2022年冀教版数学九下《抛物线形问题》教案

30.4 二次函数的应用
第1课时 抛物线形问题
1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 2．利用二次函数解决拱桥、涵洞关问题． 3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．
一、情境导入
某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？
二、合作探究
探究点：拱桥、涵洞问题
如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)
离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．
解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y ＝ax 2
，把点(2，－2)代入，得－2＝a ×22
，
a ＝－12，∴y ＝－12x 2，当y ＝－3时，－12
x 2＝－3，x ＝± 6.故答案为2 6.
方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题．
如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构
成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
(2)求出这条抛物线的函数关系式；
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
解析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M(12，0)和抛物线顶点P(6，6)；已知顶点坐标，可设二次函数关系式为y＝a(x－6)2＋6，可利用待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架”总长AD＋DC＋CB二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．解：(1)根据题意，分别求出M(12，0)，最大高度为6米，点P的纵坐标为6，底部宽度为12米，所以点P的横坐标为6，即P(6，6)．
(2)设此函数关系式为y＝a(x－6)2y＝a(x－6)2＋6经过点(0，3)，所以3＝a(0－6)2＋6，
即a＝－1
12.所以此函数关系式为y＝－
1
12
(x－6)2＋6＝－
1
12
x2＋x＋3.
(3)设A(m，0)，则B(12－m，0)，C(12－m，－1
12m2＋m＋3)，D(m，－
1
12
m2＋m＋3)．即
“支撑架”总长AD＋DC＋CB＝(－1
12
m2＋m＋3)＋(12－2m)＋(－
1
12
m2＋m＋3)＝－
1
6
m2二次函
数的图象开口向下．所以当m＝0时，AD＋DC＋CB有最大值为18.
三、板书设计
建立二次函数模型：（1）拱桥问题；（2）涵洞问题.
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.
29.4 切线长定理
1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．
2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．
3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．
一、情境导入
新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．、
二、合作探究
探究点一：切线长定理
【类型一】利用切线长定理求三角形的周长
如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，
切点C 在AB ︵
上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．
解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4.
【类型二】利用切线长定理求角的大小
如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，
那么∠OPA 的度数是________度．
解析：如图所示，连接OA 、OB .∵PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°.又∵∠AOB ＝2∠ACB ＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO －∠AOB －∠OBP ＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA ≌△POB ，∴∠OPA ＝1
2∠APB
＝20°.故答案为20.
方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO 平分∠APB .
【类型三】切线长定理的实际应用
为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面
上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA ＝5cm ，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．
解：过O 作OQ ⊥AB 于Q ，设铁环的圆心为O ，连接OP 、OA .∵AP 、AQ 为⊙O 的切线，∴AO 为∠PAQ 的平分线，即∠PAO ＝∠QAO .又∠BAC ＝60°，∠PAO ＋∠QAO ＋∠BAC ＝180°，∴∠PAO ＝∠QAO ＝60°.在Rt △OPA 中，PA ＝5，∠POA ＝30°，∴OP ＝55(cm)，即铁环的半径为55cm.
探究点二：三角形的内切圆
【类型一】求三角形的内切圆的半径
如图，⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆，则⊙O 的半径为________．
解析：如图，连接OD .由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD ＝30°，OD ⊥BC ，所以CD ＝1
2BC ，OC ＝2OD .又由BC ＝2，则CD Rt △OCD 中，根据勾股定
理得OD 2
＋CD 2
＝OC 2
，所以OD 2
＋12
＝(2OD )2
，所以OD ＝
33.即⊙O 的半径为33
. 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边
的距离相等．
【类型二】求三角形的周长
如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵
(不
包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N .若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )
A ．r B.32r C ．2r D.52
r
解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC .又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN ＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选C.
三、板书设计
教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.。