指数、对数及幂函数习题

指数函数、对数函数及幂函数
Ⅰ.指数与指数函数
1.指数运算法则：（1）r s r s a a a +=； （2）()s
r rs a a =； （3）()r
r r ab a b =；
（4）m
n m
n
a a =；
（5）1
m n
n
m
a
a
-
=
（6）,||,n n a n a a n ⎧=⎨
⎩奇偶
2. 指数函数：
【基础过关】
类型一：指数运算的计算题
指数函数 0<a<1
a>1
图 象
表达式 x y a =
定义域 R
值 域 (0,)+∞
过定点 (0,1)
单调性
单调递减 单调递增
此类习题应牢记指数函数的基本运算法则，注意分数指数幂与根式的互化，在根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数运算较为方便 1、526+的平方根是______________________
2、 已知2=n
a ，16=mn
a ，则m 的值为………………………………………………( )
A ．3
B ．4
C ．3a
D ．6
a
3、化简
22
1
()
2b a b a ab b b a
+---+-的结果是………………………………( )
A 、a a b --
B 、a b a --
C 、b a a --
D 、2b b a a +--
4、已知0.001a =，求：413
3
3
223
33
8(12)24a a b
b a
a a
b b
-÷-++=_________________
5、已知1
3x x
-+=，求（1）1
12
2
x x -
+=________________（2）332
2
x x -+=_________________
6、若22y y x x -+=，其中1,0x y ><，则
y y x x --=______________ 类型二：指数函数的定义域、表达式
指数函数的定义域主要涉及根式的定义域，注意到负数没有偶次方根；此外应牢记指数函数
的图像及性质 函数)
(x f a
y =的定义域与)(x f 的定义域相同
1、若集合A={
113x
x y -=
},B={
21},x s x A B =-⋂=
则____________________
2、如果函数()y f x =的定义域是[1,2],那么函数
1(2)x
y f -=的定义域是________ 3、下列函数式中，满足f(x+1)=1
2f(x)的是……………………………………………( )
A 、()1
12x +
B 、
1
4x +
C 、2x
D 、2x
-
4、若6
2
3
44112a a a -+
=-，则实数a 的取值范围是………………………………( ) A 、2a <
B 、1
2
a ≤
C 、12
a >
D 、任意实数
类型三：复合函数 ○
1形如02=+∙+c a b a x x
的方程，换元法求解
○
2函数)(x f a y =的定义域与)(x f 的定义域相同 ○
3先确定)(x f 的值域，再根据指数函数的值域，单调性，可确定)
(x f a y =的值域 涉及复合函数的单调性问题，应弄清函数是由那些基本函数符合得到的，求出复合函数的定
义域，然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间，注意“同增异减”
（1）外函数是二次函数，内函数是指数函数
1、求函数
2391x x
y =++ 的值域 2、当10x -≤≤时，函数2
2
34x x y +=- 的最大值是______________，最小值是__________
3、已知x [-3,2]∈，求f(x)=11
142x
x -+的最大值是______________，最小值是______________
（2）外函数是指数函数，内函数是二次函数
1、函数y=(1
3)2281
x x --+ (-31x ≤≤)的值域是______________，单调递增区间是__________ 2、已知函数y=(1
3)225
x x ++，求其单调区间_____________________及值域_______________
类型四：奇偶性的判定
利用奇偶性的定义，注意计算过程中将根式化为分式指数幂后通分
1、函数x
x a a x f -⋅+=2)1()(是……………………………………………( )
A 、奇函数
B 、偶函数
C 、非奇非偶函数
D 、既奇且偶函数
2、已知函数f(x)=1
(1)1x x
a a a ->+
(1)判断函数的奇偶性；(2)求该函数的值域；(3)证明f(x)是R 上的增函数。

