高中数学新人教A版必修5课时跟踪检测(十六)一元二次不等式及其解法(习题课)

课时跟踪检测(十六)
一元二次不等式及其解法(习题课)
层级一学业水平达标
x 一 1
1 •不等式2的解集为( )
B . [— 1,0)
.若不等式
x 2+ mx + m >0恒成立，则实数 m 的取值范围是( A • (2 ,+s )
C •(―汽 0) U (2,+^ )
D • (0,2)
解析：选 D T 不等式 x 2+ mx +m >0，对 x € R 恒成立，/. A <0 即 m 2— 2m<0, A 0<m<2. 4.某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)= t + 10(0<t w 20, t € N);销售量g(t)与时间t 的函数关系是g(t) = — t + 35(0<t w 30, t € N)，则使这种商品日销 售金额不小于 500元的t 的范围为(
)
A • [15,20]
B . [10,15]
C • (10,15)
D • (0,10]
解析：选B 由日销售金额为(t + 10)( — t + 35)> 500, 解得 10W t < 15.
5 •若关于x 的不等式x 2— 4x — m >0对任意x € (0,1]恒成立，则 m 的最大值为( )
A • 1
B • — 1
C • — 3
D • 3
解析：选C 由已知可得 m W x 2— 4x 对一切x € (0,1]恒成立，又f(x)= x 2— 4x 在(0,1]上 为减函数，
--f( x)min = f(1)
= — 3
,…m W
一 3.
A • [- 1 ,+^ ) C •(―汽一1] D •(―汽一1] U (0,+^ )
解析：选B
x - 1
所以宁W 0,等价于x(x
+ 1)< 0 且 X M 0,所以一 K XV0.
4x + 2
2
•不等式4x —! >0的解集是
(
)
B/x
1
D/x x v —-
解析：选A
4x + 2 1 1
3^ > 0 ? (4x + 2)(3x 一1)> 0 ? x > 3 或 x V- 2，此不等式的解集为
B . ( — 3 2)
C. x 1 x > 3
x x >3或x v —
1
6.不等式5—X > 1的解集为 ___________
x + 4 1
得一 4<x < ：
答案：—4, J
7•若不等式x 2— 4x + 3m<0的解集为空集，则实数 m 的取值范围是 _____________ . 解析：由题意，知x 2— 4x + 3m > 0对一切实数x 恒成立，所以 △= (— 4)2 — 4 X 3m < 0, 解得m > 4.
答案：4,+m )
8.在R 上定义运算？： x ?y = x(1 — y).若不等式(x — a)?(x + a)<1对任意的实数 x 都成 立，贝U a 的取值范围是 ___________ .
解析：根据定义得(x — a)?(x + a) = (x — a)[1 — (x + a)] == — x + x + a — a ，又(x — a)?(x +
a)<1对任意的实数 x 都成立，所以x 2
— x + a + 1 —
a 2>0对任意的实数 x 都成立，所以 A <0,
2
1 3 即 1— 4(a + 1 — a )<0，解得—-<a<2.
答案：一 2,3
2
9.已知 f(x) =— 3x + a(5 — a)x + b.
(1)当不等式f(x)>0的解集为(—1,3)时，求实数a , b 的值;
⑵若对任意实数a , f(2)<0恒成立，求实数 b 的取值范围. 解：(1)由 f(x)>0，得一3x 2 + a(5 —
a)x + b>0,
3x 2— a(5 — a)x — b<0. 又f(x)>0的解集为(—1,3),
3 + a(5— a )- b = 0, 27— 3a 5 — a — b = 0,
解析:
1 —
2x
2x — 1
等价于 (2x — 1 ]x + 4戶 0,
x + 4工 0,
a= 2, a= 3,
b= 9 b= 9.
< 或<
(2) 由f(2)<0，得—12+ 2a(5 —a) + b<0, 即2a2—10a+ (12—b)>0.
又对任意实数a, f(2)<0恒成立，
2
A= (—10)2—4X 2(12—b)<0,
••• b< —2，.实数b的取值范围为一a,—1 .
C . ?R(M n N)
D . ?R(M U N)
10.某工厂生产商品 M ，若每件定价80元，则每年可销售 80万件，税务部门对市场 销售的商品要征收附加税•为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收 的税率•据市场调查，若政府对商品
M 征收的税率为 P%(即每百元征收 P 元)时，每年的
销售量减少10P 万件，据此，问：
(1) 若税务部门对商品 M 每年所收税金不少于 96万元，求P 的范围；
(2) 在所收税金不少于 96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定 P
值；
(3) 若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定 P 值.
解：税率为P%时，销售量为(80 — 10P)万件， 即 f(P) = 80(80 — 10P)，税金为 80(80 — 10P) •% , 其中0VPV8.
80 80 — 10P P% >96, (1) 由
解得2W P < 6.
I0VPV8, 故P 的范围为[2,6].
