山西省忻州市五台县第一中学2020-2021学年高一数学理模拟试卷含解析

山西省忻州市五台县第一中学2020-2021学年高一数学理模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在△ABC中，∠A=60°，a=，b=，满足条件的△ABC（）
A．不能确定B ．无解C．有一解D．有两解
参考答案：
D
【考点】正弦定理．
【分析】由题意画出图形，再结合条件可此三角形解的情况．
【解答】解：因为A=60°，b=，a=，如图：
所以h=bsinA==，
又＜＜，则此三角形有两解，
故选：D．
2. 在的展开式中，若第七项系数最大，则的值可能等于（）．
A．13，14 B．14，15 C．12，13 D．11，12，13
参考答案：
D
的展开式第七项系数为，且最大，
可知此为展开式中间项，
当展开式为奇数项时：，，
当有偶数项时，，或，，
故，，．
选．
3. 某学校高一年段共有480名学生，为了调查高一学生的学业水平，计划用系统抽样的方法抽取30名学生作为样本：将480名学生随机地从1～480编号，按编号顺序平均分成30组(1～16号，17～32号，…，465～480号)，若从第1组中用抽签的方法确定的号码为5，则第8组中被抽中的学生的号码是( )
A．215 B．133 C．117 D．88
参考答案：
C
略
4. 已知数列{a n}的前n项和为S n，若，则（）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
【分析】
再递推一步，两个等式相减，得到一个等式，进行合理变形，可以得到一个等比数列，求出通项公式，最后求出数列的通项公式，最后求出，选出答案即可.
【详解】因为，所以当时，，两式相减化简得：
，而，所以数列是以
为首项，为公比的等比数列，因此有，所以
，故本题选A.
【点睛】本题考查了已知数列递推公式求数列通项公式的问题，考查了等比数列的判断以及通项公式，正确的递推和等式的合理变形是解题的关键.
5. 设集合，，则（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
6. （5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合?U（A∪B）={1，3}，A∩?U B={2，4}，则集合B 等于（）
A．{1，3，5，6，7} B．{2，4，5，6，7} C．{5，6，7} D．
{1，2，3，4}
参考答案：
C
考点：交、并、补集的混合运算．
专题：集合．
分析：将集合关系用Venn图进行表示即可得到结论．
解答：作出对应的Venn图，由图象知B={5，6，7}，
故选：C
点评：本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图表示集合关系是解决本题的关键．
7. 以方程的两根为三角形两边之长; 第三边长为2,则实数p的取值范围是( ) A．B．或
C. D．
参考答案：A
8. 在平面直角坐标系中，下列四个结论：
①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；
②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；
③方程与方程y+1=k（x﹣2）可表示同一直线；
④直线l过点P（x0，y0），倾斜角为90°，则其方程为x=x°；
其中正确的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
B
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程；
②，由倾斜角与斜率的关系知，倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；
③，方程（x≠2）与方程y+1=k（x﹣2）（x∈R）不表示同一直线；
④，直线l过点P（x0，y0），倾斜角为90°，则其方程为x=x°；
【解答】解：对于①，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故错；
对于②，由倾斜角与斜率的关系知，倾斜角是钝角的直线，斜率为负数，正确；
对于③，方程（x≠2）与方程y+1=k（x﹣2）（x∈R）不表示同一直线，故错；
对于④，直线l过点P（x0，y0），倾斜角为90°，则其方程为x=x0，正确；
故选：B．
9. 用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是（）A．3 B．4 C．5 D．6
参考答案：
B
【考点】指数函数的实际应用．
【分析】由题意知每次清洗后所留下的污垢是原来的四分之一，由此知，剩余污垢的量是关于洗涤次数的指数型函数，由此给出洗x次后存留的污垢的函数解析式，再由限制条件存留的污垢不超过1%，建立不等式关系解不等式即可
【解答】解：由题意可知，洗x 次后存留的污垢为y=（1﹣）x
， 令（1﹣）x
≤
，解得x≥≈3.32，
因此至少要洗4次． 答案 B
【点评】本题考查指数函数的实际运用，根据题设中的数量关系建立指数模型是解答的关键
10. 已知
是R 上的增函数，则
的范围是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数
则
______.
参考答案：
12. 已知函数f （x ）=2x +
x ﹣5在区间（n ，n+1）（n ∈N +）内有零点，则
n= ．
参考答案：
2
【考点】二分法的定义．
【分析】函数零点左右两边函数值的符号相反，根据函数在一个区间上两个端点的函数值的符号确定是否存在零点．
【解答】解：由f （2）=4+
﹣
5=﹣＜0，f （3）=8+﹣5＞0及零点定理知， f （x ）的零点在区间（2，3）上，两端点为连续整数，
∴零点所在的一个区间（n ，n+1）（k ∈Z ）是（2，3）
∴n=2， 故答案为：2．
【点评】本题主要考查函数零点的概念、函数零点的判定定理与零点定理的应用，本题的解题的关键是检验函数值的符号，属于容易题．
13. 已知实数，满足
，则
的最大值为__________．
参考答案：
解：∵，
则可令，
，
∴
，
故，
的最大值为
，
故答案为
．
14. 已知函数
在区间(0,1)内恒有
，则函数
的单调递增区间是__________.
参考答案：
15. 正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CC 1的中点，则AE 、BF 所成的角的余弦值是__________．
参考答案：
【分析】 取的中点
，由
得出异面直线
与
所成的角为
，然后在
由余弦定理
计算出，可得出结果。