3、设a ∈R,f(x)= 22
()21x x
a a x R ⋅+-∈+，试确定a 的值，使f(x)为奇函数
类型五：分类讨论思想在指数函数中的应用
1、已知0a >，且1a ≠，解不等式
2
6
5x
x a a ->
2、已知f(x)=2231
x x a -+,g(x)=225
x x a
+- (a ＞0且a ≠1),确定x 的取值范围,1x ≠使得f(x)＞
g(x).
Ⅱ.对数与对数函数
1、对数的运算：
1、互化：N b N a a b log =⇔=
2、恒等：N a N a =log
3、换底：
a
b b
c c a log log log =
推论1 a
b b a log 1log =
推论2 log log log a b a b c c ∙=
推论3 log log m n
a a
n b b m
=)0(≠m 4、N M MN a a a log log log += l o g l o g l o g
a a a M M
N N
=- 5、M n M a n a log log ⋅=
2对数函数：
【基础过关】
类型一：对数的基本运算
此类习题应牢记对数函数的基本运算法则，注意
○
1常用对数：将以10为底的对数叫常用对数，记为N lg ○
2自然对数：以e=2.71828…为底的对数叫自然对数，记为N ln 对数函
数
0<a<1 a>1
图 象
表达式 log a y x
=
定义域 (0,)+∞ 值 域 R
过定点 (1，0)
单调性
单调递减
单调递增
○
3零和负数没有对数，且1log ,01log a ==a a 1、(1)、 9
lg 2lg 008
.0lg 31
81.0lg 212+++ (2)、()20lg 5lg 2lg 2⋅+
(3)、())2log 2(log )5log 5(log 3log 3log 2559384+⋅+⋅+
2、已知2log =x a ,3log =x b ,6log =x c 求 x abc log 的值．
类型二：指数，对数的混合运算
指数函数)1,0(≠>=a a a y x 与对数函数)1,0(log ≠>=a a x
y a 的图象与性质
x=1x=1
y=1y=1在(0,+∞)内是 减函数
在(0,+∞)内是 增函数
在(- ∞,+∞)内是 减函数在(- ∞,+∞)内是 增函数
0<x<1时,y<0;x>1时，y>0.0<x<1时,y>0;
x>1时，y<0.x<0时,0<y<1;x>0时，y>1.x<0时，y>1;x>0时，0<y<1.(1,0)，即x=1时，y=0.(0,1)，即x =0时，y=1.(0,+∞)
(0,+∞)(- ∞,+∞)(- ∞,+∞) 单调性
y 值区域
过定点值 域定义域图
象a>1
0<a<1
a>1
0<a<1
a y=log a x
y=a x
函数1
1
O O
O
O
1
a
x
y
1
a x
y
1
a
x
y
1
a x
y
1、若log 2,log 3,a a m n ==则32m n a -=_________
2、若1a >且01b <<，则不等式log (3)
1b x a
->的解集为________
3、已知35,a b A ==且11
2a b
+=，则A 的值是________
4、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是…………………………( ) A 、2a - B 、52a - C 、23(1)a a -+ D 、 23a a - 【能力提升】
类型三：对数函数的定义域与解析式
注意复合函数的定义域的求法，形如[])(x g f y =的复合函数可分解为基本初等函数
)(),(x g u u f y ==，分别确定这两个函数的定义域。

1、函数12
1
log (2)
y x =
-的定义域是____________
2、已知2
35
(log ())22x f x ++=，则(0)f =___________
3、已知6
2()log f x x =，那么(8)f =____________
类型四：对数函数的值域
注意复合函数的值域的求法，形如[])(x g f y =的复合函数可分解为基本初等函数
)(),(x g u u f y ==，分别确定这两个函数的定义域和值域。

1. 函数
212
log (617)
y x x =-+的值域是________
2. 设1a >，函数
()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为1
2，则
a =___________
3. 函数
()log (1)x
a f x a x =++在[0,1]上最大值和最小值之和为a ，则a 的值为
_______________
类型五：对数函数的单调性、奇偶性
1、函数lg y x
=的单调递增区间是_______ ; 函数212log (32)
y x x =-+的递增
区间是_______________
2、下列各函数中在（0，1）上为增函数的是……………………………………………( )
A.
12
log (1)
y x =+ B.
22log 1
y x =-
C.
3
1log y x = D.213log (43)y x x =-+
3、函数
2lg 11y x ⎛⎫
=- ⎪
+⎝⎭的图像关于………………………………………………………( ) A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称 4、函数
(
)2()lg
1f x x x
=+-是 （奇、偶）函数。