(2) •/ f(P)= 80(80 — 10P)(2W P W 6)为减函数， •••当P = 2时，厂家获得最大的销售金额， f(2) = 4 800(万元). (3) •/ 0VPV8,
2
g(P) = 80(80 — 10P) P% =— 8(P — 4) + 128, .••当P = 4时，国家所得税金最高，为
128万元.
层级二应试能力达标
x + 5
1 •不等式一门> 2的解是(
)
(x — 1 ) A. _- 3，I
B-_-2,3]
C.｝，1》(1,3]
D. — 2，1 ]u (1,3]
2•已知集合 M = x x —3V0 r, N = ｛X|x w — 3｝，则集合｛x|x > 1｝等于(
)
B . M U N
解析：选D x + 5 2> 2? x —1
-
x + 5> 2(x — 1 ,
x — 1 工 0 -1 、
•- x € — 2 1 u (1,3].
C . ?R (M n N)
D . ?R (M U N)
3.对任意a € [— 1,1]，函数f(x) = x 2+ (a — 4)x + 4 — 2a 的值恒大于零，则 x 的取值范围
是()
A . (1,3)
B . ( — 3 1) U (3,+s )
C . (1,2)
D . ( — ^, 1) U (2,+^ ) 解析：选B
设 g(a) = (x — 2)a + (x 2
— 4x + 4), g(a)>0 恒成立且 a € [ — 1,1] ■ ■ 2 g 1 = x — 3x + 2>0,
g — 1 = x 2— 5x + 6>0
x<1 或 x>2, ■:
lx<2 或 x>3 x<1 或 x>3. 4.在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积不小于 300 m 2的内 接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是(
) 解析：选C 设矩形的另一边长为 y m ,则由三角形相似知, ••• y = 40 — x ,
■/ xy > 300,「. x(40
— x)> 300,「. x 2— 40x + 300< 0, • 10< x < 30. 5.若函数f(x)= log 2(x 2— 2ax — a)的定义域为
R ，贝V a 的取值范围为 _________ 解析：已知函数定义域为 R ,即卩x 2—
2ax — a > 0对任意x € R 恒成立. 2
•• △= (— 2a) + 4a v 0. 解得—1 v a v 0.
答案：(一1,0)
6.现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐 5%以上、6%以下的食盐水，设需 要加入含盐4%的食盐水为x 克，则x 的取值范围是 _____________ .
解析： …5%<
解得x 的范围是(100,400).
答案：(100,400)
7.已知不等式 mx 2— 2x + m — 2<0.
(1) 若对于所有的实数x 不等式恒成立，求 m 的取值范围； (2) 设不等式对于满足|m|w 2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围. 解：(1)对所有实数 x ,都有不等式 mx 2 — 2x + m — 2<0恒成立，即函数 f(x)= mx 2
— 2x + m — 2的图象全部在x 轴下方. 当m = 0时，—2x — 2<0 ,显然对任意 x 不能恒成立；
解析：选D
<0? (x + 3)(x — 1)<0，故集合M 可化为｛x| — 3VXV1｝，将集合 M 和集 X — 1
合N 在数轴上表示出来(如图)，易知答案.
当m ^0时，由二次函数的图象可知有 c
解得 m<1 - J2, △= 4— 4m (m — 2 <0, 综上可知，m 的取值范围是(—g, 1 — 2).
(2)设g(m)= (x 2+ 1)m — 2x — 2,它是一个以 m 为自变量的一次函数，
由x 2+ 1>0,知g(m) 在［—2,2］上为增函数，则只需 g(2)<0即可， 即 2x 2 + 2—
2x — 2<0 ,解得 Ovxvl. 故x 的取值范围是(0,1). 8.已知函数 f(x)= x 3
+ ax + 3. (1) 当x € R 时，f(x)>a 恒成立，求a 的取值范围；
(2) 当x € ［— 2,2］时，f(x)> a 恒成立，求 a 的取值范围. 解：(1)f(x)》a 恒成立，即x 4+ ax + 3 — a > 0恒成立，必须且只需 △= a 2— 4(3 — a)< 0，
即 a 2+ 4a — 12W 0， •••— 6W aw 2. A a 的取值范围为［—6,2］. 2 / a\ a 5
(2)f(x) = x + ax + 3= ［x + / + 3——. ① 当一|<— 2，即卩a>4时， f(x)min = f( — 6 =— 2a
+ 7，
由一2a + 7》a ，得 a w 7，• a € ?.
3
2
② 当一2w — a w 2,即一4w a w 4 时，f(x)min = 3 —亍，
2
a
由 3 — 》a ，得一6w a w 2.・・一4w a w 2.
③当一2>2，即卩 a< — 4 时，f(x)min = f(2) = 2a + 7，
5 由 2a + 7》a ，得 a 》一7，•— 7w a< — 4. 综上，可得a 的取值范围为[—7,2].
—40 iti —I。