
（Ⅱ）求证：当ln 21a >-且0x >时，221x e x ax >-+.
【答案】（Ⅰ）2ln2-；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）将1a =-代入()()2x
f x e x a =--，求导，得出极小值点，代入即可求出答案。

（Ⅱ）令()2
21x g x e x ax =-+-，则()00g =，即只需说明当ln 21a >-，()g x 在(0,)+∞内单调递增即可。

【详解】
解：（I ）由()22x f x e x a =-+，x ∈R ，知()2x
f x e '=-，x ∈R ， 令()0f x '=，得ln 2x =，
则当ln 2x >时，()0f x '> ，当ln 2x <时，()0f x '<，
故()f x 在ln 2x =处取得极小值.极小值为()ln 22ln 2f =-.
（II ）证明：设()221x g x e x ax =-+-，x ∈R ，于是()22x
g x e x a '=-+，x ∈R ， 由（I ）知，对于x ∈R ，都有()0g x '>，故()g x 在R 内单调递增.
于是，当ln 21a >-时， 对任意的()0,x ∈+∞，
都有()()0g x g >，而()00g =，从而对()0,x ∈+∞，都有()0g x >，即2210x e x ax -+-> 故221x e x ax >-+
【点睛】
本题考查利用函数单调性证明不等式，属于中档题。

22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为12x t y t =--⎧⎨=+⎩
（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2221sin ρθ
=
+，直线l 与曲线C 交于,A B 两点.
(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
(2)已知点P 的极坐标为2,24π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，PA PB ⋅的值. 【答案】 (1) 10x y +-=，2212
x y +=. (2) 56
. 【解析】 分析：(1)先根据加减消元法得直线l 的普通方程，再根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将曲线C 的
极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先求P 直角坐标，再设直线l 的参数方程标准式，代入曲线C 的直角坐标方程，根据参数几何意义以及利用韦达定理得结果.
详解：(1) 的普通方程为:
； 又,
即曲线的直角坐标方程为:
(2)解法一: 在直线上,直线的参数方程为(为参数),代入曲线的直角坐标方程得
，即,
. 解法二:
， ，
，
．
点睛：直线的参数方程的标准形式的应用 过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩
.(t 是参数，t 可正、可负、可为0) 若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则
(1)M 1，M 2两点的坐标分别是(x 0＋t 1cos α，y 0＋t 1sin α)，(x 0＋t 2cos α，y 0＋t 2sin α).
(2)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.
(3)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝
122
t t +，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t|＝122t t +. (4)若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0.。