基于DEA系统潜力损失的决策单元全排序方法

基于DEA系统潜力损失的决策单元全排序方法
王军;刘晶;孙利辉
【摘要】DEA模型作为一种非参数评价方法,在很多领域得到广泛应用.传统的DEA方法经常会遇到多个决策单元同为DEA有效而无法区分相对优劣的情况.为了对决策单元进行全排序,本文从系统和相对效率的角度定义了相对潜力和潜力损失的概念,揭示潜力损失和强弱有效性之间的内在关联,并提出一个基于DEA系统潜力损失的决策单元全排序方法,来判定所有决策单元的优劣,最后用一个实例来说明本方法的计算步骤.
【期刊名称】《河南科技大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2010(031)002
【总页数】5页(P100-104)
【关键词】数据包络分析;决策单元;绩效评价;全排序
【作者】王军;刘晶;孙利辉
【作者单位】青岛大学,管理科学与工程系,山东,青岛,266071;青岛大学,管理科学与工程系,山东,青岛,266071;青岛大学,管理科学与工程系,山东,青岛,266071
【正文语种】中文
【中图分类】N945.16;C94
0 前言
数据包络分析(DEA)是一种基于线性规划的非参数绩效评价方法。

该方法是在生产
函数未知的情况下,依据决策单元(DMU)的投入和产出,在Pareto最优的意义上将决策单元分为有效和非有效两组,并对其进行绩效评价。

DEA模型适合处理DMU 的投入和产出不具有统一尺度的复杂系统,在军事、教育、物流、金融、科研、能源、农业等领域得到广泛应用[1-5]。

1978年,Charnes等最早提出了DEA的线性规划CCR模型[6],通过计算决策单元的相对效率来评价决策单元的绩效。

此后,Banker等提出了BCC模型来考虑可变的规模收益[7];Charnes等先后提出用对数结构转换数据的乘积模型[8]、松弛变量调整模型[9]以及目标函数中只包含松弛变量的附加模型[10]。

DEA模型理论研究的其它进展以及各模型特点比较参见文献[11-12]。

DEA模型和AHP方法均是按照多个指标和价值准则进行判别,最近的很多研究成果是将二者结合起来进行绩效评价。

一种是在城市管理绩效评价中利用 AHP方法计算出目标价值权重,然后通过DEA模型从有关数据中提取出绩效比,通过与权重乘积求和在不同因素下评定决策单元排序,这样就能充分考虑到不同因素下决策单元孰优孰劣[2]。

另一种是物流系统综合评价方面,利用 DEA模型更加客观地构造判断矩阵,然后用 AHP方法进行评价[13]。

近年来,DEA模型中的全排序问题成为研究热点之一。

当系统中决策单元投入和产出的数目相对于决策单元本身数目比较大时,会出现很大比例的决策单元均为 DEA 有效,从而无法区分它们的有效性。

另外,在社会科学的研究中,对决策单元进行全排序是最基本的要求。

全排序方法是通过改进标准DEA模型来区分有效单元的相对优劣,从而得到所有 DMU的全排序,如交叉效率排序法[14]、超效率排序法[15]和基准点排序法[9]等。

首先定义系统相对效率、相对潜力和潜力损失,揭示潜力损失和有效性之间的内在联系;然后根据有效单元导致的潜力损失来修正有效单元的相对效率值,从而获得DMU的一个全排序;最后用实例对这个新的DEA全排序方法进行验证。

1 DEA模型及其局限性
DEA模型是利用相对效率对同类型的多个决策单元进行绩效评价。

由于决策单元
的相对效率相互影响、相互制约,在绩效评价过程中,可以把这多个同类型的决策单
元作为一个系统来研究,称之为DEA系统。

假设在DEA系统中有n个DMU,DMU 集合S={1,2,…,n},每个DMU有m个投入和s个产出,投入矩阵X和产出矩阵Y如下:
其中:xij为第j个决策单元的第i个投入;yrj为第j个决策单元的第r个产出,用来表示一个DEA系统。