【详解】取
的中点
，由
且
可得
为
所成的角，
设正方体棱长为，
中利用勾股定理可得
，
又，由余弦定理可得，
故答案为：。

【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线找出异面直线所成的角，再选择合适的三角形，利用余弦定理或锐角三角函数来计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题。

16. 弧长为l ，圆心角为2弧度的扇形，其面积为S ，则
.
参考答案：
2
设扇形的半径为，则
，
，
故.填.
17. 如图，平面内有三个向量
，其中与的夹角为
，与的夹角为
，且
，若
，则
的值为
.
参考答案： 6
又
故
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数
的部分图象如图所示.
（1）求
值及图中
的值；
（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，，，
求a 的值.
参考答案：
解：（1）由图象可以知道：
，所以
，又因为
，
所以
.
因为，所以，，，
从而，，由图象可以知道，所以.
（2）由，得
，且，所以
.
因为
，由正弦定理得
，
又由余弦定理得，
解得.
19. (本小题满分13分)已知数列的前项和，数列满足，且
⑴ 求、的通项公式；
⑵ 设数列的前项和，且，证明
参考答案：
20. 已知a∈R，解关于x的不等式x2﹣（a+2）x+2a≥0．
参考答案：
【考点】74：一元二次不等式的解法．
【分析】将不等式因式分解，x2﹣（a+2）x+2a=（x﹣2）（x﹣a）≥0，讨论a与2的大小，可得不等式的解集．
【解答】解：不等式x2﹣（a+2）x+2a≥0．
因式分解：（x﹣2）（x﹣a）≥0，
由方程：（x﹣2）（x﹣a）=0，可得x1=2，x2=a．
当a=2时，得（x﹣2）2≥0，不等式的解集为R．
当a＞2时，得x1＜x2，不等式的解集为{x|x≤2或x≥a}．当a＜2时，得x1＞x2，不等式的解集为{x|x≤a或x≥2}．
21. 已知函数，
（1）求、、的值；
（2）若，求的值.
参考答案：
（1）=-2；=6；=0；
（2）=5
略
22. （本题10分）不用计算器求下列各式的值：
（1）；
（2）.
参考答案：
（1）原式=(2分)
=（2分）
=8（1分）
（2）原式=(2分) =
=(2分)
=2(1分)。