5、已知函数
1010()1010x x x
x f x ---=+，判断()f x 的奇偶性和单调性。

类型六：对数中的不等关系
比较同底数的两个对数值的大小；比较两个同真数的对数值的大小
1、设0.724log 0.8log 0.9log 5a b c ===，则,,a b c 的大小关系是_______
2、设
2
lg ,(lg ),lg ,a e b e c e ===则,,a b c 的大小关系是_______ 3、如果3
log
15m <，那么m 的取值范围是______
4、如果
log 3log 30a b >>，那么,a b 的关系是…………………………………………( )
A. 01a b <<<
B. 1a b <<
C. 01b a <<<
D. 1b a <<
5、已知
2log (1)log (24)0a a x x +<+<，则不等式解集为_______ 6、若
()log a f x x =在[2,)+∞上恒有()1f x >，则实数a 的取值范围是________
类型七：其它题型（奇偶性，对数方程，抽象函数）
1、设2()lg()
1f x a x =+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是________
2、已知集合
{}2
log 2,(,)
A x x
B a =≤=-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞，
其中c = ______.
3、若
1
x 满足2x+2x
=5,
2
x 满足2x+2)1(log 2-x =5,
1x +
2
x ＝………………………( )
A.52
B.3
C. 7
2 D.4
幂函数
一、幂函数图象的作法：
根据幂函数k
x y =的定义域、奇偶性，先作出其在第一象限的图象，再根据其奇偶性作出其他象限的图形.如果幂函数的解析式为m
n x y =或m
n x
y -=（m 、*
∈N n ，2≥m ，m 、
n 互质）的形式，先化为m n x y =，或m
n
x
y 1
=
的形式，再确定函数的定义域、奇偶性、
单调性等性质，从而能比较准确地作出幂函数的图象. 二、幂函数图象的类型：（共有11种情况）
k 0<-
=m
n
k
10<=
<m
n
k 1>=
m
n
k 奇函数
m 、n 都是
奇数
y=x
-
13
-1
1
y x
o
y=x
3
5
-1
1
y x
o
y=x
5
3
-1
1
y
x
o
偶函数
m 是奇数，n 是偶数
y=x
-
23
-1
1
y x
o y=x
2
3
-1
1
y x
o y=x
4
3
-1
1
y
x
o
非奇非偶函数
m 是偶数，n 是奇数
y=x
-
12
-1
1
y x
o y=x
1
2
-11
y x
o y=x
3
2
-1
1
y
x
o
三、幂函数图象特征：
（1）当0<k 时，在第一象限内，函数单调递减，图象为凹的曲线；
y=x y=x o (x ≠0)
o -11y
x
o （2）当0=k 时，图象是一条不包括点（0，1）的直线；
（3）当10<<k 时，在第一象限内，图象单调递增，图象为凸的曲线；
（4）当1=k 时，图象是一、三象限的角平分线；
（5）当1>k 时，在第一象限内，图象单调递增，图象为凹的曲线. （6）幂函数图象不经过第四象限；
（7）当0>k 时，幂函数k x y =的图象一定经过点（0，0）和点（1，1） （8）如果幂函数k x y =的图象与坐标轴没有交点，则0≤k ；
（9）如果幂函数m n
p x y )1(-=（m 、n 、p 都是正整数，且m 、n 互质）的图象不经过第
三象限，则p 可取任意正整数，m 、n 中一个为奇数，另一个为偶数.
四、幂函数典型问题：
1．概念问题：
【例1】1．已知幂函数，当
时为减函数，则幂函数__________．
【变式】当m 为何值时，幂函数y=(m 2-5m+6)
的图象同时通过点(0，0)和(1，1).
2．定义域问题：
【例2】函数05321
)2(--+=-x x x y 的定义域为
【变式】.求函数y=
的定义域.
3．单调性问题：
【例3】已知5
353
)21()
3(--+<-a a ，求实数a 的取值范围.
【变式1】讨论函数
的单调性.
【变式2】讨论函数
的定义域、奇偶性和单调性．
4．图象问题：
【例4】若函数)(322Z m x y m m ∈=--的图象与坐标轴没有交点，且关于y 轴对称，求函数)(x f 的解析式.
【例5】利用函数的图象确定不等式的解集：
（1） 不等式)1(3
2->x x 的解集为 （2） 不等式31
4
x x ≥的解集为
说明：先在同一坐标系中作出不等式两边函数的图象，并确定交点的坐标，从而能较容易地写出不等式的解集
5．函数图象的平移、对称、翻折变换问题：
说明：很多较复杂函数的图象，都是通过将下列函数的图象经过平移、对称、翻折变换而得到 x y 1=；x y 1-=；)1,0(≠>=k k x k y ；)1,0(≠>-=k k x
k y 【例6】作出下列函数的大致图象，并结合图象写出函数的值域、奇偶性和单调区间.
（1）12--=x x y （2）x
x y --=21 （3）14-=x y ，)5,2[)1,( -∞∈x （4）1
12--=x x y ，),0[+∞∈x （5）x
y +=11 （6）31)2(--=x y 【例7】已知幂函数)(x f y =是偶函数，且在区间),0(+∞上单调递增，若)12()1(22++<-a a f a f ，则实数a 的取值范围是 .
6.比较幂函数值大小
【例8】．比较，，的大小.
【例9】．已知幂函数，，，在第一象限内的图象分别是C1，C2，C3，C4，(如图)，则n1，n2，n3，n4，0，1的大小关系?。