CCR模型利用下面的线性规划求解决策单元j的相对效率θj,
文献中还经常利用BCC模型的对偶问题计算决策单元k的相对效率如下:
为了评价决策单元j,求解线性规划问题(1)或者(2),得到这个决策单元的相对效率θj。

若θj=1,决策单元j是DEA有效,所有DEA有效的决策单元形成生产前沿面;若θj
＜1,则决策单元j非DEA无效,所有非DEA有效的决策单元均在生产前沿面的包络之下。

利用以上DEA模型对DMU进行绩效评价时,可以根据相对效率值对非有效单元进行排序。

然而对于有效单元,由于它们的相对效率值均为 1,无法进行比较,从而无法对 DMU进行全排序。

当决策单元的投入产出种类较多时,会导致大量决策单元位
于生产前沿面上。

具体表现为以下三种情况:(1) DMU的某几项投入相对较
低;(2)DMU的某几项产出相对较高;(3)前两种情况同时存在。

此时无法区别这些有效单元的重要性。

综上所述,科学合理地进行有效决策单元的重要性排序,成为一个
具有理论意义和现实意义的问题。

2 DEA系统的相对效率、相对潜力和潜力损失
根据相对效率值,可以把DEA系统中的DMU划分到有效单元集合E和非有效单元集合中,即S=E∪当 0＜θj＜1时,决策单元 j为非有效单元,可以通过提高产出或减少投入的方法来提高相对效率,使它成为有效单元(θj=1)。

首先定义决策单元j与有效单元在相对效率上的差值为决策单元的相对潜力pj,pj=1-θj。

在DEA系统中,一个DMU的相对效率越小,距离生产前沿越“远”,可提升空间越大,这个 DMU的相对潜力就越大。

很显然,有效单元的相对效率为 1,相对潜力为 0,处于生产前沿上,是Prato最优,不存在提升空间。

根据决策单元的相对效率和相对潜力,定义系统相对效率和系统相对潜力。

定义1 系统相对效率θ是DEA系统中全部决策单元相对效率的平均值,记为:
显然,0＜θ≤1。

定义2 系统相对潜力p是DEA系统中全部决策单元相对潜力的平均值,记为:
显然,0≤p＜1。

由于有效单元的相对潜力为 0,p又可以表示如下:
式(3)表明系统相对潜力是DEA系统中全部非有效单元相对潜力的和与DMU数量的比值。

随着非有效单元的相对效率的减小,非有效单元的相对潜力增大,导致系统相对潜力增大,并且趋向于 1。

p=0意味着系统没有相对潜力,这时系统中不存在非有效决策单元,全部DMU为DEA有效。

为了对有效单元进行全排序,考虑有效单元对整个 DEA系统相对潜力的影响程度。

假设在系统中除去有效单元 k,这时生产前沿面可能会发生变化,重新计算全部非有效单元的相对效率和它们的相对潜力代入式(3)重新计算系统相对潜力pk如下:
定义 3 有效单元导致的系统潜力损失是除去该有效单元前后系统相对潜力的差值,
记为:
根据系统潜力损失值的大小对有效单元进行排序,它的取值范围由下面的定理给出。

定理1 有效单元k导致的系统潜力损失满足0≤Lk＜1。

证明除去DEA系统中一个有效单元k后,不管生产前沿面是否发生变化,θ≥θj总是成立,得到-θj≥0。

又因为 0＜θj,≤1,所以0≤ θ-θj＜n,进而得到结果0≤Lk＜1。

把某个有效单元从DEA系统中除去,如果生产前沿面随之发生了改变,这个有效单元具有强有效性;否则,具有弱有效性。

有效性强弱与系统潜力损失的内在关系由如下
两个定理给出。

定理2 如果决策单元k对于DEA系统是弱有效,则决策单元k导致的系统潜力损失为零,即Lk= 0。

证明由于除去一个弱有效单元k,系统的生产前沿面不会发生改变,从而不会影响其它DMU的相对有效性,所以θ=θj,j∈得到Lk=0。

定理3 如果Lk＞0,则决策单元k对于DEA系统是强有效。

证明因为Lk＞0,而所有≥θj,j∈那么至少存在一个 j使得＞θj。

由此可知除去决策
单元k使得生产前沿面发生改变,这就意味着决策单元k对于DEA系统是强有效的。

综合以上定理,随着系统潜力损失 Lk的增加,除去决策单元 k对生产前沿的改变增大,对整个系统的影响也会增大。

因此可以用系统潜力损失 Lk来度量有效单元对于DEA系统的重要性。

换句话说,可以根据系统潜力损失Lk对有效单元进行排序,即
Lk越大,决策单元k对于系统越重要。

3 基于DEA系统潜力损失的决策单元全排序方法
为了对DEA系统内的所有决策单元进行全排序,需要根据系统潜力损失对它们的相对效率θj,j∈ S,进行修正。

由于除去一个非有效决策单元对系统的生产前沿面不会造成任何影响,可以认为非有效决策单元对系统不会造成潜力损失。

用αj表示决策
单元 j修正后的相对效率,
这样,就可以根据α值对DMU进行全排序,算法具体描述如下:
第1步:利用DEA模型(1)或(2)计算DMU的相对效率θj,并据此将决策单元分为有效和非有效两部分,S=E∪E。

第2步:对于每个有效单元k和非有效单元j,计算相对效率θ
第3步:根据公式(4)计算各有效单元导致的系统潜力损失,Lk=P-Pk,k∈E。

第4步:根据公式(5)对全部决策单元的相对效率进行修正,得到αj,j∈S,从而得到DMU的一个全排序。

考虑有 6个决策单元的绩效评价全排序问题,如表1所示。

第 1步,根据表1中的原始数据,得到全部决策单元的相对效率值,见表2。

从表2中可以看出,S=E∪={1,2, 3,4}∪{5,6}。

表1 投入和产出矩阵注:表1表4中,问题来自文献[13]中的算例,只取前 6个决策单元进行考虑。

DMU 1 DMU 2 DMU 3 DMU4 DMU5 DMU6 X 20 32 35 13 46 37 30 28 30 20 38 46 17 14 26 24 25 49 19 43 12 30 40 33 Y 116.28 117.67 135.78 143.12 113.36 153.23 99.65 143.55 142.96 156.42 126.75 133.51 84.05 115.88 121.38 124.24 102.49 128.32
第2步,计算θ,k∈E,j∈见表3。

第3步,根据公式(4),系统潜力损失分别为:L1=0.001 1,L2=0.018 8,L3=0.035 9,L4=0.030 7。

第4步,根据公式(5),对决策单元的相对效率进行修正,并据此进行全排序,结果见表4。

表2 相对效率值j 1 2 3 4 5 6 θj 1 1 1 1 0.679 4 0.705 3
表3 除去有效单元k的相对效率值k θk 5 θk6 1 0.686 0 0.705 3 2 0.791 9
0.705 3 3 0.710 2 0.890 2 4 0.687 1 0.881 6
4 结论
本文从相对效率的角度把多个决策单元作为一个 DEA系统进行了研究。

首先提出相对潜力的概念来描述DEA系统中无效决策单元效率能够提高的程度,并据此提出系统效率损失来区分有效单元的重要性;然后研究了系统效率损失的性质以其与强弱有效性之间的关系;最后提出了新的决策单元全排序方法。

表4 全排序结果DMU 1 DMU 2 DMU 3 DMU4 DMU5 DMU6 αj 1.001 1
1.018 8 1.036 0 1.030 7 0.679 4 0.705 3排序4 3 1 2 6 5
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